Probabilidad

La probabilidad de un suceso aleatorio nos indica qué posibilidades tenemos de que dicho suceso ocurra. Un ejemplo típico es lanzar un dado normal. Podemos preguntarnos «¿cuál es la probabilidad de que salga el número cinco?». La probabilidad la expresamos como un número del intervalo [0, 1] o mediante porcentajes, es decir, del 0 % al 100 %.

Definiciones relacionadas

De toda actividad repetible que depende del azar decimos que es un experimento aleatorio. Por ejemplo, lanzar un dado o el sorteo de La Primitiva es un experimento aleatorio. Además necesitamos el conjunto de todos los resultados posibles del experimento aleatorio: son todas las posibilidades que pueden darse en dicho experimento. Por ejemplo, en un dado pueden salir los números del uno al seis, así que el conjunto de todos los resultados posibles, que llamamos espacio muestral y denotamos Ω (omega), sería para el dado el siguiente: Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En La Primitiva serían todas las combinaciones que pueden salir.

Cada subconjunto A ⊆ Ω lo llamamos suceso (aleatorio). Por ejemplo, el suceso «en el dado sale un número par» lo escribiríamos como A = {2, 4, 6}. El suceso «en el dado sale un número mayor que cinco» lo escribiríamos como A = {6}, y así sucesivamente. Si lanzamos el dado (= realizamos el experimento) y sale el número x, entonces, si x ∈ A, decimos que el suceso ha ocurrido; en caso contrario, decimos que no ha ocurrido. Si nos quedamos con el suceso «en el dado sale un número par» y sale x = 2, entonces x ∈ A, es decir, 2 ∈ {2, 4, 6}, y el suceso ha ocurrido.

Existen dos tipos especiales de sucesos: el suceso seguro y el suceso imposible. Un suceso es seguro si ocurre en cada experimento, lo cual significa que A = Ω. En los dados sería el suceso «sale un número menor que 7». Eso saldrá seguro. Lo contrario es el suceso imposible, que sería A = ∅ y, dicho con palabras, por ejemplo, «en el dado sale una maceta». En fin, durante el lanzamiento una maceta puede caerse de la mesa, pero seguro que no sale una maceta en el dado, porque en él solo hay números del 1 al 6.

Probabilidad de un suceso

La probabilidad de un suceso nos dice cuánto podemos esperar que dicho suceso ocurra. Seguramente todos intuimos que en el dado saldrá un número par más a menudo que precisamente el número cinco. La probabilidad convierte esta intuición en números exactos. Primero enunciaremos algunos supuestos que vamos a necesitar.

Supongamos que para un experimento aleatorio se cumple:

• El número de resultados posibles es finito (es decir, Ω es un conjunto finito).
• No pueden salir dos resultados a la vez (es decir, no podemos sacar en el dado el 3 y el 6 al mismo tiempo).
• Todos los resultados son equiprobables (es decir, tenemos la misma posibilidad de sacar en el dado el 4 que de sacar el 6 o el 1).

Las dos primeras condiciones son bastante naturales; la última es algo restrictiva, pero de momento nos basta con ella. Entonces podemos decir que la probabilidad del suceso A, que denotamos P(A), es igual a

$$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}.$$

Dicho de otro modo: número de casos favorables dividido entre número de casos posibles. (Las barras de la fórmula anterior significan el tamaño del conjunto.) La probabilidad de sacar un número par en el dado sería, pues, igual a:

$$P(Par)=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

A menudo expresamos la probabilidad en forma de porcentaje: basta tomar la probabilidad que hemos calculado, multiplicarla por cien y añadir el signo de porcentaje: 0,5 · 100 % = 50 %. Una probabilidad del cincuenta por ciento nos dice, en realidad, que tenemos la misma posibilidad de que salga un número par que de que no salga. Lo cual tiene sentido, ya que en el dado tenemos tres números pares y tres impares.

El suceso seguro tiene probabilidad 1 y el suceso imposible, 0. ¿Por qué? Hemos dicho que para el suceso seguro J se cumple J = Ω y para el suceso imposible N se cumple N = ∅. Si sustituimos estos sucesos en la fórmula, obtenemos:

$$P(J)=\frac{|\mathrm{\Omega }|}{|\mathrm{\Omega }|}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{0}{|\mathrm{\Omega }|}=0.$$

Ejercicios resueltos

1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el dado salga el número cinco? Es sencillo: el conjunto de todos los resultados favorables es solo A = {5} y el conjunto de todos los resultados sigue siendo Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sustituimos en la fórmula:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. ¿Cuál es la probabilidad de que en el dado salga un número divisible entre tres? Tenemos que averiguar qué números del dado son divisibles entre tres. Son solo los números 3 y 6, así que el conjunto de resultados favorables es B = {3, 6}. Y ya como de costumbre:

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Ahora probaremos a lanzar dos dados a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambos dados salga un seis? Primero tenemos que calcular Ω, es decir, el conjunto de todos los resultados. Tenemos que contar todas las posibilidades que pueden darse. Así, cuando en el primer dado sale el número 1, en el segundo puede salir del 1 al 6. Con ello hemos encontrado seis posibilidades. Cuando en el primer dado sale el número 2, en el segundo pueden volver a salir los números del 1 al 6; con ello hemos encontrado otras seis posibilidades. Y así sucesivamente para todos los números que pueden salir en el primer dado. Todas las posibilidades tienen entonces este aspecto:

   $$\begin{array}{rcl}& \mathrm{\Omega }=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & & \dots \\ & & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}$$

