Aruhan matematik

Aruhan matematik ialah kaedah pembuktian yang sering digunakan dalam matematik, terutamanya apabila kita bekerja dengan nombor asli atau dengan jujukan lain.

Prinsip

Prinsip asasnya ialah kita membuktikan pernyataan itu bagi unsur pertama. Dalam nombor asli, unsur ini biasanya n = 1. Hal ini dibuktikan dengan penggantian secara terus. Dalam langkah seterusnya, iaitu langkah aruhan, kita membuktikan implikasi “jika pernyataan itu benar bagi n = a, maka pernyataan itu juga benar bagi n = a + 1”.

Daripada kedua-dua langkah ini, kita dapat menyimpulkan bahawa ungkapan itu benar bagi semua n (daripada set yang sedang kita gunakan). Mengapa begitu? Pada awalnya, kita membuktikan bahawa ungkapan itu benar bagi n = 1. Kita juga tahu bahawa jika ungkapan itu benar bagi n = a, ungkapan itu juga benar bagi n = a + 1. Jadi, kita pilih a = 1. Kita tahu bahawa ungkapan itu benar bagi a = 1, dan kita juga tahu bahawa ungkapan itu benar bagi a + 1 = 2. Pada ketika ini, kita tahu bahawa ungkapan itu benar bagi a = 2. Tetapi oleh sebab ungkapan itu juga benar bagi a + 1, ungkapan itu mesti benar bagi 2 + 1 = 3. Dan seterusnya.

Contoh pertama

Contoh pertama ini remeh. Kita akan membuktikan bahawa jika kita menambah dua kepada sebarang nombor genap, kita memperoleh nombor genap sekali lagi. Oleh sebab kita bekerja dalam nombor asli, kita tulis nombor genap secara am sebagai 2n, dengan n ialah nombor asli. Jika kita gantikan n dengan sebarang nombor asli, hasilnya ialah nombor genap, dan hal ini jelas dengan sekali pandang. Kebolehbahagian ditulis dengan garis tegak seperti berikut:

$$2\mid 2n$$

Tatatanda ini bermaksud dua membahagi tepat ungkapan 2n. Oleh sebab kita sudah tahu cara menulis kebolehbahagian, kita juga boleh menulis perkara yang perlu dibuktikan dengan aruhan matematik.

$$2\mid 2n+2;n\in \mathbb{N}$$

Inilah yang perlu kita buktikan dalam contoh pertama, iaitu dua membahagi ungkapan 2n + 2. Hal ini sepadan dengan soalan asal dalam bentuk ayat: “jika kita menambah dua kepada sebarang nombor genap, kita memperoleh nombor genap sekali lagi”.

Dalam langkah pertama aruhan, kita buktikan pernyataan itu bagi unsur pertama, iaitu bagi satu. Kita gantikan n = 1 ke dalam ungkapan itu:

$$\begin{array}{rcl}2& \mid & 2\cdot 1+2\\ 2& \mid & 4\end{array}$$

Dua membahagi tepat empat, jadi pernyataan itu benar bagi unsur pertama. Seterusnya ialah langkah aruhan: kita mesti membuktikan bahawa jika pernyataan itu benar bagi unsur ke-a, maka pernyataan itu juga benar bagi unsur ke-(a + 1). Pada awalnya, kita andaikan bahawa hipotesis kita benar, iaitu bagi n = a:

$$2\mid 2a+2$$

Kita andaikan bahawa ungkapan ini benar, dan kita akan menggunakannya semasa membina bukti. Sekarang kita ingin membuktikan bahawa

$$2\mid 2(a+1)+2.$$

Apakah yang telah kita lakukan? Kita menulis (a + 1) di tempat a. Tanda kurung itu penting. Ungkapan ini salah: 2a + 1 + 2. Kita tidak menambah satu kepada seluruh ungkapan, tetapi kita benar-benar menjadikan a satu lebih besar, iaitu (a + 1). Kita ubah ungkapan itu dengan mengembangkan kurungan.

$$\begin{array}{rcl}2& \mid & 2(a+1)+2\\ 2& \mid & 2a+2+2\end{array}$$

Sekarang, sedikit tentang kebolehbahagian. Jika kita mempunyai dua nombor, katakan p dan q, yang boleh dibahagi tepat dengan suatu nombor, katakan r, maka hasil tambahnya juga boleh dibahagi tepat dengan nombor r. Jadi:

$$(r\mid p\wedge r\mid q)\Rightarrow r\mid (p+q)$$

Contohnya, kita boleh menggantikan nombor p = 8, q = 20 dan r = 4. Kita lihat bahawa empat membahagi lapan dan juga dua puluh. Empat juga membahagi hasil tambahnya, 8 + 20 = 28.

