Pemfaktoran

Sebelum kita mula memfaktorkan, kita akan membincangkan cara mengembangkan kurungan kerana kedua-duanya sangat berkait rapat. Malah boleh dikatakan bahawa pemfaktoran ialah operasi songsang bagi pengembangan kurungan.

Mengembangkan kurungan

Mengembangkan kurungan ialah operasi yang mudah. Mari kita lihat melalui contoh: hitung ungkapan 3 · (5 + 8). Terdapat dua cara untuk menyelesaikannya. Kita boleh menambah ungkapan di dalam kurungan, lalu memperoleh 3 · 13 kerana 5 + 8 = 13.

Cara kedua ialah mengembangkan kurungan. Maksudnya, kita ambil nombor di hadapan kurungan, iaitu 3, dan darab kedua-dua nombor di dalam kurungan dengan nombor itu. Tanda tambah di dalam kurungan dikekalkan. Kita peroleh:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

Kedua-dua cara memberikan hasil yang sama: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Sebab pengembangan kurungan berfungsi

Mengapakah langkah ini dibenarkan dan mengapa pengembangan kurungan berfungsi? Bayangkan hasil darab sebagai hasil tambah yang ditulis panjang. Contohnya, apabila kita menulis 3 · 7, maksudnya kita mahu menambah nombor tujuh sebanyak tiga kali, iaitu 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Begitu juga, contoh dengan kurungan boleh ditulis panjang: 3 · (5 + 8) sama dengan (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Oleh sebab tertib tidak penting dalam penambahan, kita boleh membuang kurungan dan mengumpulkan nombor 5 dan nombor 8 seperti ini: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. Di sini kita lihat bahawa ungkapan ini boleh ditulis semula menggunakan pendaraban: 3 · 5 + 3 · 8. Itulah yang kita lakukan semasa mengembangkan kurungan.

Contoh pengembangan kurungan

1. Kembangkan 5 · (4 + 7). Sekali lagi, kita hanya mendarab nombor di dalam kurungan dengan 5 dan memperoleh 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Kembangkan 6 · (x + 4). Jangan takut kepada anu. Darab sahaja anu itu dengan 6 juga. Kita peroleh: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Kembangkan x · (4 + 173). Kali ini anu berada di hadapan kurungan, jadi kedua-dua nombor di dalam kurungan didarab dengan x. Kita peroleh x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Kembangkan 4x · (2x + 7). Kini anu berada di hadapan dan di dalam kurungan, dan ungkapan di hadapan kurungan lebih rumit. Hal ini juga tidak menjadi masalah. Isi kurungan didarab dengan 4x seperti berikut: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Pemfaktoran mudah

Pemfaktoran ialah proses songsang bagi pengembangan kurungan. Pada mulanya kita mempunyai, misalnya, ungkapan 10x + 5. Jika kita menemui nombor yang dapat membahagi kedua-dua sebutan dengan munasabah, kita boleh mengeluarkan nombor itu sebagai faktor sepunya. Dalam ungkapan kita, nombor itu ialah 5 kerana 10x / 5 = 2x dan 5 / 5 = 1. Jadi, kita boleh menulis

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Apabila kita mengembangkan semula kurungan 5 · (2x + 1), kita mendapat 10x + 5 semula. Tujuan pemfaktoran biasanya ialah memudahkan ungkapan atau menukarkannya kepada bentuk hasil darab supaya dapat dipermudahkan dalam pecahan.

Memfaktorkan anu

Kita tidak semestinya mengeluarkan nombor sahaja. Anu itu sendiri juga sering dikeluarkan sebagai faktor sepunya. Jadi, jika kita mempunyai ungkapan 3x² + 7x, kita boleh mengeluarkan x. Maksudnya, kedua-dua sebutan dibahagi dengan x, kita tambah kurungan, dan kurungan itu didarab dengan x. Kita peroleh 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Biasanya kita cuba mengeluarkan faktor sepunya yang “paling besar”. Jadi, jika kita mempunyai ungkapan 8x² + 12x, kita boleh mengeluarkan x sahaja dan memperoleh 8x² + 12x = x · (8x + 12). Namun, kita lihat bahawa nombor 4 masih boleh dikeluarkan daripada kurungan. Kita boleh melakukannya sekarang dan memperoleh: x · (4 · (2x + 3)). Kurungan luar boleh dibuang, dan kita peroleh: 4x · (2x + 3).

Kita akan mendapat hasil yang sama jika kita terus mengeluarkan ungkapan 4x daripada ungkapan asal 8x² + 12x. Jika ditulis panjang, kita peroleh

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Memfaktorkan ungkapan yang lebih rumit

Setakat ini kita hanya memfaktorkan ungkapan yang mengandungi dua sebutan. Namun, kita juga boleh memfaktorkan ungkapan yang lebih panjang. Contohnya, daripada 7x³ + 5x² + 2x kita boleh mengeluarkan x dan memperoleh x · (7x² + 5x + 2).

Kita juga tidak semestinya mengeluarkan nombor yang “cantik” sahaja. Kita boleh mengeluarkan apa-apa sahaja. Contohnya, daripada ungkapan 6x + 7 kita boleh mengeluarkan nombor 2. Namun, hasilnya tidak cantik kerana kedua-dua sebutan perlu dibahagi dengan dua. Bagi 6x, hal ini mudah kerana 6x / 2 = 3x, tetapi bagi nombor 7 hasilnya kurang cantik: 7 / 2 = 3.5. Ungkapan yang diperoleh ialah: 6x + 7 = 2 · (3x + 3.5).

Contoh soalan dan penyelesaian

• Faktorkan 25x + 45 dengan kemas. Sekali pandang, jelas bahawa kita boleh mengeluarkan nombor 5. Jadi, kita peroleh 5 · (5x + 9).

• Permudahkan pecahan

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Mula-mula, keluarkan x daripada pengangka. Kita peroleh x · (3x + 7) pada pengangka. Sekarang kita boleh memudahkan x dalam seluruh pecahan.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Faktorkan −2x² − 8x dengan kemas. Buat pertama kali kita mempunyai nombor negatif. Hal ini tidak menjadi masalah. Sama seperti nombor positif, nombor negatif juga boleh dikeluarkan sebagai faktor sepunya. Jadi, kita boleh terus mengeluarkan −2x. Kita peroleh

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$