Fundamentos de estadística

La estadística es la ciencia que intenta estudiar datos reales y, con ayuda de la teoría de la probabilidad, describirlos.

Sección propia de estadística

Este es un artículo antiguo y desactualizado: la estadística ya tiene su propia sección con un artículo introductorio, Conceptos básicos de estadística.

Conceptos básicos

En estadística se trabaja con varios conceptos básicos, que describiremos aquí.

En primer lugar, el conjunto de datos, que es un conjunto finito de datos que queremos estudiar. Los datos pueden ser de cualquier tipo, en principio puede ser cualquier cosa. Si quieres estudiar el salario medio en España, el conjunto de datos será el conjunto de todas las personas de España. El número de elementos de un conjunto de datos se llama tamaño del conjunto. El tamaño del conjunto de datos que hemos definido sería, pues, igual al número de habitantes de España.

Además, existe el concepto de individuo, que es un elemento concreto del conjunto de datos. En nuestro caso, un individuo sería una persona concreta.

Por último, tenemos la variable estadística, que es lo que queremos medir. En nuestro ejemplo, la variable estadística sería precisamente el salario. Una variable estadística puede ser cualitativa o cuantitativa. Una variable cuantitativa (cantidad = magnitud, número) es una variable que se puede expresar con números (por ejemplo, justamente el salario, la altura, el número de hijos, …); una variable cualitativa se expresa con palabras (el color, sí/no, la profesión, …).

Frecuencias

La frecuencia puede ser relativa o absoluta e indica cuántos valores de la variable dada aparecen en el conjunto de datos, ya sea de forma absoluta o de forma relativa respecto del número total de elementos del conjunto.

Lo importante es que, para calcular la frecuencia, tenemos que aplicar la variable estadística, porque si quisiéramos calcular la frecuencia absoluta de un individuo, forzosamente llegaríamos al número cero o uno, ya que el conjunto de datos es un conjunto y un conjunto como tal no admite que haya en él varios elementos iguales.

Así, la frecuencia absoluta del valor z de la variable estadística indica el número de apariciones de z en el conjunto de datos S. Ejemplo: tenemos una clase de diez alumnos. Cada alumno ha recibido en el boletín una puntuación de matemáticas de 1 a 5 (5 es la mejor). Las puntuaciones las recoge la siguiente tabla:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 4& 1& 3& 4& 5& 5& 4& 2& 5& 3\end{array}$$

Observación: el conjunto de datos de este ejemplo serían esos diez compañeros, algo así como

$$S=\{\text{Hugo},\text{Lucía},\text{Martín},\dots \}$$

En la tabla tenemos, para simplificar, en la primera fila un identificador numérico del alumno; en la primera fila están, pues, los individuos, es decir, los elementos del conjunto de datos. En la segunda fila tenemos los valores de la variable estadística, es decir, los valores de «puntuación final de matemáticas» del alumno correspondiente.

La frecuencia absoluta del valor (puntuación del boletín) z = 3 sería, pues, igual a dos: solo dos alumnos recibieron en el boletín un tres (son los «alumnos» 3 y 10). La frecuencia absoluta del valor z = 5 sería tres (los «alumnos» 5, 6 y 9).

La frecuencia relativa indica qué porcentaje de los valores de la variable del conjunto de datos es igual al valor z. La frecuencia relativa del valor z se calcula así:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

donde z_a es la frecuencia absoluta del valor z y |S| es el tamaño del conjunto de datos, es decir, el número de elementos. La frecuencia relativa de la puntuación tres sería, pues:

$$r_3=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

El tamaño de nuestro conjunto es diez, porque en la clase hay diez alumnos. La expresión en porcentaje se obtiene multiplicando por cien, es decir, obtendríamos el 20 %. La frecuencia relativa del cinco sería

$$r_5=\frac{3}{10}.$$

Media aritmética

La media aritmética, o a menudo simplemente la media, es el promedio de todos los valores del conjunto de datos. Con la palabra valor nos referimos al resultado tras aplicar la variable estadística. La media se calcula sumando todos los valores y dividiendo entre el número de valores del conjunto. Más o menos así:

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

He añadido también la expresión con una suma, por si te resulta más legible. Pero basta con la expresión anterior con la fracción. Los valores x representan todos los valores de nuestro conjunto.

Ejemplo: tomamos los datos de la tabla anterior y calculamos la puntuación media por alumno.

$$\bar{x}=\frac{4+1+3+4+5+5+4+2+5+3}{10}=\frac{36}{10}=3,6$$

En nuestra clase la puntuación media es 3,6. Como ves, la media aritmética puede dar un valor que en realidad no es válido en absoluto: no se puede poner una puntuación de 3,6.

La media aritmética también es poco útil cuando una parte de los datos tiene un valor muy distinto del resto. Así, si tenemos un conjunto con los valores 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75, la media aritmética nos sale

$$\bar{x}=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

Vemos que el valor obtenido está muy lejos de todos los valores del conjunto. Es varias veces mayor que los seis primeros números y varias veces menor que el último valor. Es un problema que puede resolver, por ejemplo, la mediana, como veremos más adelante. Al menos ya sabes por qué dos tercios de las personas no llegan al salario medio: existe un pequeño grupo de personas con salarios muy por encima de lo normal, que elevan la media aritmética.

Media geométrica

La media geométrica se calcula de forma parecida a la media aritmética, solo que en lugar de la suma se usa la multiplicación y en lugar de la división, la raíz. Así, la media geométrica se calcula de este modo:

$${\bar{x}}_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

La media geométrica se puede usar como indicador de crecimiento. Por ejemplo, supongamos que el precio de un producto aumentó un 10 % en un año, un 15 % al año siguiente y un 5 % al otro. El precio original c era, pues, tras esos tres años,

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

La media geométrica de estos coeficientes sería:

$${\bar{x}}_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

¿Qué significa? Que si el precio se multiplicara cada año exactamente por el número 1,0992419 (es decir, aumentara aproximadamente un 9,92 %), el precio final tendría el mismo valor:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Moda y mediana

La moda de una variable es el valor que tiene la frecuencia más alta y se denota Mo(x). Si volvemos al ejemplo de las puntuaciones, las modas son los valores 4 y 5, porque son los que aparecen con más frecuencia: ambos tienen frecuencia absoluta 3.

La mediana es el valor central y la denotamos Me(x). Si sabemos ordenar los valores en una sucesión no decreciente

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

la mediana es el valor que está en medio de esa sucesión. El valor central es distinto según la sucesión tenga un número impar o par de elementos. Si es impar, la mediana es el elemento que ocupa la posición

$$\text{Me}(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Si la sucesión tiene un número par de elementos, no tiene ningún elemento que esté justo en el centro (ejemplo: la sucesión 1, 2, 3, 4 simplemente no tiene elemento central). Por eso tomamos la media de los dos valores centrales (la media de los valores 2 y 3). Así, la fórmula para n par es:

$$\text{Me}(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Volvamos al ejemplo que ilustraba la media mal utilizada. Teníamos el conjunto de valores s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. La moda sería igual a dos, es el único número que se repite. Para calcular la mediana ordenamos los números en una sucesión:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

La sucesión tiene siete elementos, así que el elemento central es a₄ y es igual a tres.