Bagaimanakah kita menggunakan fakta ini dalam contoh kita? Kita pecahkan sebelah kanan kepada nombor p dan q seperti berikut:

$$p=2a+2;q=2$$

Nombor q, iaitu dua, jelas boleh dibahagi tepat dengan dua. Ungkapan p juga boleh dibahagi tepat dengan dua, kerana hal ini dinyatakan oleh hipotesis kita. Ungkapan p betul-betul sepadan dengan hipotesis kita, yang kita andaikan benar. Jika p boleh dibahagi tepat dengan dua dan q juga boleh dibahagi tepat dengan dua, maka hasil tambahnya juga boleh dibahagi tepat dengan dua.

Sekali lagi tentang hipotesis itu. Pada awalnya, kita mengandaikan bahawa pernyataan berikut benar:

$$2\mid 2a+2.$$

Oleh itu, apabila kita menemui ungkapan 2a + 2 semasa membina bukti, kita boleh mengatakan bahawa ungkapan itu boleh dibahagi tepat dengan dua, justeru kerana itulah hipotesis kita. Biasanya inilah langkah yang paling sukar dalam aruhan matematik: memahami bila dan mengapa hipotesis aruhan boleh digunakan.

Dengan itu, aruhan selesai, bukti berjaya dilakukan dan teorem itu benar.

Jika anda mahu, anda boleh memecahkannya dengan cara lain tanpa menggunakan hipotesis: p = 2n dan q = 2 + 2. Nombor q = 4 jelas boleh dibahagi tepat dengan dua, begitu juga p = 2n, kerana selepas dibahagi dengan dua, yang tinggal ialah nombor n, iaitu nombor asli, jadi integer. Sekali lagi kita memperoleh dua ungkapan yang kedua-duanya boleh dibahagi tepat dengan dua, jadi hasil tambahnya juga boleh dibahagi tepat dengan dua.

Dalam kedua-dua cara, kita telah membuktikan bahawa

1. ungkapan itu benar bagi n = 1,
2. jika ungkapan itu benar bagi n, maka ungkapan itu juga benar bagi n + 1.

Daripada sini, kita dapat menyimpulkan:

• Kita tahu bahawa ungkapan itu benar bagi n = 1.
• Jika ungkapan itu benar bagi n, ungkapan itu mesti benar juga bagi n + 1, iaitu bagi 1 + 1. Jadi, ungkapan itu juga benar bagi n = 2.
• Jika ungkapan itu benar bagi n, ungkapan itu mesti benar juga bagi n + 1, iaitu bagi 2 + 1. Jadi, ungkapan itu juga benar bagi n = 3.
• Jika ungkapan itu benar bagi n, ungkapan itu mesti benar juga bagi n + 1, iaitu bagi 3 + 1. Jadi, ungkapan itu juga benar bagi n = 4.
• Jika ungkapan itu benar bagi n, ungkapan itu mesti benar juga bagi n + 1, iaitu bagi 4 + 1. Jadi, ungkapan itu juga benar bagi n = 5.
• …

Contoh kedua

Seterusnya, kita akan membuktikan pernyataan mudah berikut dengan aruhan matematik:

$$2^n\ge 2n;n\in \mathbb{N}.$$

Mula-mula, langkah pertama: kita semak sama ada pernyataan itu benar bagi n = 1, iaitu unsur pertama nombor asli yang menjadi pilihan bagi n.

$$\begin{array}{rcl}{2}^1& \ge & 2\cdot 1\\ 2& \ge & 2\end{array}$$

Hal ini jelas benar. Sekarang kita beralih kepada langkah aruhan. Dalam langkah ini, kita perlu menentukan sama ada pernyataan itu juga benar bagi n = a + 1 jika pernyataan itu benar bagi n = a. Jadi, hipotesis kita ialah

$$2^a\ge 2a$$

dan kita ingin membuktikan:

$$2^{a+1}\ge 2(a+1)$$

Mula-mula, kita tulis semula sebelah kiri menggunakan hukum indeks, dan sebelah kanan pula kita kembangkan sahaja.

