Hubungan kesetaraan

Hubungan kesetaraan ialah hubungan binari pada set yang refleksif, simetri dan transitif.

Motivasi

Hubungan kesetaraan boleh dianggap sebagai penghalusan hubungan kesamaan. Kita sentiasa boleh menentukan sama ada dua unsur sesuatu set merupakan unsur yang sama, iaitu sama ada a = b. Namun, kadangkala kita ingin mengetahui sama ada dua unsur hanya serupa, tidak semestinya sama. Dengan kata lain, sama ada kedua-duanya mempunyai suatu sifat penting yang sama. Contohnya, dua buah buku boleh dianggap serupa jika genrenya sama — atau dalam bahasa kesetaraan: dua buah buku setara jika genrenya sama.

Apakah yang kita harapkan daripada kesetaraan seperti ini? Mari kita ambil contoh lain. Dua perkataan dikatakan serupa atau setara jika panjangnya sama.

Tentu kita mengharapkan bahawa jika kita membandingkan dua perkataan yang sama, kita akan mendapati kedua-duanya serupa. Jadi, setiap perkataan mesti serupa atau setara dengan dirinya sendiri. Dalam bahasa hubungan: hubungan kesetaraan mesti refleksif.

Seterusnya, jika perkataan “sungai” serupa atau setara dengan perkataan “Aminah”, tentu kita mengharapkan bahawa perkataan “Aminah” juga setara dengan perkataan “sungai”. Dengan kata lain, tertib tidak penting. Dalam bahasa hubungan: hubungan kesetaraan mesti simetri.

Akhir sekali, jika perkataan “mati” serupa atau setara dengan perkataan “buku”, dan perkataan “buku” setara dengan perkataan “kaki”, kita mengharapkan bahawa pasangan perkataan “mati” dan “kaki” juga setara. Jadi, hubungan kesetaraan juga mesti transitif.

Tiada apa-apa lagi yang kita harapkan daripada kesetaraan.

Contoh

Contoh lain hubungan kesetaraan:

• Tinggal di bandar yang sama. Wei Jie tentu tinggal di bandar yang sama dengan Wei Jie (refleksif). Jika Wei Jie tinggal di bandar yang sama dengan Raju, maka Raju juga tinggal di bandar yang sama dengan Wei Jie (simetri). Dan jika Raju tinggal di bandar yang sama dengan Hafiz, maka Wei Jie juga tinggal di bandar yang sama dengan Hafiz (transitif).
• Lagu yang dicipta oleh pencipta lagu yang sama. Lagu A tentu mempunyai pencipta yang sama dengan lagu A (refleksif). Jika lagu A dan lagu B mempunyai pencipta yang sama, maka lagu B dan lagu A juga mempunyai pencipta yang sama (simetri). Dan jika lagu B dan lagu C mempunyai pencipta yang sama, maka lagu A dan lagu C juga mempunyai pencipta yang sama (transitif).
• (a, b) ∈ R jika dan hanya jika a − b ialah nombor genap; a, b ialah integer. Refleksif: a − a = 0, dan sifar ialah nombor genap. Simetri: tandakan c = a − b. Maka b − a = −(a − b) = −c. Jika c genap, maka −c juga mesti genap. Transitif: tandakan p = a − b dan q = b − c. Kita tahu bahawa p dan q kedua-duanya nombor genap. Sekarang kita perlu membuktikan bahawa a − c ialah nombor genap. Dalam ungkapan ini, kita gantikan c dengan c = b − q: a − (b − q), yang sama dengan a − b + q. Daripada andaian, kita tahu bahawa a − b ialah nombor genap. Jika kita menambah nombor genap q pada nombor genap, kita memperoleh nombor genap semula.
• Kesamaan. Kesamaan ialah hubungan kesetaraan, malah hubungan kesetaraan yang terkecil pada sebarang set M.

Kesetaraan remeh

Katakan kita mempunyai set M yang tidak kosong. Apakah hubungan kesetaraan R yang terkecil pada set M? Subset terkecil yang mungkin bagi hasil darab Cartes M × M ialah set kosong ∅. Adakah set kosong memenuhi syarat kesetaraan?

Set kosong tentu simetri: oleh sebab hubungan R tidak mempunyai sebarang unsur, syarat simetri dipenuhi secara automatik dan remeh. Begitu juga sifat transitif. Masalahnya terletak pada sifat refleksif. Takrifnya menyatakan bahawa bagi semua unsur x dalam set M, berlaku (x, x) ∈ R. Adakah syarat ini dipenuhi? Set M tidak kosong, jadi set itu mengandungi suatu unsur, misalnya q. Adakah pasangan (q, q) berada dalam hubungan R? Tidak. Oleh itu, hubungan R tidak refleksif.

