Faktorial

Faktorial bagi nombor n ialah hasil darab semua nombor asli yang kurang daripada atau sama dengan n. Faktorial ditulis dengan tanda seru: n!. Bagi sifar pula, 0! = 1. Faktorial digunakan terutamanya dalam kombinatorik, misalnya untuk mengira bilangan pilih atur. Contohnya, faktorial bagi lima ialah 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Takrif faktorial

Faktorial boleh ditakrifkan dengan beberapa cara. Cara yang paling mudah mungkin seperti berikut:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{jika n = 0}\\ n\cdot (n-1)!& \text{selainnya}\end{array}$$

Kita juga boleh menakrifkannya sebagai hasil darab:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Atau dengan menggunakan kamiran:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Pengiraan dengan faktorial

Faktorial sering muncul dalam pecahan. Dalam pengiraan seperti ini, kita menggunakan fakta bahawa n! = n · (n − 1)!. Hal ini benar berdasarkan takrif. Mari kita lihat satu contoh. Kita tahu bahawa faktorial bagi empat, 4!, sama dengan hasil darab nombor asli berikut: 4 · 3 · 2 · 1. Hasil darab 3 · 2 · 1 pula sama dengan faktorial bagi tiga: 3 · 2 · 1 = 3!. Oleh itu, faktorial bagi empat boleh ditulis sebagai 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Dengan cara ini, kita boleh memudahkan banyak pecahan yang mengandungi faktorial dengan cekap. Contoh soalan: permudahkan ungkapan

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Kita permudahkan ungkapan ini menggunakan rumus yang baru disebut tadi. Dalam pengangka, kita boleh memecahkan faktorial kepada n · (n − 1)!, dan dengan rumus yang sama, kita boleh memecahkannya lagi kepada n · (n − 1) · (n − 2)!. Sekarang kita boleh membatalkan faktor sepunya dalam pecahan itu dengan mudah:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Contoh lain:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

Dan contoh terakhir tentang faktorial:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$