$$2\cdot 2^a\ge 2a+2$$

Di sebelah kiri, kita gantikan pendaraban dengan penambahan, manakala sebelah kanan dibiarkan tanpa perubahan.

$$2^a+2^a\ge 2a+2$$

Sekarang kita gunakan hipotesis. Hipotesis ialah pernyataan yang kita andaikan benar. Dalam ketaksamaan ini, terdapat dua sebutan yang ditambah di setiap belah. Tetapi kita juga tahu bahawa

$$\begin{array}{rcl}{2}^a& \ge & 2a\\ 2^a& \ge & 2.\end{array}$$

Baris pertama dinyatakan oleh hipotesis, dan pernyataan kedua remeh (nilai 2^a yang terkecil diperoleh bagi a = 1, dan nilai itu ialah dua). Jadi, kita tahu bahawa kedua-dua sebutan di sebelah kiri masing-masing lebih besar daripada atau sama dengan sebutan di sebelah kanan. Dengan itu, kita telah membuktikan dengan aruhan bahawa jika ungkapan itu benar bagi a, maka ungkapan itu juga benar bagi (a + 1). Oleh sebab ungkapan itu juga benar bagi satu, maka ungkapan itu benar.

Contoh ketiga

Mari kita cuba membuktikan pernyataan berikut:

$$3\mid n\Rightarrow 3\mid n^2;n\in \mathbb{N}$$

Dalam bentuk ayat: jika n boleh dibahagi tepat dengan tiga, maka n² juga boleh dibahagi tepat dengan tiga. Jika n tidak boleh dibahagi tepat dengan tiga, ungkapan itu benar secara remeh (berdasarkan takrif implikasi). Oleh itu, kita hanya akan menumpukan kepada kes apabila n boleh dibahagi tepat dengan tiga. Kes ini menghasilkan jujukan nombor asli a_i=3, 6, 9, 12, 15… Mulai sekarang, kita akan bekerja dalam jujukan a_i ini sahaja.

Kita mulakan bukti aruhan dengan langkah pertama, iaitu menyemak sama ada pernyataan itu benar bagi unsur pertama. Ingat, kita bekerja dalam jujukan a_i, jadi kita ambil unsur pertama jujukan ini, iaitu unsur a₁, yang bernilai tiga. Bagi tiga, ungkapan itu benar:

$$3\mid 3\Rightarrow 3\mid 3^2$$

Sekarang kita beralih kepada langkah aruhan. Kita lihat bahawa jujukan a_i boleh ditulis sebagai 3n, dengan n ialah nombor asli. Jadi, unsur kedua tiga lebih besar daripada unsur sebelumnya, dan seterusnya. Sekarang andaikan ungkapan itu benar bagi n, dan kita mesti memastikan bahawa ungkapan itu juga benar bagi (n + 3), iaitu petua yang menghasilkan unsur seterusnya dalam jujukan yang sedang kita gunakan. Mula-mula, kita tulis hipotesis:

$$3\mid n\Rightarrow 3\mid n^2$$

kemudian perkara yang ingin kita buktikan

$$3\mid (n+3)\Rightarrow 3\mid (n+3{)}^2.$$

Kita kembangkan kurungan di sebelah kanan dengan rumus:

$$3\mid (n+3)\Rightarrow 3\mid n^2+6n+9.$$

Kita hampir sampai ke matlamat. Di sebelah kiri, kita mempunyai ungkapan yang sudah tentu boleh dibahagi tepat dengan tiga, kerana menurut hipotesis, n boleh dibahagi tepat dengan tiga (kita hanya bekerja dengan nombor dalam jujukan a_i), dan tiga juga boleh dibahagi tepat dengan tiga. Di sebelah kanan, kita mempunyai n² terlebih dahulu, yang menurut hipotesis boleh dibahagi tepat dengan tiga. Hal ini kerana kita tahu bahawa n boleh dibahagi tepat dengan tiga, dan hipotesis menyatakan bahawa jika n boleh dibahagi tepat dengan tiga, maka n² juga boleh dibahagi tepat dengan tiga:

$$3\mid n\Rightarrow 3\mid n^2$$

Seterusnya ialah sebutan 6n, yang jelas boleh dibahagi tepat dengan tiga. Anda boleh membayangkannya seperti memudahkan pecahan:

$$\frac{6n}{3}=2n$$

Pemboleh ubah n ialah nombor asli, jadi hasil darab 2n juga nombor asli. Maksudnya, selepas dibahagi dengan tiga, kita memperoleh nombor asli, jadi sebutan 6n mesti boleh dibahagi tepat dengan tiga. Nombor sembilan di hujung pula sekali lagi boleh dibahagi tepat dengan tiga. Ungkapan itu benar bagi unsur pertama dan juga dalam langkah aruhan, maka ungkapan itu benar.

