Kuasa dan punca kuasa

Pengeksponenan ialah fungsi matematik yang, secara ringkasnya, digunakan untuk menulis pendaraban berulang dengan lebih ringkas.

Indeks asli

Kuasa ditulis dalam bentuk aⁿ, dengan n dipanggil indeks (eksponen) dan a dipanggil asas. Seterusnya kita akan memberi tumpuan terutamanya kepada bentuk indeks. Dalam bahagian ini kita melihat sifat kuasa dengan indeks asli, iaitu apabila indeks ialah nombor 1, 2, 3, 4, …

Contoh kuasa seperti ini ialah 6². Enam ialah asas dan dua ialah indeks. Indeks memberitahu kita berapa kali enam perlu didarab dengan dirinya untuk memperoleh hasil. Jadi, 6² = 6 · 6 = 36. Contoh lain: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Secara umum, kita boleh menulisnya seperti berikut:

$$a^n=\underset{n\text{ kali}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Asas boleh apa-apa sahaja, iaitu nombor atau ungkapan yang lebih rumit. Semasa mengira, anda hanya mendarab ungkapan itu sebanyak bilangan kali yang ditunjukkan oleh indeks. Contoh:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

Bagi indeks sifar, kita tetapkan a⁰ = 1.

Indeks negatif

Dalam bahagian ini kita menganggap indeks itu negatif. Apakah tafsirannya? Kita bermula dengan a⁰ = 1. Jika kita mahu mengira a¹, kita boleh mengatakan bahawa kita mendarab a⁰ dengan a. Oleh sebab a⁰ = 1, hasil darabnya ialah a⁰ · a = a. Kita memperoleh a. Jika kita mahu mengira a², kita boleh menulis a² = a⁰ · a · a.

Kita boleh menganggap nilai a⁰ = 1 sebagai nilai permulaan. Apabila kita mengira aⁿ, kita hanya mendarab nilai a⁰ dengan a sebanyak n kali. Bagaimanakah jika n negatif? Jika n positif, kita mendarab. Jika n negatif, kita membahagi. Jadi, kita memperoleh a⁻¹ dengan mengambil nilai permulaan a⁰ dan membahagikannya dengan a. Kita memperoleh persamaan:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Jika kita mahu mengetahui a⁻², kita membahagi a⁰ dengan a dua kali. Apakah hasilnya? Pertama sekali, mari kita lihat cara lain untuk menulis pembahagian. Hasil bahagi x/y juga boleh ditulis sebagai

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

Ini ialah salah satu sifat asas pecahan. Jadi, jika kita mahu membahagi suatu ungkapan x dengan ungkapan y dua kali, kita boleh menulisnya sebagai

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Kembali kepada contoh a⁻². Kita katakan tadi bahawa nilai ini diperoleh dengan membahagi ungkapan a⁰ dengan a dua kali. Kita permudahkan seperti berikut:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Sekarang kita sudah mempunyai cara untuk mengira kuasa dengan indeks negatif. Kira kuasa itu seolah-olah indeksnya positif, kemudian ambil salingannya, iaitu satu dibahagi dengan hasil kuasa itu. Secara lebih tepat:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Di sini kita menganggap −n ialah nombor negatif, iaitu n positif.)

Berikut ialah beberapa contoh:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Indeks nisbah

Indeks boleh diperluas lagi kepada semua nombor nisbah. Nombor nisbah ialah nombor yang boleh ditulis dalam bentuk pecahan, iaitu hasil bahagi dua integer. Katakan kita mempunyai pecahan berbentuk m/n, dengan n nombor positif. Maka kita boleh menulis rumus

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Simbol bengkok di atas a^m ialah tanda punca kuasa.

Sifat-sifat kuasa

• a⁰ = 1 jika a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0 jika n > 0.
• 0⁰ ialah bentuk tak tertakrif.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ jika a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.

Kalkulator

Jika anda perlu mengira sebarang kuasa, anda boleh menggunakan kalkulator kuasa 🧮 di laman ini.