   Tenemos en total seis filas y en cada fila seis posibilidades. En total obtenemos 6 · 6 = 36 posibilidades que pueden salir en los dados. ¿Cuántas de ellas estarán a la vez en el conjunto de resultados favorables? Solo una posibilidad, concretamente (6, 6), porque queremos que salgan dos seises. Obtenemos así la probabilidad:

   $$P(C)=\frac{|\{(6,6)\}|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados salga en ambos el mismo número? El número de todos los resultados posibles sigue siendo 36, véase el ejercicio anterior. Pero ¿cuántos resultados favorables hay? Solo en seis casos sale en ambos dados el mismo número: D = {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}. Sustituimos en la fórmula:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados, uno blanco y otro negro, salga un 3 en el dado blanco y un 5 en el negro? El tamaño de Ω sigue siendo 36. ¿Qué aspecto tiene el conjunto de resultados favorables E? Contiene únicamente la posibilidad (3, 5), así que la probabilidad es igual a

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados, uno blanco y otro negro, salgan los números 3 y 5? Este ejercicio es parecido al anterior, solo que no exigimos que el 3 salga en el dado blanco y el 5 en el negro. Simplemente, en uno de los dados tiene que salir el 3 y en el otro el 5. Así obtenemos más posibilidades: además de (3, 5) tenemos también la posibilidad (5, 3). La probabilidad de este suceso F es, pues, igual a:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados salga al menos un seis? Iremos poco a poco: si sale un seis en el primer dado, en el segundo pueden salir los números del 1 al 5. Son cinco posibilidades. Si sale un seis en el segundo dado, en el primero pueden salir los números del 1 al 5. Son otras cinco posibilidades. Y por último, el seis puede salir en ambos dados: es otra posibilidad más. En total tenemos, pues, 5 + 5 + 1 = 11 posibilidades. El conjunto de resultados favorables G tiene, por tanto, este aspecto: G = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}. Obtenemos la probabilidad:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. En una clase hay 30 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno Hugo salga a la pizarra en la clase de Historia, si la profesora pregunta siempre a dos alumnos por clase y todavía no ha salido nadie? Para calcular la probabilidad necesitamos calcular cuántas parejas distintas de alumnos existen y cuántas parejas distintas de alumnos existen en las que uno de la pareja es Hugo. Como no importa el orden en que la profesora saque a los alumnos, usaremos las combinaciones.

   Ahora ya será sencillo. Tenemos en total 30 alumnos y nos preguntamos cuántas parejas distintas podemos formar con ellos. Eso nos lleva al número combinatorio

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   ¿Y en cuántas parejas está también Hugo? Si uno de los dos es Hugo, quedan en total 29 alumnos con los que Hugo puede formar pareja (consigo mismo no puede formarla, por eso 30-1=29). Ahora ya conocemos el número de todos los casos y el de los casos favorables, así que sustituimos en la fórmula:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Nota: el número de todas las parejas también podemos calcularlo sin combinaciones. ¿De qué manera podríamos formar todas las parejas si tenemos una clase de 30 alumnos? Tomando siempre a un alumno y añadiéndole sucesivamente a todos los demás. Es decir, tomamos, por ejemplo, a Martín y le añadimos como pareja a todos los demás alumnos, o sea, formamos 29 pares. Esto lo hacemos con cada alumno, es decir, con los 30 alumnos. Obtenemos en total 30 · 29 = 870 pares. Sin embargo, cada par lo tenemos dos veces: una vez tenemos la pareja (Martín, Lucía) y otra (Lucía, Martín) (según si Martín era aquel al que se asignaba el resto de la clase o el que se asignaba a Lucía). Este resultado hay que dividirlo todavía entre dos y tenemos el resultado final: 870 / 2 = 435.

9. ¿Cuál es la probabilidad de que, de un zapatero en el que hay doce pares de zapatos, saquemos exactamente tres zapatos del pie izquierdo? Es un ejemplo muy práctico de la vida cotidiana; seguro que alguna vez has necesitado saberlo. Empezamos calculando cuántas ternas distintas podemos sacar del zapatero. Para ello necesitaremos las combinaciones, porque no importa el orden en que saquemos los zapatos. Tenemos en total 24 zapatos y queremos sacar 3. Obtenemos el número combinatorio:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   Con ello hemos calculado que existen en total 2024 combinaciones distintas de tres zapatos que podemos sacar del zapatero. Ahora tenemos que calcular qué combinaciones son favorables, es decir, qué combinaciones de tres zapatos contienen solo zapatos del pie izquierdo. Sabemos que en el zapatero hay en total 12 zapatos del pie izquierdo. Calculamos, pues, cuántas combinaciones podemos formar con estos 12 zapatos. Eso lleva de nuevo al número combinatorio:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Existen, por tanto, 220 combinaciones que contienen siempre solo zapatos del pie izquierdo. Es todo lo que necesitamos saber; ahora solo sustituimos en la fórmula:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Tenemos, pues, una probabilidad de aproximadamente el diez por ciento de que saquemos tres zapatos y todos sean del pie izquierdo.