Segi tiga Pascal

Segi tiga Pascal terdiri daripada nombor-nombor, dan setiap nombor yang terletak di bawah dua nombor lain sama dengan hasil tambah kedua-dua nombor itu. Mari kita bina segi tiga Pascal dan kemudian lihat kegunaannya.

Cara membina segi tiga Pascal

Di sepanjang sisi segi tiga kita, kita tulis angka satu sahaja. Buat masa ini, bahagian dalam segi tiga itu kita isi dengan tanda soal:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Sekarang kita hitung tanda soal yang pertama: kita tambah dua nombor di atasnya dan memperoleh 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Dengan cara yang sama, kita hitung tanda soal dalam baris seterusnya. Mula-mula kita memperoleh 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Kemudian kita memperoleh 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Kita teruskan dengan cara ini, dan setiap baris baharu memberikan bahagian seterusnya bagi segi tiga Pascal:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Sudah tentu segi tiga Pascal tidak terhingga, kerana kita sentiasa boleh membina baris demi baris. Tetapi angka satu sentiasa berada di tepi, dan di bahagian dalam segi tiga terdapat nombor yang diperoleh sebagai hasil tambah dua nombor di atasnya. Contohnya, nombor 15 dalam baris terakhir diperoleh sebagai hasil tambah nombor 5 dan 10 di atasnya.

Sifat asas segi tiga Pascal

Sifat asas yang pertama sudah kita sebut: di sepanjang sisi segi tiga itu, sentiasa terdapat angka satu:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

Pada “pepenjuru kedua” pula, terdapat semua nombor asli:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Sambil itu, adakah anda perasan bahawa segi tiga Pascal bersimetri? Setiap baris sama sahaja, sama ada anda membacanya dari kiri ke kanan atau dari kanan ke kiri.

Nombor segi tiga

Pada pepenjuru ketiga pula, terdapat nombor 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Apakah yang menarik tentang nombor-nombor ini? Nombor-nombor ini dipanggil nombor segi tiga. Bayangkan anda mempunyai beberapa bulatan dan ingin menyusunnya dalam bentuk segi tiga. Berapakah bulatan yang anda perlukan? Lihat rajah berikut:

Kita lihat bahawa bagi segi tiga dengan sisi 1, kita memerlukan satu bulatan. Bagi sisi sepanjang dua, kita memerlukan tiga bulatan, bagi sisi sepanjang tiga, enam bulatan, dan bagi sisi sepanjang empat, sepuluh bulatan. Bilangan bulatan yang diperlukan sentiasa merupakan nombor segi tiga, dan nombor ini terdapat dalam segi tiga Pascal.

Hasil tambah baris

Bagaimana jika kita cuba menambah nombor dalam setiap baris segi tiga Pascal?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Kita lihat bahawa hasil tambah setiap baris ialah dua kali ganda hasil tambah baris sebelumnya. Jadi, semua hasil tambah itu ialah kuasa bagi dua. Jika baris paling atas kita namakan baris sifar, kita boleh menulis bahawa hasil tambah baris ke-n segi tiga Pascal ialah 2ⁿ.

Nombor perdana

Mari kita namakan baris paling atas segi tiga itu sebagai baris sifar. Jika kita memilih baris ke-n dengan n ialah nombor perdana, maka semua nombor dalam baris itu (kecuali angka satu di tepi) boleh dibahagi tepat dengan n.

Sebagai contoh, ambil n = 5. Nombor lima ialah nombor perdana. Baris kelima kelihatan seperti ini:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Setiap nombor yang ditandakan ini boleh dibahagi tepat dengan lima.

Teorem binomial

Anda tentu mengetahui rumus untuk mengira (a + b)² atau (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Kita dapat melihat bahawa pekali bagi setiap sebutan sepadan dengan nombor dalam segi tiga Pascal. Lihat, misalnya, ungkapan

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Pertama sekali, kita tulis sebutan a³ dan b³ sebagai hasil darab dengan satu supaya lebih jelas:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

Sekarang kita lihat bahawa pekali yang mendarab sebutan-sebutan itu sama dengan baris ketiga segi tiga Pascal (jika baris paling atas dikira sebagai baris sifar):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

Fenomena ini dibincangkan dalam artikel tersendiri tentang teorem binomial.