Apakah itu bukti

Bukti ialah batu asas bagi seluruh matematik. Dengan bukti, anda dapat membina seluruh piramid daripada beberapa ketul batu kecil sahaja, malah piramid itu boleh berdiri secara terbalik.

Kegunaan bukti

Bukti penting dalam matematik atas beberapa sebab. Sebab utamanya ialah tanpa bukti, kita tidak dapat mengesahkan sebarang idea atau hipotesis yang terlintas di fikiran kita. Contohnya, kita mungkin percaya bahawa bilangan nombor perdana terhingga, tetapi tanpa bukti, kepercayaan itu hanyalah pernyataan kosong. Sebaliknya, pernyataan yang belum dibuktikan juga ada gunanya dalam matematik (dan dalam bidang lain). Kita hanya berkata: jika andaian bahawa nombor perdana terhingga banyaknya itu benar, maka… sesuatu teori lain juga benar.

Tetapi jangan terkejut jika suatu hari nanti seseorang membuktikan bahawa nombor perdana tak terhingga banyaknya, seperti yang akan kita lihat nanti, dan seluruh teori kita runtuh seperti rumah daun terup. Dengan bukti, kita dapat membina rumah daun terup yang tidak akan runtuh sama sekali.

Bukti diajar di sekolah kerana sesiapa yang memahami bukti juga memahami topik itu. Biasanya sukar untuk benar-benar memahami sesuatu topik tanpa memahami buktinya. Saya sengaja menekankan perkataan “memahami”. Jika anda menghafal bukti sehari sebelum peperiksaan dan keesokan harinya hanya menyalinnya semula di atas kertas, hal itu tidak bermaksud anda lebih memahami topik tersebut.

Jadi, semasa mempelajari sesuatu topik, bukti menjawab soalan “mengapa hal ini berlaku begitu?” Jika anda memahami mengapa sesuatu perkara berlaku, anda akan lebih mudah mengingatinya, dan lama-kelamaan anda pasti akan memahami topik itu dengan lebih baik daripada orang yang belajar secara hafalan. Persoalannya ialah sama ada inilah matlamat anda.

Apakah itu bukti

Secara formal, bukti ditakrifkan dalam logik matematik, misalnya melalui akibat sintaksis, tetapi kita cukup dengan takrif yang jauh lebih mudah.

Pada awal setiap bukti, kita mesti mempunyai pernyataan yang ingin dibuktikan. Kita tandakan pernyataan ini dengan simbol ajaib ϕ. Simbol ini ialah huruf Yunani yang dibaca “phi”. Seterusnya, kita memerlukan satu set aksiom dan andaian, yang kita tandakan Ax, untuk membuktikan pernyataan ϕ. Set aksiom mengandungi perkara yang sudah kita ketahui, iaitu perkara yang kita andaikan benar. Perkara ini boleh jadi, misalnya, “setiap nombor genap juga boleh dibahagi tepat dengan dua”. Selain itu, set ini boleh mengandungi, misalnya, rumus untuk memanipulasi ungkapan yang telah dibuktikan di tempat lain dan yang kita andaikan benar, contohnya:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2;a,b\in \mathbb{R}$$

Sekarang kita ubah pernyataan dalam set Ax langkah demi langkah sehingga kita memperoleh pernyataan ϕ. Setiap langkah mesti betul secara logik dan mesti mematuhi logik usulan yang asas. Contohnya, jika kita ingin membuktikan rumus tadi, kita mengubah ungkapan

$$(a+b{)}^2$$

dengan operasi setara sehingga kita memperoleh ungkapan di sebelah kanan. Begini caranya:

$$(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=$$

$$=a\cdot a+2ab+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$$

Dalam langkah pertama, kita menulis kuasa itu sebagai hasil darab. Dalam langkah kedua, kita kembangkan kurungan. Dalam langkah ketiga, kita tambah sebutan yang sama, dan dalam langkah terakhir, kita menulis hasil darab sebagai kuasa. Setiap langkah ialah satu operasi asas yang dibenarkan, dan kita mengandaikan bahawa setiap operasi asas ini terkandung dalam set Ax.

