Як порахувати ефективність вакцини?

Як таке можливо, що від певної хвороби може померти більше вакцинованих людей, ніж невакцинованих? Звучить парадоксально, навіть трохи так, ніби вакцинація не працює — а то й шкодить, — але ми покажемо, що це необов'язково правда.

Уяви, що є якесь місто, де живе сто тисяч мешканців, і в місті лютує підступна хвороба «Провід». Але вчені та дослідники зуміли створити вакцину, яка від цієї хвороби захищає, і цією вакциною щепили частину мешканців. Проте, коли ми дивимося на дані, від «Провіду» померла тисяча вакцинованих і тисяча невакцинованих людей. Мешканці розгублені й мають враження, що вакцинація не працює, раз помирає стільки ж вакцинованих, скільки й невакцинованих. Отже, вакцина працює чи ні?

Важко сказати 🤷 лише на підставі цих даних, які в нас поки є. Нам замало знати, скільки вакцинованих і невакцинованих людей померло від «Провіду». Водночас нам треба знати, скільки людей справді вакцинувалося. Бо можна ж запитати: що небезпечніше? Їздити автомобілем чи піднятися на Еверест? Числа смертей говорять чітко: під час спроби піднятися на Еверест загинули сотні людей. В автомобілях гине понад мільйон людей. Щороку. Отже, очевидно, що безпечніше спробувати піднятися на Еверест, ніж сісти в пересувну труну.

Тепер у тебе в голові точно спалахнула контрольна лампочка — насправді підніматися на Еверест не безпечніше, ніж керувати автомобілем. Числа нас обманюють, бо ми не врахували, що на Еверест піднялися тисячі альпіністів, а автомобілями їздять мільярди людей. Так само ми мусимо врахувати, скільки людей у нашому уявному місті вакциновані. Розберімо це на кількох прикладах:

• Що, як ми вакцинували в місті лише тисячу людей, а 99 тисяч невакцинованих? Це б означало, що померли всі вакциновані. А серед невакцинованих померла лише одна тисяча з 99 тисяч. Тож вакцина не лише не допомагала б, а навпаки — шкодила б!
• Що, як було б навпаки: у місті 99 тисяч вакцинованих і лише одна тисяча невакцинованих? Тоді помер кожен невакцинований, тоді як з вакцинованих померла б лише одна тисяча з 99 тисяч. Вакцина, щоправда, не стовідсоткова, але помітно, на порядки, підвищує шанси вижити.
• Що, як була б вакцинована половина міста, а друга половина ні? Тоді це означало б, що померла одна тисяча з п'ятдесяти тисяч вакцинованих і одна тисяча з п'ятдесяти тисяч невакцинованих. В обох групах померло по два відсотки мешканців — це означає, що вакцина не має жодного ефекту, ні позитивного, ні негативного.

Що таке ефективність вакцини

Гаразд, як же порахувати ефективність вакцини? Скажемо, що ефективність вакцини — це частка людей, яких вакцина врятувала від смерті. Наприклад, нехай від хвороби померла тисяча невакцинованих людей, а в альтернативній реальності, де ми вакцинували цю саму тисячу людей, померло б лише 300, а 700 вижили б. У такому разі вакцина врятувала 700 людей з 1000, і ефективність цієї вакцини була б 70 %. Якби не помер ніхто, ефективність була б 100 %, якби померли всі — 0 %.

Гаразд, але в нас немає двох паралельних всесвітів, в одному з яких ми когось вакцинуємо, а в другому цю саму людину не вакцинуємо. Тож ефективність треба рахувати інакше. Повернімося до нашого містечка зі ста тисячами мешканців. Додамо відсутню інформацію — нехай ми вакцинували 90 тисяч людей. Це дані, які ми можемо зібрати і в реальному світі. Яка ефективність вакцини? Спершу порахуємо частку померлих у кожній групі, тобто скільки відсотків вакцинованих і невакцинованих померло:

• Померла одна тисяча з 10 тисяч невакцинованих, це 10 %. Позначимо це як N = 10 % (невакциновані люди).
• Померла одна тисяча з 90 тисяч вакцинованих, це приблизно 1,11 %. Позначимо це як V = 1,11 % (вакциновані люди).

