Variaciones

Usamos las variaciones cuando elegimos un cierto número de objetos de un conjunto y además importa el orden en que los elegimos.

Deducción de la fórmula

Empecemos con un problema típico de variaciones: en un pueblo se celebra todos los años un concurso de comer croquetas. A la final han llegado siete concursantes llenos de grasa. Calcula de cuántas formas distintas pueden ocupar estos siete participantes los tres primeros puestos.

Es importante darse cuenta de que en este ejemplo importa el orden. Por ejemplo, si sabemos que en los tres primeros puestos quedan Hugo, Martín y Pablo, esta terna nos genera seis clasificaciones distintas:

• Hugo, Martín, Pablo;
• Hugo, Pablo, Martín;
• Martín, Hugo, Pablo;
• Martín, Pablo, Hugo;
• Pablo, Hugo, Martín;
• Pablo, Martín, Hugo.

Todas estas son clasificaciones distintas y queremos calcular cuántas clasificaciones distintas en total podemos formar cuando los concursantes son 7.

Para ello usamos el principio de multiplicación. Diremos que elegimos ternas de la forma (x₁, x₂, x₃), donde x₁ es el concursante que ha quedado en el primer puesto, etc. ¿Qué concursantes podemos poner en lugar de x₁? Todos, es decir, en lugar de x₁ podemos poner 7 concursantes. ¿Y en lugar de x₂? Todos menos el que ya hemos puesto en el primer puesto, así que en lugar de x₂ podemos poner 7 − 1 = 6 concursantes. En lugar de x₃ podemos poner los concursantes que no están ni en el primer ni en el segundo puesto, así que tenemos 7 − 2 = 5 posibilidades. Aplicamos el principio de multiplicación y obtenemos el número total de posibilidades: 7 · 6 · 5 = 210.

Observamos que si quisiéramos conocer el número de todas las posibilidades para los 4 primeros puestos, en lugar de x₄ podríamos poner 7 − 3 = 4 concursantes, de modo que el número total de posibilidades sería 7 · 6 · 5 · 4 = 840. ¿Qué podemos deducir de esto?

Si tenemos un conjunto de n elementos (aquí, en el ejemplo, 7 comilones) y elegimos 3 elementos, de manera que importa el orden, el resultado es igual a n · (n − 1) · (n − 2). En el primer puesto pueden quedar todos, en el siguiente uno menos, etc. De ahí podemos deducir la fórmula general para cuando elegimos k elementos de un conjunto de n elementos: el número de posibilidades será igual a n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1).

Esta fórmula la modificamos aún más con ayuda del factorial. Si miramos el factorial de siete: 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 y cómo calculábamos el número de todas las clasificaciones del podio, 7 · 6 · 5, vemos cierto parecido. Solo necesitamos librarnos del final, es decir, necesitamos dividir 7! entre 4 · 3 · 2 · 1, con lo que nos queda solo 7 · 6 · 5. ¿Y a qué es igual la expresión 4 · 3 · 2 · 1? Es igual a 4!.

Así podemos escribir que, si tenemos un conjunto de n elementos y elegimos en total k elementos, de manera que importa el orden, tenemos en total

$$V_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}$$

posibilidades. Si sustituimos en la fórmula los números del concurso de croquetas:

$$V_{7,3}=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=7\cdot 6\cdot 5=210.$$

Calculadora

La siguiente calculadora te calcula el número de variaciones para n y k dados.

Ejercicios resueltos

1. Seguimos con el concurso de comer croquetas. ¿Cómo cambiaría el número de posibles clasificaciones del podio si supiéramos que al concurso ha venido Lucas, que es un fenómeno y siempre gana? Es decir, ¿cuántas clasificaciones distintas del podio existen si tenemos 7 concursantes y Lucas gana seguro?

Es de nuevo una variación sencilla: el primer puesto es seguro y de los 6 concursantes restantes nos queda determinar cómo pueden ocupar el segundo y el tercer puesto. Elegimos, pues, 2 elementos de un conjunto de 6 elementos, lo que lleva a la variación

$$V_{6,2}=\frac{6!}{(6-2)!}=30$$

2. Hace mucho tiempo, cuando Lucas todavía no era tan fenómeno, quedaba con regularidad entre los tres primeros. ¿Cuántas clasificaciones distintas del podio existen si tenemos 7 concursantes y Lucas consigue seguro alguna medalla?

