Метод Трахтенберга для швидкого додавання
Метод Трахтенберга — це спосіб швидко додати кілька чисел, а потім іншим способом перевірити, чи ми порахували правильно. Придумав його математик Яків Трахтенберг, родом з Одеси. Покажемо метод на прикладі. Спробуємо додати ці три числа:
$$9551+7375+9262=?$$
Спершу запишемо числа одне під одним ось так:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline \end{array}$$
Тепер почнемо додавати стовпчики, і почнемо справа. Нас цікавитиме, чи сума не менша за 11. На першому кроці додаємо останній стовпчик, тобто 1 + 5 + 2 = 8. Цей результат менший за 11, тож просто записуємо його під рискою:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&\color{red}{1}\\ +&7&3&7&\color{red}{5}\\ +&9&2&6&\color{red}{2}\\ \hline &&&&\color{red}{8}\\ \end{array}$$
На другому кроці додаємо другий справа стовпчик, тобто 5 + 7 + 6 = 18. Метод Трахтенберга каже: щоразу, коли сума не менша за 11, віднімаємо від суми 11 і запам'ятовуємо, скільки разів це довелося зробити. Оскільки 18 більше за 11, віднімаємо 18 − 11 = 7. Число сім записуємо під рискою, а що число 11 ми віднімали один раз, відзначаємо це в рядку нижче:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&\color{red}{5}&1\\ +&7&3&\color{red}{7}&5\\ +&9&2&\color{red}{6}&2\\ \hline &&&\color{red}{7}&8\\ &&&\color{red}{1}&\\ \end{array}$$
Якщо повернутися до попереднього, крайнього правого стовпчика, побачимо, що сума там дорівнювала восьми, тобто 11 віднімати не довелося жодного разу. Тому дописуємо в таблицю нуль:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&\color{red}{1}\\ +&7&3&7&\color{red}{5}\\ +&9&2&6&\color{red}{2}\\ \hline &&&7&\color{red}{8}\\ &&&1&\color{red}{0}\\ \end{array}$$
Продовжуємо третім справа стовпчиком і додаємо 5 + 3 + 2 = 10. Десятки не лякаємося, це число менше за 11, тож записуємо його під рискою разом із нулем, бо віднімати 11 не довелося:
$$\begin{array}{cccc} &9&\color{red}{5}&5&1\\ +&7&\color{red}{3}&7&5\\ +&9&\color{red}{2}&6&2\\ \hline &&\color{red}{10}&7&8\\ &&\color{red}{0}&1&0\\ \end{array}$$
А тепер додаємо четвертий справа стовпчик, тобто перший. Бачимо, що 9 + 7 = 16, а це вже більше за 11. Віднімаємо 16 − 11 = 5, запам'ятовуємо, що 11 ми вже віднімали один раз, і продовжуємо з числом 5, яке додаємо до числа з третього рядка, тобто рахуємо 5 + 9 = 14. Чотирнадцять теж більше за 11, тож віднімаємо 14 − 11 = 3. Цей результат записуємо під рискою разом з інформацією, що одинадцять ми віднімали аж двічі:
$$\begin{array}{cccc} &\color{red}{9}&5&5&1\\ +&\color{red}{7}&3&7&5\\ +&\color{red}{9}&2&6&2\\ \hline &\color{red}{3}&10&7&8\\ &\color{red}{2}&0&1&0\\ \end{array}$$
До результату під рискою ще дописуємо один стовпчик із двома нулями, він нам згодиться пізніше:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline \color{red}{0}&3&10&7&8\\ \color{red}{0}&2&0&1&0\\ \end{array}$$
Як отримати результат за методом Трахтенберга
Проведемо ще одну горизонтальну риску й додамо обидва рядки проміжних результатів. Спершу додаємо 8 + 0 = 8 і результат записуємо під рискою:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&3&10&7&\color{red}{8}\\ 0&2&0&1&\color{red}{0}\\ \hline &&&&\color{red}{8}\\ \end{array}$$
Відтепер доведеться діяти складніше: додаватимемо числа, розташовані у формі літери «L». Додаємо два числа з передостаннього стовпчика і до них ще друге число з попереднього стовпчика, тобто 7 + 1 + 0 = 8:
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&3&10&\color{red}{7}&8\\ 0&2&0&\color{red}{1}&\color{red}{0}\\ \hline &&&\color{red}{8}&8\\ \end{array}$$
Далі додаємо 10 + 0 + 1 = 11. Тепер діємо як у звичайному додаванні: записуємо лише останню цифру 1, а десяток іде в наступний розряд.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&3&\color{red}{10}&7&8\\ 0&2&\color{red}{0}&\color{red}{1}&0\\ \hline &&\color{red}{1}&8&8\\ \end{array}$$
У наступному кроці додаємо 3 + 2 + 0 + 1 = 6, де одиниця наприкінці — та одиниця, що пішла далі на попередньому кроці (тобто за кожен десяток, який іде далі, ми додаємо одиницю).
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline 0&\color{red}{3}&10&7&8\\ 0&\color{red}{2}&\color{red}{0}&1&0\\ \hline &\color{red}{6}&1&8&8\\ \end{array}$$
І ось нарешті ми скористаємося тим стовпчиком із двома нулями — він тут лише для того, щоб ми не забули зробити останнє додавання 0 + 0 + 2 = 2.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&1\\ +&7&3&7&5\\ +&9&2&6&2\\ \hline \color{red}{0}&3&10&7&8\\ \color{red}{0}&\color{red}{2}&0&1&0\\ \hline \color{red}{2}&6&1&8&8\\ \end{array}$$
Це наш результат, отриманий за методом Трахтенберга. Отже,
$$9551+7375+9262=26188.$$
Перевірка проміжних результатів
Перевага методу Трахтенберга в тому, що можна порівняно легко перевірити, чи ми порахували правильно, не виконуючи всі обчислення заново. Трахтенберг знайшов спосіб перевірити проміжні й остаточний результати зовсім іншим шляхом. Тож якщо ти обчислиш суму за методом Трахтенберга і водночас зробиш перевірку, можна майже не сумніватися, що все пораховано правильно. Спробуймо ж перевірити, що наш результат правильний.