Бачимо, що померло 1,11 % вакцинованих, а невакцинованих померло 10 %. Підсумкову ефективність E обчислимо за формулою

$$E=\frac{N-V}{N}\cdot100\%$$

Після підстановки маємо

$$E=\frac{10-1{,}11}{10}\cdot100\%=\frac{8{,}89}{10}\cdot100\%=0{,}889\cdot100\%=88{,}9\%.$$

Ефективність нашої вакцини дорівнює 88,9 %. Тобто вакцина врятувала 88,9 % людей, які інакше б померли. Це можна й перевірити: у групі невакцинованих померло 10 % людей. Якби цих 90 тисяч людей ми також не вакцинували, з них померло б ті самі десять відсотків, тобто 9000 людей. Оскільки вакцина має ефективність 88,9 %, 88,9 % з цих 9000 людей зрештою вижили завдяки вакцині, тобто 88,9 % від 9000 — це якраз 8000, і лишається 11,1 % людей, які, на жаль, усе одно померли — це та тисяча померлих з умови.

Бачимо, що ця вакцина дає нам набагато вищі шанси вижити, але не можна сказати, що після вакцинації ми маємо стовідсоткову гарантію не померти від хвороби.

Чим більше вакцинованих, тим більше померлих вакцинованих

Між іншим, це веде до цікавого парадоксу. Уявімо, що цією нашою вакциною з ефективністю 88,9 % ми вакцинуємо ще 5000 людей у місті, тобто дійдемо до 95 тисяч вакцинованих і лише п'яти тисяч невакцинованих. Тоді

• З 5000 невакцинованих помре 10 %, тобто 500.
• З 95 тисяч вакцинованих помре 1,11 %, тобто приблизно 1055.

‼️‼️‼️ ШОК ‼️‼️‼️ Вакцинованих помирає набагато більше, ніж невакцинованих. Але це зумовлено суто тим, що вакцинованих на порядок більше, ніж невакцинованих. Можна сказати й так: хоча вакцинованих людей у місті в 19 разів більше, ніж невакцинованих, померлих вакцинованих лише вдвічі більше, ніж невакцинованих.

А головне — загальна кількість померлих зменшилася. Тепер у нас 500 + 1055 = 1555 померлих, а в попередньому прикладі було 1000 + 1000 = 2000 померлих.

Різні значення ефективності вакцини

Погляньмо на кілька цікавих значень ефективності:

• Ефективність 100 % ми отримали б, якби V дорівнювало нулю (не помер жоден вакцинований), а невакциновані помирали б. Ефективність вакцини не може бути більшою за 100 %.
• Ефективність 0 % ми отримали б, якби N = V (якби у відсотковому відношенні помирало стільки ж вакцинованих, скільки й невакцинованих). Це б означало, що вакцина не має жодної дії.
• Від'ємну ефективність ми отримали б, якби V було більшим за N, тобто якби у відсотковому відношенні помирало більше вакцинованих, ніж невакцинованих. Вакцина в такому разі шкодила б.

Вакцину з ефективністю близько 83 % можна уявити так: якщо ти захворієш і тобі не пощастить настільки, що хвороба мала б доконати саме тебе, вакцинація дасть тобі ще додатковий захист — можна кинути ігровий кубик, і якщо випаде від одиниці до п'ятірки, вакцинація тебе врятує, а якщо випаде шістка, хвороба тебе все одно вб'є.

Зважай на різні групи людей

Зважай на те, що під час обчислення ефективності вакцинації не варто сліпо покладатися на формулу, наведену вище. Щоб її застосувати, добре знати, як поводиться хвороба і яка наша стратегія вакцинації. Хвороби різні, вони вражають різні групи людей, і так само різні групи людей матимуть різний рівень вакцинації. Якщо хвороба вражає лише жінок, нам може бути байдуже, який рівень вакцинації серед чоловіків. Якщо хвороба вражає старші вікові групи, нам може бути байдуже, який рівень вакцинації молодших, і краще рахувати ефективність, знаючи рівень вакцинації саме старших груп.

Так само для вакцин можна вимірювати різні види захисту. У всій статті ми, дещо моторошно, одразу писали про смерть, але для вакцин можна вимірювати й те, наскільки вакцина знижує (або підвищує…) шанс того, що ми захворіємо, що будемо поширювати хворобу далі або, скажімо, що потребуватимемо госпіталізації.