Problema de las tres puertas (Monty Hall)

El problema de las tres puertas, también llamado problema de Monty Hall, es un problema de probabilidad que consigue confundir a más de uno.

Enunciado

Tenemos tres puertas. El presentador, Monty Hall, coloca un coche detrás de una de las puertas y una cabra detrás de cada una de las otras. Tu objetivo es encontrar y elegir la puerta tras la que está el coche. En ese momento te invita a elegir una de las tres puertas, que llamaremos A, B y C. Tú eliges una puerta, digamos la B. Entonces entra en juego el presentador, que de las puertas restantes, es decir, A, C, abre una tras la que hay una cabra; o sea, te revela una puerta que seguro que no lleva al premio. Digamos que abre la puerta A.

La clave de todo el problema está en el paso siguiente: el presentador te ofrece cambiar tu elección. Primero elegiste la puerta B, luego el presentador te dijo que tras la puerta A no está el coche y te propone que cambies tu elección a la puerta C. Pero también puedes mantener tu elección original B.

¿Qué decides? ¿Es más probable que el coche esté tras la puerta B o tras la C? ¿O da igual?

Solución

Tienes tres puertas. Una puerta queda fuera de juego, así que en realidad solo te quedan ya dos puertas. Tras una de esas dos puertas el coche seguro que está. De las otras dos puertas no sabes nada y no dispones de ninguna pista adicional. Así que la probabilidad es, claro, del 50 % para ambas puertas.

Más o menos así piensa gran parte de la gente, de modo que no te preocupes si tú también lo pensaste. Pero, por supuesto, esta solución es incorrecta :-).

Solución correcta

Conviene cambiar la elección a la puerta que el presentador no ha descartado. Para entenderlo podemos escribir las probabilidades desde el principio. Cuando eliges puerta por primera vez, la probabilidad de que el coche esté justo tras ella es 1/3. No tenemos ninguna pista adicional, así que la probabilidad se reparte de manera uniforme, 1/3 para cada puerta.

Así que si eliges la puerta B, tienes una probabilidad de 1/3 de que el coche esté tras ella. Al mismo tiempo, existe una probabilidad de 2/3 de que el coche se encuentre tras la puerta A o la C. Es, pues, más probable que el coche esté tras una de las puertas que no hemos elegido. Esto es importante.

En el paso siguiente entra en juego el presentador y abre una de las puertas tras las que no está el coche. El presentador abre la puerta A. Tras la puerta A no está, por tanto, el coche. ¿Qué ocurre con esa probabilidad de 2/3? Sabemos que la probabilidad de que el coche esté tras la puerta A o la C es 2/3 y, a la vez, sabemos que tras la puerta A no está. La probabilidad de 2/3 se traslada así a la puerta C. La probabilidad de que el coche esté tras la puerta C es 2/3.

Nuestra probabilidad para la puerta B, en cambio, sigue siendo la misma, no ha cambiado en absoluto. Así que tenemos una probabilidad de 1/3 de que el coche esté tras la puerta B, que es la que elegimos, y de 2/3 de que esté tras la puerta C, a la que podemos cambiar nuestra elección. Es razonable, por tanto, cambiar.

Más puertas

Quizá se entienda mejor el ejemplo si aumentamos el número de puertas y modificamos el problema así: tenemos diez puertas. Al principio el concursante elige una puerta y el presentador abre todas las puertas, excepto la que hemos elegido y aquella tras la que está el coche. El enunciado es prácticamente igual que en el ejemplo anterior; solo que allí, cuando el presentador abría todas las puertas, abría solo una, porque no podía abrir más.

Al principio eliges la puerta 1. La probabilidad de que el coche esté tras ella es 1/10. Hay una probabilidad de 9/10 de que el coche esté tras otra puerta. A continuación el presentador descarta 8 puertas tras las que seguro que no está el coche y de nuevo te quedan solo dos puertas. La probabilidad de que el coche esté tras la puerta que el presentador te ha dejado es 9/10, mientras que la probabilidad de que esté tras la puerta que elegiste es todavía 1/10.

Más fuentes

• Wikipedia