Яких чисел більше: парних чи непарних?
Як гадаєш, яких чисел більше? Парних чи непарних? Чи їх порівну? Як це можна визначити? А що з іншими числами? Чого більше: парних чисел чи натуральних чисел? Натуральних чисел чи раціональних чисел? Це не так просто, адже всіх цих чисел нескінченно багато. І все ж ми можемо їх порівняти й з'ясувати, яких чисел більше, а яких менше.
Спробуймо показати це на невеликій множині чисел. Уявімо дві множини чисел: сині числа і червоні числа:
Чи можемо ми якось сказати, яких чисел більше? Червоних чи синіх? Ми ж чітко бачимо, що… Що? Що ти не розрізняєш кольорів і не бачиш цього чітко? Ну гаразд, відтепер червоні числа ми додатково малюватимемо квадратиками:
Добре, тепер можна чітко побачити, що синіх чисел більше, ніж червоних. Це було просто, бо ми працюємо зі скінченними множинами чисел, тож можемо їх порахувати. Бачимо, що синіх чисел шість, а червоних лише три. З нескінченними множинами буде вже не так просто, бо їх не можна порахувати. Тож відповімо на питання із заголовка: парних чисел більше чи непарних? Для простоти обмежмося додатними числами. Уяви мішок, повний усіх непарних чисел, і мішок, повний усіх парних. Який мішок більший?
Що ж, уявити нескінченну кількість чисел непросто, а порахувати їх — ще важче. Чи немає якогось іншого способу порівняти розміри множин?
Порівняння двох скінченних множин
Уяви, що в нас є мішок, повний женихів, і мішок, повний наречених. Якщо для кожного нареченого в нас є одна наречена, а для кожної нареченої один наречений, то можна сказати, що женихів і наречених у нас порівну:
👰 👰 👰 👰 👰 👰
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵
Бачиш? Кожна наречена з першого рядка має свого нареченого з другого рядка і навпаки — кожен наречений має свою наречену. Але могло б бути й інакше: кожна наречена мала б нареченого, а не кожен наречений мав би наречену:
👰 👰 👰 👰 👰 ❌
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵
Кожна дружина має чоловіка, а один чоловік залишається сумувати без дружини. Коли один чоловік зайвий, можемо сказати, що чоловіків у нас більше, ніж дружин. Так само, якщо зайвою буде одна наречена
👰 👰 👰 👰 👰 👰
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌
то можна сказати, що наречених у нас більше, ніж чоловіків.
Порівняння двох нескінченних множин
Чи можна застосувати цей підхід до двох нескінченних множин? Чи можемо ми поставити кожному непарному числу у пару якесь парне число, а кожному парному — якесь непарне, причому жодне число не використовуємо двічі? Можемо! Кожне непарне число n можна поєднати з парним числом n + 1. Тобто число 5 поєднаємо з числом 5 + 1, число 149 — з числом 150 тощо. Утворення пар показує така анімація:
Для кожного непарного червоного числа в нас є відповідне унікальне синє парне число, а для кожного парного синього числа — відповідне унікальне червоне непарне число. Нам вдалося поєднати в пари всі непарні числа з усіма парними. А це означає, що парних і непарних чисел порівну!
Що ж, це було не надто несподівано, правда? Спробуймо порівняти інші множини чисел: усі натуральні числа проти парних. Тут результат уже буде більш шокувальним.
Чого більше: натуральних чисел чи парних?
Яких чисел більше? Натуральних чи парних?
Очевидно, що натуральні числа містять у собі всі парні числа. Та ще й містять додаткові числа — непарні. Отже, ясно, що натуральних чисел має бути більше — адже їх удвічі більше!
Ех, якби життя було таким простим!
Нас не цікавить, чи містить одна множина якісь зайві числа. Нас цікавить, чи можемо ми якось поєднати в пари числа з двох різних множин. Чи можемо ми поєднати кожне парне число з кожним натуральним? Хоча натуральних чисел більше? А от і можемо.
Кожне натуральне число p можна просто поєднати з парним числом 2 · p і навпаки — кожне парне число n можна поєднати з натуральним числом n / 2. Тож натуральне число 5 поєднаємо з парним числом 10, а парне число 14 — з натуральним числом 7 тощо. Утворення пар для перших кількох чисел показує така анімація:
Раптом для кожного натурального числа ми маємо унікальне парне число, а для кожного парного числа — унікальне натуральне! Яка різниця, що натуральних чисел більше. Чисел і тих, і тих нескінченно багато, і вони в нас ніколи не закінчаться. З нашого погляду множина парних чисел така сама за розміром, як і множина натуральних чисел! 😱
Це трохи суперечить інтуїції, але так воно і є.
