Menukar perkara rumus

Bagaimanakah kita mengungkapkan satu pemboleh ubah tertentu daripada hubungan atau pecahan yang lebih rumit? Teknik ini digunakan terutamanya apabila kita bekerja dengan pelbagai rumus yang mengandungi beberapa pemboleh ubah. Jika digabungkan dengan rumus lain, teknik ini boleh membawa kita jauh: kita seolah-olah dapat memperoleh segala-galanya daripada tiada apa-apa.

Ungkapan linear yang mudah

Katakan kita mempunyai rumus ini: ax + b = c. Bagaimanakah kita menjadikan x sebagai perkara rumus dalam rumus rekaan ini? Kita sentiasa bermula dengan meletakkan semua sebutan yang mengandungi pemboleh ubah yang ingin diungkapkan di sebelah kiri, dan sebutan lain di sebelah kanan. Secara teori, tidak penting sebutan mana berada di sebelah mana, tetapi lazimnya anu yang ingin diungkapkan diletakkan di sebelah kiri. Jadi, mula-mula kita pindahkan b ke sebelah kanan, iaitu kita tambah −b pada kedua-dua belah persamaan:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c\text{(tolak }b\text{)}\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Sebutan yang mengandungi pemboleh ubah sudah berada di sebelah yang sama, tetapi a masih mengganggu. Bagaimanakah kita dapat menyingkirkannya dengan mudah? Apakah yang perlu kita lakukan pada ungkapan ax supaya kita hanya memperoleh x? Betul, kita bahagikan ungkapan itu, dan dengan itu seluruh persamaan, dengan a, atau dengan kata lain, kita darabkannya dengan $\frac{1}{a}$. Nilai a mestilah bukan sifar (kita tidak boleh membahagi dengan sifar). Kita memperoleh:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\text{(darab dengan }\frac{1}{a}\text{)}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Selesai. Contoh lain:

$$2ax-3bx=10a$$

Sekali lagi kita perlu menjadikan x sebagai perkara rumus. Sebutan yang mengandungi anu sudah berada di sebelah kiri, jadi kerja kita berkurang sedikit. Masalahnya, terdapat dua sebutan yang mengandungi anu. Kita selesaikannya dengan pemfaktoran. Kita keluarkan faktor sepunya x di sebelah kiri persamaan dan memperoleh:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

Dalam contoh sebelum ini, apabila kita mempunyai ungkapan ax dan ingin memperoleh x sahaja, kita darabkan seluruh persamaan dengan $\frac{1}{a}$. Sekarang kita mempunyai ungkapan x(2a − 3b) dalam persamaan, dan sekali lagi kita ingin mencari x. Kita lakukan perkara yang sama, iaitu bahagikan seluruh persamaan dengan ungkapan (2a − 3b). Jangan risau, kita memang boleh membahagikan persamaan dengan seluruh ungkapan dalam kurungan, asalkan 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a\text{(darab dengan }\frac{1}{2a-3b}\text{)}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Pecahan

Jika ungkapan itu mengandungi pecahan, kita menggunakan operasi setara pada persamaan yang sama. Kita hanya perlu berhati-hati supaya tidak membahagi atau mendarab dengan sifar secara tidak sengaja. Contoh:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Kita ingin menjadikan x sebagai perkara rumus. Kita darabkan seluruh persamaan dengan x, tetapi kita perlu menambah andaian bahawa x ≠ 0. Andaian ini memang sentiasa benar, kerana persamaan itu mengandungi pecahan $\frac{a}{x}$ dengan x sebagai penyebut, sedangkan kita tidak boleh membahagi dengan sifar. Kita memperoleh persamaan:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}\text{(darab dengan }x\text{)}(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}\text{(darab dengan }c\text{)}(c\ne 0)\\ ac& =& bx\text{(darab dengan }\frac{1}{b}\text{)}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Ringkasnya, apabila menjadikan anu sebagai perkara rumus, gunakan operasi setara yang biasa pada persamaan.