Розбавлення і змішування розчинів

Розчин утворюється, коли ми, наприклад, розчиняємо етанол у воді. Виходить однорідна суміш, що складається з розчиненої речовини (етанол) і розчинника (вода). Зазвичай під розчином ми маємо на увазі рідкий розчин, але загалом може бути й розчин двох твердих речовин, наприклад сплав бронзи.

Концентрація розчину

Концентрація показує, яка кількість розчиненої речовини міститься в розчині. Концентрацію можна виражати кількома способами:

• Масова: скільки грамів розчиненої речовини міститься в 100 г розчину.
• Об'ємна: скільки мілілітрів розчиненої речовини міститься в 100 мл розчину.
• Відсоткова: скільки відсотків розчиненої речовини міститься в розчині, наприклад може бути 40-відсотковий розчин, а це означає, що на 100 мл розчину припадає 40 мл речовини.

Яку концентрацію матиме розчин води й етанолу, якщо цього розчину є 500 мл, з яких 150 мл — етанол? Щоб отримати об'ємну концентрацію, потрібно знати, скільки мл міститься в 100 мл. А ми знаємо, скільки мл міститься в півлітрі. Допоможе правило трьох. Спершу порахуємо, скільки етанолу було б в 1 мл розчину, для цього розділимо кількість етанолу на 500:

$$\large\frac{150\ \text{мл}}{500}=0{,}3\ \text{мл}$$

Знаючи кількість етанолу в 1 мл, знайдемо кількість у 100 мл, помноживши її на 100:

$$\large0{,}3\ \text{мл}\cdot100=30\ \text{мл}$$

Отже, розчин має концентрацію 30 мл етанолу на 100 мл. Це 30-відсотковий розчин.

Рівняння змішування

За допомогою рівняння змішування можна обчислити концентрацію розчину, який отримаємо, змішавши два різні розчини. Уявімо, що маємо два розчини:

1. розчин об'ємом 500 мл, що містить 30 % етанолу,
2. розчин об'ємом 400 мл, що містить 20 % етанолу.

Якої концентрації буде розчин, якщо їх змішати? Позначимо V₁ = 500 об'єм першого розчину, V₂ = 400 об'єм другого розчину та V = V₁ + V₂ об'єм отриманого розчину.

Далі нам знадобиться так звана об'ємна частка — це просто концентрація у відсотках, переведена у вигляд дробу. Перший розчин з концентрацією 30 % має об'ємну частку $c_1 = \frac{30}{100}$, а другий розчин концентрації 20 % — об'ємну частку $c_2 = \frac{20}{100}$. (Якби ми працювали з грамами замість літрів, мали б масові частки, принцип був би той самий.) Нехай отриманий розчин має об'ємну частку c. Тепер можемо записати рівняння змішування:

$$\large c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot V$$

У цьому рівнянні єдина невідома — отримана концентрація c. Усі значення ліворуч від знака рівності ми знаємо з умови, а отриманий об'єм V теж відомий, це просто сума об'ємів V₁ і V₂:

$$\large c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1 + V_2)$$

Підставимо конкретні значення замість усіх змінних:

$$\frac{30}{100}\cdot500+\frac{20}{100}\cdot400=c\cdot(500+400)$$

У лівій частині тепер обчислимо добутки дробів, а в правій просто додамо об'єми:

$$\large150+80=c\cdot900$$

Тепер поділимо все рівняння на 900, тоді в правій частині залишиться лише шукана концентрація c:

$$\large\frac{150+80}{900}=c$$

Додамо числа в чисельнику й просто поміняємо місцями ліву та праву частини рівняння змішування (зазвичай невідому хочуть мати ліворуч):

$$\large c=\frac{230}{900}$$

Це наша шукана об'ємна частка. Щоб отримати її у вигляді відношення, порахуємо 230 поділити на 900:

$$\large\frac{230}{900}=0{,}255555…$$

Значення у відсотках отримаємо, помноживши це відношення на 100, і вийде приблизно 25,6 %. Отриманий розчин матиме концентрацію приблизно 25,6 %, тобто близько 25,6 мл етанолу на 100 мл.

Чим розбавити, щоб отримати потрібний розчин?

Інколи потрібно з'ясувати дещо інше. Нехай знову є розчин об'ємом 500 мл, що містить 30 % етанолу, і другий розчин, що містить 55 % етанолу. Скільки мл другого розчину треба змішати з першим, щоб отримати 40-відсотковий розчин? Знову скористаємося рівнянням змішування

$$\large c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1 + V_2)$$

Єдина невідома — V₂, усе інше відомо. На відміну від попереднього випадку, тепер ми знаємо $c = \frac{40}{100}$, бо знаємо, який розчин хочемо отримати. Підставимо відомі значення в рівняння змішування:

$$\large \frac{30}{100}\cdot500+\frac{55}{100}\cdot V_2=\frac{40}{100}(500+V_2)$$

Помножимо все рівняння на 100:

$$\large 30\cdot500+55\cdot V_2=40\cdot(500+V_2)$$

Обчислимо добуток ліворуч і розкриємо дужки праворуч:

$$\large 15\ 000+55\cdot V_2=40\cdot500+40\cdot V_2$$

Віднімемо 15 000 від обох частин рівняння:

$$\large 55\cdot V_2=40\cdot500+40\cdot V_2-15\ 000$$

Віднімемо 40 · V₂ від обох частин рівняння:

$$\large 55\cdot V_2-40\cdot V_2=40\cdot500-15\ 000$$

Додамо й віднімемо, що можна:

$$\large 15\cdot V_2=20\ 000-15\ 000$$

Віднімемо в правій частині:

$$\large 15\cdot V_2=5\ 000$$

Поділимо обидві частини рівняння на 15:

$$\large V_2=\frac{5\ 000}{15}=333{,}333…$$

Отже, треба долити приблизно 333 мл (третину літра) другого, 55-відсоткового розчину, щоб отримати розчин з концентрацією 40 %. Можна перевірити, чи ми правильно порахували. Перший розчин об'ємом 500 мл містив 30 % етанолу, тобто 150 мл етанолу. Якщо додати 333 мл другого, 55-відсоткового розчину, то в ньому буде 183 мл етанолу. Загалом ми отримали розчин об'ємом 500 мл + 333 мл, тобто 833 мл, який містить 150 мл + 183 мл, тобто 333 мл етанолу. Якщо порахувати частку

$$\frac{333}{833}\approx 0{,}4$$

то отримаємо (після округлення) 40-відсотковий розчин етанолу у воді.