Logik usulan

Logik usulan (logik matematik) ialah bahasa yang digunakan dalam matematik untuk menyatakan sesuatu. Kita akan menemuinya dalam pelbagai istilah dan dalam banyak teorem matematik.

Kegunaan logik

Logik ialah ilmu yang mengkaji penaakulan, kebenaran, kebolehbuktian dan kebolehsangkalan. Dalam logik, yang penting hanyalah bentuk sesuatu kenyataan. Kita tidak berminat dengan isi kenyataan itu, dan kita juga tidak berminat dengan tafsiran psikologi atau perkara yang seumpamanya.

Contohnya, jika kita mempunyai ayat “nombor 2 ialah nombor genap dan juga nombor ganjil”, kita boleh membuat kesimpulan bahawa ayat itu secara keseluruhannya tidak benar, kerana nombor 2 bukan nombor ganjil. Perkara seperti inilah yang secara amnya dikaji dalam logik.

Pernyataan

Asas logik usulan tentulah pernyataan. Pernyataan ialah sebarang ayat penyata yang nilai kebenarannya dapat ditentukan. Berikut ialah beberapa contoh pernyataan mudah:

• Gunung Kinabalu ialah gunung tertinggi di Malaysia.
• Nombor asli lima ialah nombor ganjil.
• HTML ialah bahasa pengaturcaraan.
• Dua tambah tiga ialah enam.

Semua ayat ini ialah pernyataan, sama ada benar (dua yang pertama) atau palsu (dua yang terakhir). Sebaliknya, ayat tanya atau ayat yang nilai kebenarannya tidak dapat ditentukan dengan jelas bukan pernyataan. Sekali lagi, contohnya:

• Adakah Gunung Kinabalu masih akan menjadi gunung tertinggi di Malaysia tahun depan?
• Warna hijau ialah warna yang paling cantik.

Ayat pertama tidak boleh menjadi pernyataan kerana ayat itu ialah ayat tanya. Bagi ayat kedua pula, kita tidak dapat menentukan sama ada pernyataan itu benar atau palsu. Ayat seperti ini dipanggil hipotesis (andaian).

Logik matematik klasik tidak begitu sesuai untuk ayat yang kabur seperti “Ahmad tinggi” atau “Siti penyanyi yang bagus”. Pernyataan seperti ini lebih sesuai dikaji, misalnya, dalam logik kabur (fuzzy), yang direka khusus untuk menangani kekaburan.

Pernyataan ringkas

Dalam bahagian pertama, kita telah melihat contoh pernyataan “nombor 2 ialah nombor genap dan juga nombor ganjil”. Pernyataan seperti ini boleh dipanggil pernyataan majmuk, kerana sebenarnya pernyataan itu menggabungkan dua pernyataan yang lebih pendek: “nombor 2 ialah nombor genap” dan “nombor 2 ialah nombor ganjil”. Kedua-dua pernyataan ini dihubungkan oleh penghubung logik “dan” atau “dan juga”.

Oleh itu, pernyataan ringkas ialah pernyataan yang tidak dapat dipecahkan lagi. Dalam erti kata tertentu, pernyataan ringkas ialah kenyataan yang paling mudah. Contoh pernyataan sebelum ini sebenarnya ialah pernyataan ringkas:

• Gunung Kinabalu ialah gunung tertinggi di Malaysia.
• Nombor asli lima ialah nombor ganjil.
• HTML ialah bahasa pengaturcaraan.
• Dua tambah tiga ialah enam.

Seterusnya, kita akan menandakan pernyataan ringkas dengan huruf kecil, biasanya p, q, r, …, dan memanggilnya pemboleh ubah usulan.

Penghubung logik

Logik matematik biasanya menggunakan satu set penghubung logik tertentu. Penghubung asas termasuk empat penghubung binari:

• p ∧ q ialah konjungsi pernyataan, dibaca “pernyataan p dan (juga) pernyataan q”
• p ∨ q ialah disjungsi pernyataan, dibaca “pernyataan p atau pernyataan q”
• p ⇒ q ialah implikasi, dibaca “jika pernyataan p, maka pernyataan q”
• p ⇔ q ialah implikasi dua hala, dibaca “pernyataan p jika dan hanya jika pernyataan q”

Contoh konkrit penghubung logik:

• Di pusat bandar Ipoh, hujan turun dan juga matahari bersinar. (konjungsi)
• Di pusat bandar Ipoh, hujan turun atau matahari bersinar. (disjungsi)
• Durian ialah buah yang paling sedap dan Ali ialah budak yang paling hebat. (konjungsi)
• Jika anda makan terlalu banyak cili, maka perut anda akan sakit. (implikasi)
• Jika nombor x boleh dibahagi tepat dengan empat, maka nombor itu juga boleh dibahagi tepat dengan dua. (implikasi)
• Aisyah cantik dan juga pandai. (konjungsi)
• Penyanyi berjaya jika dan hanya jika mereka cantik. (implikasi dua hala)
• Jika hujan tidak turun, kita tidak akan basah. (implikasi)
• Jika ayam boleh terbang ke bulan, maka saya ialah dewa jenaka. (implikasi)

Terdapat satu lagi penghubung logik yang biasa digunakan, iaitu penafian. Penafian ditulis dengan simbol ¬p; dalam buku teks KSSM, penafian ditulis ∼ p.

Formula

Dengan menggunakan pemboleh ubah usulan (pernyataan ringkas) dan penghubung logik, kita boleh membina pernyataan yang lebih rumit, yang akan kita panggil formula. Semua contoh dalam senarai ayat sebelum ini sebenarnya ialah formula. Dalam setiap ayat itu, kita mempunyai dua formula ringkas, misalnya “Di pusat bandar Ipoh, hujan turun” dan “matahari bersinar”, lalu kita menghubungkannya dengan penghubung logik. Dalam kes pertama, kita menghubungkannya dengan penghubung “dan juga” dan memperoleh formula “Di pusat bandar Ipoh, hujan turun dan juga matahari bersinar”. Dalam kes kedua, kita menggunakan “atau” dan memperoleh formula “Di pusat bandar Ipoh, hujan turun atau matahari bersinar”.

Secara formal, formula ditakrifkan seperti berikut:

• Setiap pemboleh ubah usulan (pernyataan ringkas) ialah formula (lebih tepat lagi, formula ringkas).
• Jika A dan B ialah formula, maka ¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B) juga ialah formula.

Takrif ini masuk akal. Perkara pertama menyatakan bahawa setiap pernyataan ringkas juga ialah formula. Jadi, jika kita mempunyai dua pernyataan ringkas, misalnya “Di pusat bandar Ipoh, hujan turun” dan “matahari bersinar”, kita juga mempunyai dua formula. Sekarang kita boleh menggunakan perkara kedua dan membina formula yang lebih rumit, misalnya seperti berikut:

• Di pusat bandar Ipoh, hujan turun dan juga matahari bersinar.
• Di pusat bandar Ipoh, hujan turun atau matahari bersinar.
• Jika matahari bersinar di pusat bandar Ipoh, maka hujan turun.
• Matahari bersinar di pusat bandar Ipoh jika dan hanya jika hujan turun.

Sudah tentu formula tidak semestinya benar. Kini kita memperoleh sekumpulan formula baharu, jadi kita boleh membina formula yang lebih rumit lagi. Katakan A = “Di pusat bandar Ipoh, matahari bersinar atau hujan turun.” (kita sudah tahu bahawa ini ialah formula) dan B = “pelangi kelihatan” (andaikan juga di pusat bandar Ipoh supaya kita tidak perlu mengulanginya). Kemudian kita boleh membina formula lain. Tanda kurung dalam ayat hanya menunjukkan bahagian yang dihubungkan oleh penghubung itu.

• A ∧ B: (Di pusat bandar Ipoh, matahari bersinar atau hujan turun) dan juga (pelangi kelihatan).
• A ∨ B: (Di pusat bandar Ipoh, matahari bersinar atau hujan turun) atau (pelangi kelihatan).
• A ⇒ B: (Jika di pusat bandar Ipoh matahari bersinar atau hujan turun), maka (pelangi kelihatan).
• A ⇔ B: (Di pusat bandar Ipoh, matahari bersinar atau hujan turun) jika dan hanya jika (pelangi kelihatan).

Semua ini ialah formula. Jadi, sekali lagi kita boleh mengambil salah satu formula ini dan menghubungkannya dengan formula lain. Dengan cara ini, kita boleh membina ayat yang janggal seperti “Jika di pusat bandar Ipoh matahari bersinar atau hujan turun atau pelangi kelihatan, maka matahari bersinar atau hujan turun jika dan hanya jika pelangi kelihatan.”

Dalam bahagian seterusnya, kita akan mengkaji nilai kebenaran formula.