Протилежна подія

Протилежну подію іноді можна використати під час обчислення ймовірності якоїсь події. Подія, протилежна до події A, — це подія $\overline{A}$, яка містить усі можливі наслідки, що можуть настати, але яких немає в події A.

Означення

Означення випадкового експерименту й події наведено в розділі про ймовірність. Коротко повторимо: випадковий експеримент — це, наприклад, кидання кубика, множина всіх можливих наслідків містить ті наслідки, що можуть настати, тобто для кубика це множина $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$, подія — це підмножина множини $\Omega$, і нею може бути «на кубику випало непарне число», тобто A = {1, 3, 5}.

Якщо маємо подію A, залишімося при «на кубику випало непарне число», тобто A = {1, 3, 5}, то протилежною подією називаємо подію $\overline{A} = \Omega \setminus A$. Це всі інші наслідки: ті, що належать $\Omega$, але не належать A. У нашому випадку, коли маємо подію «на кубику випало непарне число», протилежною подією була б подія «на кубику випало парне число». Протилежною до події «випаде число 2 або 5» є подія «випаде число 1, 3, 4 або 6».

Щоб триматися мови множин: якщо $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ і маємо подію A = {1, 2} («випаде число менше за три»), то $\overline{A} = \Omega \setminus A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \setminus {1, 2} = {3, 4, 5, 6}$. Словами це можна описати як «випаде число більше за два».

Для ймовірності протилежної події справджується проста залежність: якщо ймовірність події A дорівнює 25 %, то яка ймовірність події $\overline{A}$? По суті, ми питаємо: яка ймовірність, що подія A не настане? Подія A настає з ймовірністю 25 %, тож подія A не настає з ймовірністю 100 − 25 = 75 %. Це справджується завжди, тому можемо сказати, що протилежна подія $\overline{A}$ настає з ймовірністю 1 − P(A):

$$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) $$

Розв'язані приклади

1. Яка ймовірність, що під час кидання двох кубиків не випадуть дві шістки? У розділі про ймовірність ми обчислили, що під час кидання двох кубиків існує всього 36 різних можливостей. Тепер треба було б порахувати, скільки з цих можливостей не містять двох шісток. Можна піти протилежним шляхом: обчислимо, скільки пар містять дві шістки, знайдемо ймовірність цієї події й віднімемо її від одиниці.

   Існує лише одна пара, що містить дві шістки, (6; 6), тож ймовірність цієї події A дорівнює:

   $$ P(A) = \frac{1}{36} $$

   Ймовірність протилежної події $\overline{A}$, тобто події «не випадуть дві шістки», тоді дорівнює:

   $$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36} = 97{,}2222… \% $$

2. Яка ймовірність, що під час кидання трьох кубиків випаде принаймні одна шістка? Цю задачу знову можна розв'язати безпосередньо й виписати всі розміщення, у яких випала одна шістка, дві шістки та три шістки. Але можна піти простішим шляхом і розглянути протилежну подію, тобто подію «не випала жодна шістка». Спершу обчислимо, скільки всього існує можливостей, які можуть випасти. Маємо три кубики, на кожному можуть випасти числа від 1 до 6, що дає разом 6³ = 216 можливостей.

   Тепер треба порахувати ті можливості, у яких немає жодної шістки. На кожному кубику має випасти число від 1 до 5, отже, існує 5³ = 125 можливостей, які не містять числа 6. Тепер лише підставимо у формулу:

   $$ P(A) = \frac{125}{216}=57{,}87 \% $$

   Це була подія A — «не випала жодна шістка». Нас цікавить протилежна подія: «випала принаймні одна шістка». Підставимо у формулу:

   $$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} = 42{,}1296 \% $$

3. Студент на іспиті з математики тягне 3 запитання зі 30 запропонованих. З них 10 запитань з алгебри, 15 з аналізу й 5 з геометрії. Яка ймовірність, що він витягне принаймні два запитання з однієї галузі? Знову буде простіше розв'язати задачу через протилежну подію, яка звучить так: яка ймовірність, що студент витягне з кожної галузі рівно по одному запитанню?

   Спершу обчислимо, скільки різних трійок може витягнути студент. Для цього нам знадобляться комбінації. Усього маємо 30 запитань і тягнемо з них 3, до того ж порядок не важливий. Це дає нам біноміальний коефіцієнт

   $$ C_{30}^3 = {30 \choose 3} = 4060 $$

   Далі: скільки існує різних можливостей, коли студент витягне з кожної галузі рівно одне запитання? За комбінаторним правилом добутку з'ясуємо, що їх усього 10 · 15 · 5 = 750. Наприкінці підставимо у формулу для обчислення ймовірності:

   $$ P(A) = \frac{750}{4060}=18{,}47 \% $$

   Але нас цікавить протилежна подія, тож результат просто віднімемо від одиниці:

   $$ P(\overline{A}) = 1 - \frac{750}{4060} = \frac{3310}{4060} = 81{,}53 \% $$