Binomio de Newton

El binomio de Newton es una generalización de las fórmulas clásicas del tipo (a + b)² con ayuda de las técnicas combinatorias.

Motivación

Seguro que conoces las fórmulas para calcular (a + b)² o (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Y la pregunta natural es si no se pueden generalizar estas fórmulas para cualquier número natural n, es decir, si se puede calcular (a + b)ⁿ.

Deducción

Claro que se puede, y para eso sirve precisamente el binomio de Newton. Veamos cómo continuaría este desarrollo para n = 4 y n = 5.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Ya deberías ver cierto patrón. Si tenemos la expresión (a + b)ⁿ, en el lado derecho siempre empezamos con el término aⁿ. El segundo término también contiene la variable a, pero con el exponente una unidad menor. Por ejemplo, en el desarrollo de (a + b)⁴ tenemos en el lado derecho, en el primer término, a⁴ y en el segundo, a³. Cada término siguiente contiene la variable a con un exponente una unidad menor que el término anterior. La variable b, en cambio, va creciendo. Al principio no tenemos la variable b, o mejor dicho, la tenemos, pero con exponente cero: b⁰ = 1. En el segundo término b tiene exponente uno, luego dos, etc.

En todo ello se cumple una regla sencilla: la suma de los exponentes tiene que ser siempre igual a n. Si consideramos el último desarrollo, (a + b)⁵, por ejemplo el tercer término es 10a³ · b² y la suma de los exponentes de las variables a y b es justamente 5.

Queda por ver cuáles serán los coeficientes (esos números delante de las variables) de cada término. Seguro que te fijas en que esos coeficientes son simétricos: en (a + b)⁴ tenemos los coeficientes 1, 4, 6, 4, 1 y en (a + b)⁵ tenemos: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Recuerda que a⁴ = 1 · a⁴, por eso escribo ahí ese uno, aunque no lo indico explícitamente en las fórmulas. Otra relación la mostraremos en el triángulo de Pascal.

Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una herramienta útil para calcular el desarrollo según el binomio de Newton. El triángulo de Pascal está formado por números y se cumple que el número que está debajo de otros dos es igual a su suma. Suena enrevesado, pero con el propio triángulo quedará claro:

Fíjate, por ejemplo, en el número cuatro. Encima de este número están los números 1 y 3. Y la suma 1+3 da justamente 4. Lo mismo ocurre con los demás números.

¿Y cómo usamos el triángulo de Pascal? Si miras los números de cada fila, verás que te recuerdan mucho a los coeficientes del desarrollo binomial resultante. Por ejemplo, para (a + b)² tenemos los coeficientes 1, 2, 1, que es exactamente la fila dos. Para (a + b)⁴ tenemos los coeficientes 1, 4, 6, 4, 1, que es exactamente la fila cuatro. Si necesitamos calcular (a + b)ⁿ, basta con mirar la fila n del triángulo de Pascal.

Definición del binomio de Newton

Formalmente, el binomio de Newton dice lo siguiente:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in \mathbb{N}$$

La suma se calcula de cero a n, ambos incluidos. Es decir, el número de sumandos resultante es n + 1. Eso que está entre paréntesis es un número combinatorio, que es algo de la combinatoria y representa el número de combinaciones distintas de las que podemos obtener un término dado del desarrollo binomial. El resto son solo las variables con los exponentes correspondientes. Fíjate en que la suma de los exponentes realmente es igual a n: n − k + k = n.

Ejemplos

Un ejemplo sencillo: calcula con ayuda del binomio de Newton (a + 2b)⁴. Primero miramos en el triángulo de Pascal la fila cuatro. Nos dice que los coeficientes tendrán la forma: 1, 4, 6, 4, 1. Ahora solo falta ir completando los exponentes. En el primer término solo habrá a⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

En el segundo término los exponentes se reparten en el par 3, 1, es decir, obtenemos a³(2b)¹. Elevar a uno no le hace nada a la expresión, así que podemos escribir a³2b. El coeficiente del segundo término es 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

El tercer término tendrá los exponentes 2, 2. Aquí hay que tener un poco de cuidado: elevamos todo el 2b, es decir, así: (2b)², que es igual a: (2b)² = 4b². Lo escribimos en el desarrollo con el coeficiente 6:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

El cuarto término tendrá la forma a(2b)³. Tras elevar obtenemos a8b³. Lo escribimos con el coeficiente 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

Y el último término será ya solo (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Ahora solo queda retocarlo un poco. En el término 4a³2b podemos poner el dos al principio del término y multiplicar 2 · 4 = 8. Así nos queda 8a³b. Si hacemos lo mismo con el resto, obtenemos el resultado:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Fíjate en que, llegados a este punto, los coeficientes ya no coinciden con los números del triángulo de Pascal.