Чого більше: натуральних чисел чи раціональних?
Раціональні числа — це дроби. Усі числа, які можна записати у вигляді p/q, де p і q — цілі числа й $q \neq 0$, є раціональними. Наприклад, ½, ¾ чи 8 — раціональні числа, а ось π уже раціональним числом не є. Раціональних чисел набагато більше, ніж натуральних. Наприклад, між числами 2 і 4 існує єдине ціле число, а саме 3, але нескінченно багато раціональних чисел. Нескінченно багато раціональних чисел є навіть між числами 0,001 і 0,002. Ось скільки їх!
Тож можна було б очікувати, що множина раціональних чисел мусить бути більшою за множину натуральних чисел. Але водночас ми всі якось відчуваємо, що тут має бути підступ. Гаразд, спробуймо поєднати раціональні числа з натуральними. Почнемо з того, що запишемо раціональні числа в таку таблицю:
Закономірність має бути зрозумілою: усі дроби в першому рядку мають у чисельнику (над дробовою рискою) одиницю, а в знаменнику — числа, що послідовно зростають: 1, 2, 3 тощо. У стовпці все навпаки. Якби ми продовжили до нескінченності, у цій таблиці були б усі можливі дроби. Наприклад, дріб 1478/517 міститься в рядку 1478 і стовпці 517. Спробуймо тепер створити нашу функцію поєднання в пари. Можна зробити це так:
- Натуральне число 1 поєднаємо з першим дробом у першому рядку, тобто з 1/1
- Натуральне число 2 поєднаємо з другим дробом у першому рядку, тобто з 1/2
- Натуральне число 3 поєднаємо з третім дробом у першому рядку, тобто з 1/3
- Натуральне число 4 поєднаємо з четвертим дробом у першому рядку, тобто з 1/4
- …
Чи вдалося нам так поєднати всі натуральні числа? Так. Кожне натуральне число має свою пару. Натуральне число 174 має в парі дріб 1/174. Але чи так само й навпаки? Чи кожен дріб має пару серед натуральних чисел? Яка пара в дробу 2/3? Жодної, бо з нашою функцією ми ніколи не дійшли до другого рядка. Нам вдалося поєднати в пари лише перший рядок дробів.
Чи означає це, що раціональних чисел більше, ніж натуральних? На жаль, ні — те, що не спрацювала одна стратегія, не означає, що не спрацює інша. Спробуймо цього разу рухатися по діагоналях:
- Натуральне число 1 поєднаємо з дробом 1/1 (перша діагональ),
- натуральне число 2 поєднаємо з дробом 1/2 (друга діагональ),
- натуральне число 3 поєднаємо з дробом 2/1 (друга діагональ),
- натуральне число 4 поєднаємо з дробом 1/3 (третя діагональ),
- натуральне число 5 поєднаємо з дробом 2/2 (третя діагональ),
- натуральне число 6 поєднаємо з дробом 3/1 (третя діагональ),
- тощо.
Цю стратегію можна побачити на анімації:
Так ми можемо охопити всі дроби. Жодна діагональ не нескінченна, тож у жодній діагоналі ми не застрягнемо «назавжди». Зрештою кожен дріб матиме призначене натуральне число, і, звісно, кожне натуральне число матиме призначений унікальний дріб.
Ну… Насправді не зовсім. Якщо ще раз глянути на нашу таблицю з дробами, побачимо, що багато чисел там повторюється. Наприклад, дроби 1/1, 2/2, 3/3 тощо позначають те саме число — число 1. Так само дроби 1/2, 2/4 і 3/6 позначають одну другу. Фактично натуральні числа 1, 5, 13 тощо ми відображаємо в те саме раціональне число 1! Кілька женихів одружуються з однією й тією самою нареченою. Так не годиться!
На щастя, це легко виправити. Просто викреслимо з таблиці всі дроби, що не є нескоротними, тобто всі дроби, які можна скоротити. Після цього в таблиці залишаться лише унікальні раціональні числа, і наш трюк з діагоналями спрацює. Кожне натуральне число буде поєднане з унікальним раціональним числом і навпаки.