   Este ejemplo se diferencia del anterior en que no sabemos en qué puesto quedó Lucas; pudo quedar segundo o incluso tercero, algo de lo que todavía se avergüenza. Por eso tenemos que calcular en total tres variaciones distintas: para el caso en que Lucas ganó, luego si hubiera conseguido la medalla de plata y, por último, la de bronce. Pero siempre quedan solo dos puestos que puede ocupar otro. Si, por ejemplo, Lucas fue segundo, los demás participantes pudieron quedar bien en el primer puesto, bien en el tercero. Calculamos, pues, de nuevo una variación de dos elementos de seis, solo que tenemos que calcularla tres veces, para tres puestos distintos de Lucas. El número de todas las clasificaciones es, por tanto, igual a:

   $$3\cdot V_{6,2}=3\cdot \frac{6!}{(6-2)!}=3\cdot 30=90$$

   Fíjate en que ese tres delante de la variación lo podemos escribir como V_3,1, porque en realidad elegimos un elemento (un puesto concreto) de un conjunto de tres elementos (las tres posiciones del podio).

3. En un instituto hay 20 profesores en total. Dentro de poco serán los exámenes de la PAU y hay que formar un tribunal con esta composición: un presidente, un vocal bueno y un vocal malo. ¿Cuántas posibilidades hay en total?

   Primero tenemos que responder a la pregunta de si importa el orden: sí importa, a tres profesores los podemos reordenar de seis formas distintas. Ahora ya es sencillo: elegimos una variación de 3 elementos de 20:

   $$V_{20,3}=\frac{20!}{17!}=6840.$$

4. ¿Cuántos números de tres cifras podemos formar con las cifras {0, 1, 2, 3, 4, 5} si ninguna cifra puede repetirse?

   ¿Importa el orden? Sí, 123 es un número distinto de 321. ¿Cuántas ternas distintas existen? Es una sencilla variación de 3 elementos de 6:

   $$V_{6,3}=\frac{6!}{3!}=120.$$

   Pero todavía tenemos que restar las variaciones que tienen un cero en el primer lugar, porque 012 no es un número de tres cifras. La pregunta es ahora: ¿cuántas ternas distintas empiezan por cero? En ese caso solo se alternan las cifras en las dos posiciones restantes (las ternas tienen la forma (0, x₂, x₃)), así que buscamos cuántos pares distintos podemos formar con los números {1, 2, 3, 4, 5}. Eso es de nuevo sencillo: V_5,2 = 5!/3! = 20. Existen, por tanto, 20 ternas que empiezan por cero.

   El número total de números de tres cifras formados con las cifras {0, 1, 2, 3, 4, 5} es, por tanto, 120 − 20 = 100.

5. ¿Cuántos números distintos de tres cifras podemos formar con las cifras {1, 2, 3, 4, 5} si ninguna cifra puede repetirse y el número resultante ha de ser impar?

   El orden importa, porque 123 es un número distinto de 321. Formamos un número de tres cifras que es impar, lo que significa que en las dos primeras posiciones puede haber cualquier cifra, pero en la última tiene que haber una de las cifras {1, 3, 5}. Primero calculamos el número de todas las ternas que podemos formar con cinco cifras: V_5,3 = 5! / 2! = 60.

   Cada cifra aparecerá en el último lugar el mismo número de veces, así que si tenemos 5 cifras, cada una aparecerá en el último lugar 60 / 5 = 12 veces. Tenemos tres cifras {1, 3, 5} que pueden aparecer en el último lugar, así que tenemos 12 números distintos que terminan en 1, 12 números que terminan en 3 y 12 números que terminan en 5. Aplicamos el principio de adición y obtenemos en total 12 + 12 + 12 = 36 posibilidades.

6. Calcula x sabiendo que V_x,2 = 72. Dicho de otro modo: de un conjunto de tamaño x elegimos pares y sabemos que podemos elegir en total 72 pares distintos. ¿De qué tamaño era el conjunto del que elegíamos los pares? Lo desarrollamos:

   $$V_{x,2}=\frac{x!}{(x-2)!}=72$$

   Seguimos simplificando:

   $$\begin{array}{rcl}\frac{x!}{(x-2)!}& =& 72\\ \frac{x\cdot (x-1)\cdot (x-2)!}{(x-2)!}& =& 72\\ x\cdot (x-1)& =& 72\\ x^2-x& =& 72\\ x^2-x-72& =& 0\end{array}$$

   Esta ya es una ecuación de segundo grado clásica, así que la resolvemos con ayuda del discriminante o podemos reescribir la ecuación en la forma

   $$(x+8)\cdot (x-9)=0$$

   de la que ya podemos leer la solución: x₁ = −8 y x₂ = 9. La solución negativa no nos interesa, porque un conjunto no puede tener un tamaño negativo, así que la solución de la ecuación original es x = 9: el conjunto tenía nueve elementos.