Усе наше обчислення можна поділити на три частини. Маємо доданки, проміжні результати і результат:
$$\begin{array}{cccc} &\color{red}{9}&\color{red}{5}&\color{red}{5}&\color{red}{1}\\ +&\color{red}{7}&\color{red}{3}&\color{red}{7}&\color{red}{5}\\ +&\color{red}{9}&\color{red}{2}&\color{red}{6}&\color{red}{2}\\ \hline \color{green}{0}&\color{green}{3}&\color{green}{10}&\color{green}{7}&\color{green}{8}\\ \color{green}{0}&\color{green}{2}&\color{green}{0}&\color{green}{1}&\color{green}{0}\\ \hline \color{blue}{2}&\color{blue}{6}&\color{blue}{1}&\color{blue}{8}&\color{blue}{8}\\ \end{array}$$
На першому етапі перевіримо, чи правильно ми обчислили проміжні результати. Для цього потрібно знайти цифровий корінь стовпчиків. Цифровий корінь числа отримуємо, додавши всі цифри цього числа. Наприклад, цифровий корінь числа 456 отримуємо так: 4 + 5 + 6 = 15. Якщо результат більший за 9, робимо наступний крок, тобто ще обчислюємо 1 + 5 = 6. Цифровий корінь числа 456 дорівнює 6.
Тепер повернімося до доданків і обчислімо цифровий корінь останнього стовпчика, тобто числа 152: 1 + 5 + 2 = 8.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&5&\color{red}{1}\\ +&7&3&7&\color{red}{5}\\ +&9&2&6&\color{red}{2}\\ \hline &&&&\color{red}{8} \end{array}$$
Далі обчислимо цифровий корінь передостаннього стовпчика, тобто числа 576, а це 5 + 7 + 6 = 18, і далі 1 + 8 = 9.
$$\begin{array}{cccc} &9&5&\color{red}{5}&1\\ +&7&3&\color{red}{7}&5\\ +&9&2&\color{red}{6}&2\\ \hline &&&\color{red}{9}&8 \end{array}$$
Для третього справа стовпчика маємо 5 + 3 + 2 = 10, а що це число двоцифрове, отримуємо 1 + 0 = 1:
$$\begin{array}{cccc} &9&\color{red}{5}&5&1\\ +&7&\color{red}{3}&7&5\\ +&9&\color{red}{2}&6&2\\ \hline &&\color{red}{1}&9&8 \end{array}$$
а для першого стовпчика маємо 9 + 7 + 9 = 25 і далі 2 + 5 = 7:
$$\begin{array}{cccc} &\color{red}{9}&5&5&1\\ +&\color{red}{7}&3&7&5\\ +&\color{red}{9}&2&6&2\\ \hline &\color{red}{7}&1&9&8 \end{array}$$
Отримані цифрові корені дають: 7198. Тепер подивімося на проміжні результати:
$$\begin{array}{cccc} \color{green}{0}&\color{green}{3}&\color{green}{10}&\color{green}{7}&\color{green}{8}\\ \color{green}{0}&\color{green}{2}&\color{green}{0}&\color{green}{1}&\color{green}{0}\\ \end{array}$$
Скопіюємо другий рядок і вставимо його в кінець, тобто другий рядок матимемо двічі:
$$\begin{array}{cccc} 0&3&10&7&8\\ 0&2&0&1&0\\ 0&2&0&1&0\\ \end{array}$$
Тепер робимо те саме, що з доданками. З кожного стовпчика утворюємо число й обчислюємо його цифровий корінь. Знову можна почати з кінця, тож маємо 8 + 0 + 0 = 8, наступний стовпчик дає 7 + 1 + 1 = 9, наступний 10 + 0 + 0 = 10, а далі 1 + 0 = 1, і нарешті 3 + 2 + 2 = 7:
$$\begin{array}{cccc} 0&3&10&7&8\\ 0&2&0&1&0\\ 0&2&0&1&0\\ \hline 0&\color{red}{7}&\color{red}{1}&\color{red}{9}&\color{red}{8} \end{array}$$
Тепер порівняємо результати. Цифрові корені доданків дали нам число 7198, так само як і цифрові корені проміжних результатів, тож ми порахували правильно. Якби ці результати відрізнялися, десь ми припустилися б помилки: або під час перевірки, або під час самого додавання.
Перевірка результату
Перевірити, що результат обчислено правильно, тепер уже просто. Обчислюємо цифровий корінь результату та цифровий корінь цифрових коренів, і вони мають збігтися. Тобто беремо наш результат 26 188 і обчислюємо його цифровий корінь:
$$\begin{eqnarray} 2+6+1+8+8&=&25\\ 2+5&=&7 \end{eqnarray}$$
Тепер обчислимо цифровий корінь наших обчислених цифрових коренів, тобто числа 7198:
$$\begin{eqnarray} 7+1+9+8&=&25\\ 2+5&=&7 \end{eqnarray}$$
Бачимо, що обидва цифрові корені дорівнюють семи, отже, перевірка пройшла успішно, і ми порахували правильно!