Bilangan tanda kurung dalam ungkapan

Contoh terakhir agak luar biasa. Kita akan cuba membuktikan pernyataan bahawa bilangan tanda kurung dalam ungkapan ringkas sentiasa genap. Contoh ini menunjukkan bahawa aruhan matematik boleh digunakan dalam konteks yang sama sekali berbeza, bukan sahaja bagi nombor asli. Pertama sekali, kita perlu mentakrifkan apa itu ungkapan ringkas. Ungkapan ringkas ialah:

• nombor asli,
• jika p ialah ungkapan ringkas, maka (p²) juga ialah ungkapan ringkas,
• jika p dan q ialah ungkapan ringkas, maka (p + q) juga ialah ungkapan ringkas.

Jadi, berikut ialah ungkapan ringkas: 12, 54, (5 + 6), (12 + 7), (6²), ((5 + 6)²). Sebaliknya, berikut bukan ungkapan ringkas:

• 1 + 2 → tiada kurungan luar,
• (1 + 2 → tiada kurungan kanan,
• 13² → tiada kurungan luar,
• (1 + 2 + 3) → kurungan tidak mencukupi, tatatanda yang betul ialah (1 + (2 + 3))

Ungkapan ringkas boleh dibina, misalnya, seperti berikut. Pada awalnya, kita pilih ungkapan ringkas (a + b). Sekarang kita gantikan a dengan ungkapan ringkas a = (c + d), jadi kita memperoleh ((c + d) + b), dan kita gantikan b dengan tiga: ((c + d) + 3). Kita gantikan c dengan sepuluh: ((10 + d) + 3), dan akhir sekali kita gantikan d dengan (5²): ((10 + (5²)) + 3). Tanda kurung mesti dijaga, jika tidak, kaedah ini tidak akan berfungsi.

Sekarang kita akan membuktikan bahawa ungkapan ringkas mengandungi bilangan tanda kurung yang genap (sifar juga nombor genap).

Dalam langkah pertama aruhan, kita pilih suatu unsur pertama. Dalam kes ini, unsur pertama ialah ungkapan ringkas yang paling remeh, iaitu sebarang nombor asli. Jadi, kita tetapkan

$$j=n;n\in \mathbb{N}.$$

Bagi ungkapan j, bilangan tanda kurung ialah sifar, jadi unsur pertama memenuhi syarat. Dalam langkah aruhan, kita andaikan bahawa kita mempunyai dua ungkapan ringkas p dan q, dan kedua-duanya mempunyai bilangan tanda kurung yang genap. Kemudian kita mesti membuktikan bahawa ungkapan ringkas (p + q) dan (p²) juga mempunyai bilangan tanda kurung yang genap.

Mula-mula, penambahan. Kita takrifkan fungsi z(q) yang memberikan bilangan tanda kurung dalam ungkapan q. Maka, ungkapan (p + q) mempunyai z(p) + z(q) + 2 tanda kurung. Jadi, ungkapan itu mempunyai dua tanda kurung lebih banyak daripada jumlah tanda kurung dalam ungkapan p dan q. Menurut hipotesis, z(p) dan z(q) kedua-duanya genap. Jika kita menambah tiga nombor genap, kita memperoleh nombor genap sekali lagi. Jadi, pernyataan itu benar dalam kes ini.

Sekarang kuasa pula. Sekali lagi, hipotesisnya ialah ungkapan ringkas p mengandungi bilangan tanda kurung yang genap. Ungkapan (p²) pula mengandungi z(p) + 2 tanda kurung, iaitu sekali lagi dua tanda kurung lebih banyak daripada ungkapan p. Dalam kes ini pun, kita menambah nombor genap, jadi hasilnya genap.

Pernyataan itu benar bagi unsur pertama dan juga dalam langkah aruhan, maka pernyataan itu benar.