Скільки буде 1 + 2 + 5 · 0? Чому множення йде першим
Соціальними мережами раз у раз ходить загадка, схожа на цю. Чому дорівнює цей вираз?
$$1+2+5\cdot0=?$$
Тож порахуймо разом:
- Один плюс два дорівнює трьом.
- Три плюс п'ять дорівнює восьми.
- І нарешті вісім помножити на нуль дорівнює нулю.
Чи вийшло в тебе те саме, що й у мене? На жаль, ми обоє порахували неправильно ‼️‼️‼️ Адже ми забули про класичне шкільне правило: множення має перевагу над додаванням. Що це означає?
Якщо в одному виразі є і додавання, і множення, то спочатку ми множимо все, що можна помножити, і лише потім повертаємося до додавання. У нашому випадку це означає, що спершу помножимо 5 · 0 і ігноруватимемо все інше у виразі. П'ять помножити на нуль — нуль. Цей нуль запишемо назад у вираз:
$$1+2+5\cdot0=1+2+0$$
І тепер маємо вираз, у якому є лише додавання. Тут уже просто: 1 + 2 + 0 дорівнює трьом. Тобто
$$1+2+5\cdot0=3$$
Інший приклад. Чому дорівнює це?
$$1+2\cdot3+4=?$$
Знову діє правило: спершу виконуємо множення, а додавання лишаємо в спокої. Тож спершу обчислимо 2 · 3, це 6:
$$1+2\cdot3+4=1+6+4$$
І тепер у виразі лише додавання, це просто:
$$1+6+4=11$$
Чому на калькуляторі виходить інакше?
Якщо ти спробуєш обчислити ті самі приклади на калькуляторі, може вийти такий самий неправильний результат, як тоді, коли ми вперше рахували 1 + 2 + 5 · 0. Як таке можливо? Є, по суті, дві можливості: або калькулятор не знає пріоритету операцій, або під час обчислення ти натискаєш «дорівнює». Якщо натискати кнопки калькулятора так:
- [Один] [плюс] [два] [дорівнює] -> калькулятор покаже 3,
- [плюс] [п'ять] [дорівнює] -> калькулятор покаже 8,
- [помножити] [нуль] [дорівнює] -> калькулятор покаже 0.
То це вже не той приклад, що був заданий вище: натиснувши «дорівнює», замість одного виразу ти отримуєш три різні, не пов'язані між собою. В останньому кроці калькулятор просто рахує вираз «вісім помножити на нуль», а це, звісно, нуль, і калькулятор показує це правильно. У цю мить калькулятор не знає, що раніше там було якесь множення, яке мало б перевагу.
Якщо ж ти не натискаєш «дорівнює», а вводиш весь приклад як
- [Один] [плюс] [два] [плюс] [п'ять] [помножити] [нуль]
і калькулятор усе одно показує нуль, то твій калькулятор не знає пріоритету операцій, що цілком можливо. У такому разі можна перевірити обчислення в Google, бо, крім пошуку, він ще й добре рахує:
- 1 + 2 + 5 · 0 у Google
- 1 + 2 + 5 · 0 у WolframAlpha (WolframAlpha — відомий онлайн-інструмент для обчислення найрізноманітніших прикладів, там можна розв'язати рівняння, похідні, інтеграли…)
Як змінити природний пріоритет операцій: дужки
Якщо ми хочемо змінити пріоритет операцій, можемо скористатися дужками. Якби ми мали вираз
$$1+2\cdot5$$
і хотіли б спершу додати 1 + 2, а потім результат помножити на п'ять, можна використати дужки так:
$$(1 + 2) \cdot5$$
Вирази в дужках мають перевагу над звичайним пріоритетом операцій. Тож спершу ми обчислимо 1 + 2, а множення залишимо як є. Отримаємо:
$$(1 + 2) \cdot5 = 3 \cdot5$$
що дорівнює п'ятнадцяти. Тобто
$$(1 + 2) \cdot5=15.$$
А що з діленням і відніманням?
З відніманням так само, як із додаванням, а з діленням — так само, як із множенням. Тобто множення й ділення мають перевагу над додаванням і відніманням. Множення й ділення між собою мають однаковий пріоритет, так само додавання й віднімання.
Для прикладу розгляньмо такий вираз
$$1+2\cdot3-8:4$$
Цей вираз тотожний такому, у який ми дописали дужки так, щоб пріоритет операцій не змінився:
$$1+(2\cdot3)-(8:4)$$
А отже
$$1+(2\cdot3)-(8:4)=1+6-2$$
що дорівнює
$$1+6-2=5.$$
Якщо множення й ділення йдуть одне за одним, рахуємо їх зліва направо, як вони трапляються:
$$6\cdot4:8$$
Спершу обчислимо 6 · 4, це 24. Ділення поки не чіпаємо:
$$6\cdot4:8=24:8$$
А тепер просто поділимо 24 на вісім:
$$24:8=3.$$
Чому множення має перевагу над додаванням
Ти можеш запитати, чому, власне, множення має перевагу над додаванням. І це гарне запитання! Можна сказати, що за цим стоїть не що інше, як домовленість математиків, що так буде. Не існує жодного правила, з якого було б очевидно, що множення мусить мати перевагу. Уся математика працювала б так само добре, навіть якби додавання мало вищий пріоритет, ніж множення. Або якби пріоритет був однаковий і ми завжди йшли б зліва направо, як тоді, коли тиснули кнопки на калькуляторі.
З іншого боку, якби перевагу мало додавання, нам знадобилося б більше дужок. Покажімо це на дещо складнішому виразі квадратичної функції:
$$3x^2+4x+5$$
У сучасній математиці цей вираз означає «три помножити на x у квадраті», до чого додаємо «чотири помножити на x», і до цього ще додаємо «п'ять». Якби додавання мало перевагу над множенням, нам довелося б використати дужки, щоб отримати той самий вираз:
$$\left(3x^2\right)+(4x)+5$$
Оскільки цей вираз та йому подібні ми в математиці вживаємо досить часто, математикам практичніше, коли множення має перевагу над додаванням. Але немає жодної причини, з якої однозначно випливало б, що це мусить бути саме так, а не інакше.
Якщо хочеш дізнатися більше, можеш прочитати статтю Why Multiplication Has Higher Priority than Addition: A Pedagogical Remark (англійською), авторами якої є Ольга Кошелева та Владик Крейнович.
Чи не краще користуватися дужками?
Часто так. Багато людей не знають, як працюють пріоритети множення й додавання, і навіть такий простий вираз, як
$$1+2\cdot3+4$$
можна зрозуміти неправильно. Якщо хочеш підвищити шанси, що люди зрозуміють те, що ти хочеш сказати математичним записом, просто додай до виразу дужки:
$$1+(2\cdot3)+4$$