Ймовірність виграти в лотерею «6 із 49»

Як обчислити ймовірність виграти в лотерею «6 із 49»? Як збільшити шанси на виграш? Розгляньмо це. Лотерея працює так: в урні лежить 49 номерів від 1 до 49, і під час розіграшу з цієї урни витягують шість випадкових номерів. Гравець намагається вгадати ці шість витягнутих номерів. Яка ймовірність, що ми вгадаємо всі шість витягнутих номерів?

Почнімо з того, що обчислимо, скільки взагалі існує всіх можливих комбінацій, які можуть бути витягнуті. Важливо усвідомити, що жоден номер не може бути витягнутий в одному розіграші двічі, тобто не може випасти набір 1, 2, 3, 4, 5, 5. Другий важливий чинник: не важливо, в якому порядку номери витягнуто, тобто коли номери витягнуто в порядку 1, 2, 3, 4, 5, 6, а іншого разу в порядку 6, 5, 4, 3, 2, 1, то це та сама комбінація номерів, і якщо ми ці номери вгадали, то виграли б у будь-якому разі.

Отже, знаємо, що не можемо використати розміщення, у яких порядок важливий, а для обчислення використаємо комбінації, у яких порядок не важливий. Тож питаємо, скільки існує різних комбінацій, коли вибираємо шість номерів із 49. Запишемо це у вигляді біноміального коефіцієнта так:

$$\large C_{49}^6 = {49\choose6}$$

Формула, за якою цей біноміальний коефіцієнт обчислюють, виглядає так:

$$C_n^k = {n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

де знак оклику означає факторіал. Підставивши значення, отримаємо:

$$\large {49\choose6} = \frac{49!}{(49-6)!\cdot 6!}=\frac{49!}{43!\cdot 6!}$$

Чисельник можна розписати:

$$\frac{49!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44\cdot43!}{43!\cdot 6!}$$

Тепер можемо скоротити 43!:

$$\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44\cdot43!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44}{6!}$$

І тепер лишається по-справжньому дорахувати:

$$\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44}{6!}=\frac{10{,}068,347{,}520}{720}$$

Що дорівнює

$$\frac{10{,}068,347{,}520}{720}=13{,}983,816$$

Отже, існує всього 13 983 816 різних комбінацій (майже чотирнадцять мільйонів), на які можна зробити ставку.

Ймовірність виграти головний приз

Головний приз отримуємо, коли вгадуємо всі шість витягнутих номерів. Оскільки існує всього 13 983 816 різних комбінацій, шанс виграти становить 1 : 13 983 816, що дає ймовірність

$$\frac{1}{13{,}983,816}\approx0{,}0000000715$$

Вираз у відсотках отримаємо, помноживши ймовірність на сто, тобто відкинувши два нулі: 0,00000715 %. Це не дуже велика ймовірність. Для ілюстрації: у Чехії живе майже одинадцять мільйонів людей. Якби кожна людина в Чехії зробила ставку з унікальними номерами, усе одно залишилося б понад три мільйони комбінацій, на які ніхто не поставив, і приблизно з імовірністю одна п'ята ніхто б однаково не виграв.

Як збільшити шанс виграти в лотерею «6 із 49»?

Ніяк. Це неможливо. Хіба що підкупити того, хто витягує номери. Кожна шістка номерів має однаковий шанс бути витягнутою. Шістка 1, 2, 3, 4, 5, 6 має такий самий шанс бути витягнутою, як і 5, 14, 15, 38, 41, 48. Урна не розрізняє гарно складену послідовність номерів на кшталт 1, 2, 3, 4, 5, 6 і випадкову послідовність на кшталт 5, 14, 15, 38, 41, 48. Це лише нам, людям, більше подобаються числа підряд. Так само урна не пам'ятає раніше витягнутих номерів. Те, що минулого тижня були витягнуті номери 5, 14, 15, 38, 41, 48, ніяк не впливає на ймовірність, що ця шістка буде витягнута знову наступного тижня.

Є два способи собі допомогти під час ставок: перший — не ставити номери, які ставлять інші. Цим ти не вплинеш на свої шанси виграти, бо байдуже, чи шістку номерів обрала одна людина, чи сто. Але якщо вже виграєш, то твій виграш ділитиметься між меншою кількістю людей. Найкраще взагалі ставити цілком випадкові номери. Шанс, що хтось обере ту саму випадкову шістку номерів, невеликий. Але якщо, наприклад, поставиш ті самі номери, що випали в останньому розіграші, то є великий шанс, що інші люди вибрали ту саму стратегію і в разі виграшу тобі доведеться ділитися.

Другий спосіб собі допомогти під час ставок — не ставити, а ці гроші краще вкласти в щось розумніше.

Посилання та джерела

• Sportka (чеська лотерея «6 із 49») на hazardni-hry.eu, чеською