А це означає, що множина натуральних чисел така сама за розміром, як і множина раціональних чисел!
Поки що виглядає так, ніби всі нескінченні множини однакові за розміром. Чи існує якась нескінченна множина, що є більшою за множину натуральних чисел?
Чого більше: натуральних чисел чи дійсних?
У гру вступає наш останній порятунок: дійсні числа. Інших чисел на числовій осі в нас уже немає. Як вони виглядають? Дійсні числа містять у собі всі раціональні числа і на додачу всі ірраціональні. Якщо записати число у вигляді десяткового дробу, то раціональне число:
- або має скінченний десятковий розклад, наприклад 0,4841554,
- або має нескінченний періодичний розклад: 0,1313131313…
Ірраціональні числа, навпаки, завжди мають нескінченний десятковий розклад, до того ж неперіодичний. Ірраціональне число — це, наприклад, число π, що дорівнює 3,141592653… (без періоду). Скажімо одразу наперед: дійсних чисел набагато більше, ніж раціональних, а отже, і ніж натуральних. Множина дійсних чисел більша за множину натуральних чисел. А як це довести?
Уяви, що ми знайшли якусь стратегію поєднання в пари всіх натуральних і всіх дійсних чисел. Припустимо, що це така:
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… …
Припустімо, що ліворуч у нас усі натуральні числа, а праворуч — усі дійсні. Якби це була правда, ми б не змогли знайти жодного дійсного числа, якого праворуч бракує. Але ми вже наперед заспойлерили, що множина дійсних чисел більша, а отже, праворуч нам якогось числа бракує. Ну так, але якого? Ось, наприклад, видно, що бракує числа 0,4818063607183678. Але що, як воно якраз ховається під числом 8?
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 …
А що з числом 0,4208424736008147? Його теж не видно. Але що, як воно якраз ховається під числом дев'ять?
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 …
Так не вийде. Адже ми, звісно, не можемо виписати всі пари, бо їх нескінченно багато, і не можемо просто гадати, чи є там це число, чи ні. Нам потрібно знайти число, яке відрізняється від усіх чисел праворуч у таблиці, хоча ми не знаємо, які саме числа там є. Як це зробити?
Щоб два числа відрізнялися, досить, щоб вони відрізнялися в одній цифрі. Наприклад, числа 0,123456 і 0,123457 не однакові — але відрізняються лише однією цифрою. Нам цього досить. Тож у нашій таблиці в n-му дійсному числі завжди виділимо n-ту цифру після коми:
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 …
а нове число складемо так, щоб його n-та цифра після коми відрізнялася від n-ї цифри n-го дійсного числа. Отже, нове число побудуємо так: почнемо з нуля, 0,???, а першу цифру після коми виберемо так, щоб вона відрізнялася від першої цифри першого дійсного числа, тобто щоб відрізнялася від трійки. Напишемо, скажімо, 0,1???. Друга цифра має бути відмінною від другої цифри другого дійсного числа, тобто відмінною від 9. Напишемо, скажімо, двійку: 0,12???. І так далі. Перші дев'ять цифр могли б виглядати так: 0,123123127 (див. останній рядок таблиці):
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 ? → 0,123123127
Бачимо, що це число відрізняється від усіх чисел, бо від кожного з них воно відрізняється принаймні в одній цифрі. Хоча наша таблиця містить нескінченно багато чисел, нове число складене з нескінченної кількості цифр так, що від усіх чисел у таблиці воно відрізняється принаймні в одній цифрі. І зауваж, що можна побудувати нескінченно багато чисел, яких у таблиці немає! Що з цього випливає? Ми не можемо поєднати в пари натуральні числа з дійсними. Завжди залишиться нескінченно багато дійсних чисел, які не будуть поєднані з жодним натуральним числом. Дійсних чисел набагато більше, ніж натуральних.
Примітки наприкінці
- Для простоти ми в усій статті ігнорували від'ємні числа. Але вони, звісно, нічого не змінюють, і як домашнє завдання ти можеш змінити описані тут стратегії поєднання так, щоб вони працювали й з від'ємними числами.
- Розмір множини натуральних чисел навіть має власну назву. Її називають алеф-нуль.
- У математиці замість «розмір множини» ми часто вживаємо поняття потужності множини (кардинального числа).