Yang penting, setiap langkah mesti sah dan mesti berdasarkan sesuatu yang sudah kita ketahui. Bukti matematik agak serupa dengan evolusi: melalui perubahan kecil langkah demi langkah, kita memperoleh suatu ungkapan lain daripada ungkapan asal.

Bukti remeh

Bukti remeh (atau bukti yang jelas) ialah istilah teknikal bagi bukti yang tidak muat di papan tulis, jadi bukti itu dilangkau dan pelajar perlu mempelajarinya daripada buku nota sebagai kerja rumah. :-) Secara serius, bukti remeh ialah bukti yang biasanya terhasil daripada sesuatu takrif dalam satu langkah yang remeh.

Mari kita lihat satu contoh. Katakan kita mempunyai set nombor asli, iaitu set nombor ℕ = {1, 2, 3, …}. Sekarang kita boleh mengatakan bahawa setiap pecahan dalam bentuk

$$\frac{q}{p};q,p\in \mathbb{N}$$

ialah pecahan yang sah, iaitu kita tidak akan menemui sebarang pasangan nombor q, p yang menjadikan pecahan itu tidak bermakna. Bagaimanakah kita membuktikannya? Mula-mula kita perlu mengetahui bilakah pecahan tidak bermakna. Pecahan tidak bermakna apabila penyebutnya sifar (kita tidak boleh membahagi dengan sifar). Oleh itu, kita perlu membuktikan bahawa p ≠ 0 bagi semua nilai p yang mungkin. Tetapi kita tahu bahawa p diambil daripada nombor asli, yang telah kita takrifkan sebagai ℕ = {1, 2, 3, …}. Set nombor asli tidak mengandungi sifar, jadi nombor p sentiasa bukan sifar.

$$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}:p\ne 0$$

Dan bukti selesai. Kita tahu bahawa jika pengangka dan penyebut pecahan itu ialah nombor asli, pecahan itu sah.

Bukti remeh biasanya memang remeh, tetapi hanya jika anda mengetahui konteksnya. Contohnya, jika anda tidak memahami konsep set atau tidak tahu maksud p ialah unsur bagi set ℕ, bukti ini juga tidak remeh bagi anda. Jadi, ciri bukti remeh bukanlah bahawa bukti itu mudah, tetapi bahawa bukti itu pendek dan terhasil dengan mudah daripada sesuatu konteks (yang mungkin sangat sukar).

Contoh penyangkal

Contoh penyangkal mungkin cara yang paling mudah untuk membuktikan bahawa sesuatu pernyataan tidak benar. Perkataan yang penting ialah “tidak”. Contoh penyangkal dapat menunjukkan kes yang menyebabkan pernyataan itu tidak benar. Tetapi secara amnya, sebanyak mana pun contoh tidak mencukupi apabila terdapat tak terhingga banyaknya unsur yang boleh diuji.

Contoh: “setiap nombor asli lebih besar daripada sepuluh”. Bagaimanakah kita membuktikan bahawa pernyataan ini tidak benar? Contoh penyangkal bagi pernyataan kita ialah, misalnya, nombor lima. Lima ialah nombor asli dan tidak lebih besar daripada sepuluh. Kita tidak boleh membuktikan pernyataan itu dengan menyenaraikan beberapa nombor asli yang lebih besar daripada sepuluh. Anda tidak boleh berkata “nombor asli 11, 12, 13, 123 dan 5345 lebih besar daripada 10, jadi pernyataan itu benar”. Cara itu tidak sah. Kita hanya memilih beberapa contoh yang menjadikan pernyataan kita benar, tetapi hal itu tidak memberitahu apa-apa tentang nombor lain yang tidak kita sebut langsung.

Contoh kedua: setiap lelaki yang lebih tinggi daripada dua meter mempunyai mata berwarna coklat atau biru. Saya rasa hanya segelintir orang dapat mencari contoh penyangkal. Apakah yang dapat kita simpulkan tentang pernyataan ini? Sebenarnya, tiada apa-apa. Jika kita tidak dapat mencari contoh penyangkal, hal itu tidak semestinya bermaksud pernyataan itu benar. Contoh penyangkal mungkin wujud di suatu tempat, tetapi kita sahaja yang belum dapat menemuinya. Kegagalan mencari contoh penyangkal tidak membuktikan bahawa pernyataan itu benar.

