Ймовірність виграти в Eurojackpot

Eurojackpot — це числова лотерея, подібна до лотереї «6 із 49», у якій беруть участь кілька європейських країн. Мінімальна гарантована сума Eurojackpot — десять мільйонів євро, а максимально можлива — 120 мільйонів євро. Правила схожі на правила лотереї «6 із 49».

Правила

Мета лотереї — вгадати п'ять витягнутих номерів із 50 можливих і, крім того, вгадати ще два додаткові номери з 12. Якщо вгадаєш усі сім витягнутих номерів, на тебе чекає головний виграш — Eurojackpot. Якщо вгадаєш менше номерів, можеш розраховувати на виграші в нижчих категоріях. Цікаво, що 2015 року головний Eurojackpot виграв хтось у Чехії — це був рекордний виграш 2,466 мільярда чеських крон (90 мільйонів євро).

Ймовірність виграти в Eurojackpot

Але який у тебе шанс виграти? Почнемо з того, що обчислимо, скільки взагалі існує всіх можливих комбінацій, які можуть бути витягнуті. Знаємо, що жоден номер не може бути витягнутий двічі і що порядок витягання номерів не важливий. Це означає, що для обчислення не можна використати розміщення, а потрібно використати комбінації. Тож питаємо, скільки існує різних п'ятірок, що можуть бути витягнуті з 50 можливих номерів. Запишемо це за допомогою біноміального коефіцієнта так:

$$\large C_{50}^5 = {50 \choose 5}$$

Формула, за якою цей біноміальний коефіцієнт обчислюють, виглядає так:

$$\large C_n^k = {n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

де знак оклику означає факторіал. Підставивши значення, отримаємо:

$$\large {50\choose5} =\frac{50!}{(50-5)!\cdot5!}=\frac{50!}{45!\cdot5!}$$

Скористаємося властивостями факторіала й розпишемо чисельник:

$$\frac{50!}{45!\cdot5!}=\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45!}{45!\cdot5!}$$

Бачимо, що і в чисельнику, і в знаменнику маємо 45!. Тож увесь дріб можна скоротити саме на 45!:

$$\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45!}{45!\cdot5!}=\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46}{5!}$$

Розпишемо 5!:

$$\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45!}{45!\cdot5!}=\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46}{5\cdot4\cdot3\cdot2}$$

Усе перемножимо:

$$\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46}{5\cdot4\cdot3\cdot2}=\frac{254{,}251,200}{120}$$

І тепер лише поділимо:

$$\frac{254{,}251,200}{120}=2{,}118,760$$

Отже, існує всього 2,118,760 різних п'ятірок, які можна витягнути з п'ятдесяти різних номерів. Ймовірність того, що ми вгадаємо саме одну витягнуту п'ятірку, позначимо її P₁, — це число, обернене до кількості п'ятірок, тобто

$$P_1=\frac{1}{2{,}118,760}$$

Тепер потрібно обчислити, скільки існує різних пар, які можна витягнути з 12 номерів, щоб ми могли обчислити ймовірність того, що ми вгадаємо й додаткові номери. Це знову можна записати як біноміальний коефіцієнт:

$$C_{12}^2 = {12 \choose 2}$$

Цього разу хід обчислення пропустимо, можемо скористатися калькулятором біноміальних коефіцієнтів і дізнаємося, що

$${12 \choose 2} = 66$$

Отже, існує 66 різних пар. Ймовірність, позначимо її P₂, що ми вгадаємо витягнуту пару, дорівнює

$$P_2=\frac{1}{66}$$

Загальну ймовірність P головного виграшу в Eurojackpot отримаємо, перемноживши ці дві ймовірності:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2{,}118,760}\cdot\frac{1}{66}=\frac{1}{139{,}838,160}$$

Шанс виграти головний приз в Eurojackpot — 1 до 139 838 160. Для ілюстрації: у Чехії живе майже одинадцять мільйонів людей. Щоб напевно хтось із Чехії виграв, кожен мешканець Чехії мав би купити 13 унікальних квитків. Після розіграшу було б гарантовано, що один квиток із Чехії виявиться виграшним.

Посилання та джерела

• Eurojackpot на hazardni-hry.eu, чеською