Bukti langsung

Jenis bukti yang paling asas ialah bukti langsung. Kita hanya mengikut takrif dan mengubah pernyataan permulaan sehingga kita memperoleh pernyataan yang dikehendaki. Biasanya kita ingin membuktikan pernyataan dalam bentuk implikasi A ⇒ B, dengan A ialah titik permulaan atau andaian, dan B ialah pernyataan yang ingin kita simpulkan dan buktikan. Jika pernyataan A benar, maka pernyataan B benar. Sering kali kita hanya diberi pernyataan B, iaitu perkara yang perlu dibuktikan, dan pernyataan A perlu kita pilih sendiri dengan sesuai.

Kemudian kita membuat kesimpulan langkah demi langkah dengan implikasi, dan pernyataan terakhir ialah pernyataan B. Secara skematik, langkah ini boleh ditulis seperti berikut:

$$A\Rightarrow A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow \dots \Rightarrow A_n\Rightarrow B$$

Sebagai contoh, kita akan membuktikan bahawa pernyataan berikut benar:

$$a>1\Rightarrow a^2>1$$

Sekarang langkah demi langkah:

1. Oleh sebab a>1, sudah tentu a>0 dan juga a ≠ 0 (sebenarnya kita hanya melemahkan syarat itu).
2. Oleh sebab a bukan sifar dan positif, kita boleh mendarab kedua-dua belah ketaksamaan dengan pemboleh ubah a tanpa ragu-ragu. Jika a sifar, ketaksamaan tegas tidak akan kekal (kita akan memperoleh 0>0), dan jika nilainya negatif, kita perlu menyongsangkan tanda ketaksamaan. Selepas mendarab dengan pemboleh ubah a, kita memperoleh ungkapan a²>a.
3. Pada ketika ini, kita tahu bahawa a>1 dan juga a²>a. Jika kita menggabungkan kedua-dua ungkapan ini, kita memperoleh: a²>a>1.
4. Daripada sini, kita hanya buang ungkapan di tengah dan memperoleh ungkapan a²>1. Kita boleh melakukannya kerana a lebih besar daripada satu dan a² lebih besar daripada a. Jika a² lebih besar daripada a dan a pula lebih besar daripada satu, maka sudah tentu a² lebih besar daripada satu.

Secara simbolik, kita boleh menulisnya seperti berikut:

$$a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^2>a\Rightarrow a^2>a>1\Rightarrow a^2>1.$$

Bukti tak langsung

Bukti tak langsung menggunakan sifat implikasi dengan lebih banyak. Jika kita perlu membuktikan pernyataan dalam bentuk A ⇒ B, kita boleh menggunakan kontrapositifnya dan membuktikan

$$\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A.$$

Cara ini kadang-kadang lebih mudah daripada bukti langsung. Kaedah yang serupa digunakan dalam bukti secara percanggahan, dan setiap bukti tak langsung boleh ditukar kepada bukti secara percanggahan. Mari kita buktikan secara tak langsung pernyataan

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Sekarang kita bentuk kontrapositif bagi implikasi itu:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\neg }(a=b)& \Rightarrow & \mathrm{\neg }(a-b=0)\\ a\ne b& \Rightarrow & a-b\ne 0\end{array}$$

Jika a ≠ b, kita boleh menulis b sebagai hasil tambah b = a + x, dengan x mewakili jarak nombor b daripada nombor a. Ungkapan itu berubah seperti berikut:

$$a\ne (a+x)\Rightarrow a-(a+x)\ne 0;x\ne 0$$

Kita tolak pemboleh ubah a yang boleh ditolak:

$$0\ne x\Rightarrow -x\ne 0;x\ne 0$$

Oleh sebab x ≠ 0, maka −x ≠ 0 juga, jadi implikasi itu benar. Pernyataan itu telah dibuktikan, maka pernyataan asal juga benar:

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Teknik pembuktian lain termasuk bukti secara percanggahan yang telah disebut tadi dan bukti secara aruhan.

Sumber lain

• Bukti matematik di Wikipedia