Apakah hubungan terkecil yang refleksif? Hubungan kesamaan. Hubungan R mesti sekurang-kurangnya mengandungi pasangan (x, x) bagi semua unsur M. Inilah hubungan identiti. Adakah hubungan ini simetri? Mudah dilihat bahawa jawapannya ya. Begitu juga mudah dilihat bahawa hubungan ini transitif. Oleh itu, hubungan kesetaraan yang terkecil pada set M ialah hubungan identiti, yang ditandakan dengan id_M dan mengandungi pasangan (x, x) bagi semua x ∈ M.

Apakah pula hubungan kesetaraan yang terbesar pada set M? Subset terbesar ialah seluruh set M × M. Adakah set ini memenuhi syarat kesetaraan? Jelas sekali ya.

Kelas kesetaraan

Setiap hubungan kesetaraan membahagikan set M kepada satu keluarga set yang saling eksklusif, yang dipanggil kelas kesetaraan.

Katakan M ialah set semua perkataan dan R ialah kesetaraan “perkataan yang sama panjang”. Jadi, (a, b) ∈ R jika dan hanya jika perkataan a dan b mempunyai panjang yang sama. Kesetaraan ini membahagikan set perkataan kepada beberapa set yang lebih kecil, dan setiap set itu mengandungi perkataan yang sama panjang. (Di sini kita menganggap sebarang rentetan huruf sebagai perkataan, termasuk huruf tunggal.) Kelas kesetaraan boleh dibezakan dengan subskrip yang juga menunjukkan panjang perkataan dalam set itu:

• M₁ = {a, i, o, e, …}
• M₂ = {di, ke, ia, ya, …}
• M₃ = {ini, itu, apa, dan, …}
• M₄ = {mati, buku, kaki, lagu, …}
• …

Perhatikan dua perkara: 1) set-set ini saling eksklusif, iaitu tiada unsur sepunya. 2) semua unsur dalam setiap set setara antara satu sama lain. Semua perkataan dalam set M₃ setara antara satu sama lain kerana semuanya mempunyai panjang tiga, iaitu panjang yang sama, dan itulah syarat kesetaraan.

Setiap unsur menentukan kelas kesetaraannya secara unik. Hal ini biasanya ditulis dengan tatatanda M[x], dengan x ∈ M. Jika kita menulis M[apa], kita menentukan secara unik kelas kesetaraan yang telah kita tandakan dengan M₃.

Bagaimanakah kita mencari kelas kesetaraan jika kita mengetahui suatu x ∈ M? Kita semak semua unsur dalam M dan tentukan unsur yang setara dengan unsur x. Semua unsur itulah yang membentuk kelas kesetaraan M[x].

Bagi M[apa], kita akan menyemak semua perkataan dalam M dan menyimpan dalam M₃ perkataan yang panjangnya tiga.

Takrif dan sifat kelas kesetaraan

Kelas kesetaraan boleh ditakrifkan seperti berikut. Katakan kita mempunyai set M dan hubungan kesetaraan R yang ditakrifkan padanya. Kelas petakan yang mengandungi unsur x ∈ M ialah:

$$M[x]=\{y\in M;(x,y)\in R\}$$

Takrif ini menyatakan bahawa kelas itu terdiri daripada semua y yang setara dengan unsur x yang diberikan. Oleh sebab hubungan kesetaraan refleksif, unsur x sendiri juga termasuk dalam kelas ini — kerana x setara dengan dirinya sendiri.

Petakan yang sepadan dengan hubungan kesetaraan pula ialah set semua kelas kesetaraan. Jadi, petakan bagi set semua perkataan ialah set {M₁, M₂, M₃, …}.

Sifat asas kelas kesetaraan:

• (a, b) ∈ R jika dan hanya jika M[a] = M[b]. Jika kita mempunyai dua unsur a, b yang setara, maka kelas kesetaraan kedua-duanya mesti sama.
• Sebaliknya, jika (a, b) ∈ R tidak benar, maka M[a] ≠ M[b], atau lebih tepat lagi M[a] ∩ M[b] = ∅. Jika kita mempunyai dua unsur yang tidak setara, kelas petakan kedua-duanya saling eksklusif.
• Kesatuan semua kelas kesetaraan mesti memberikan set asal M: M₁ ∪ M₂ ∪ … ∪ M_n = M. (Tatatanda ini hanya bagi bilangan kelas kesetaraan yang terhingga; secara umum, bilangannya boleh tak terhingga.)

Contoh petakan bagi hubungan kesetaraan

Contoh pertama, nombor ganjil dan nombor genap:

Katakan kita mempunyai kesetaraan mudah R yang ditakrifkan pada nombor asli N: (a, b) ∈ R jika dan hanya jika a dan b kedua-duanya ganjil atau a dan b kedua-duanya genap. Contoh unsurnya: (1, 7), (13, 9), (4, 6), (8, 136). Sekarang kita tentukan petakan bagi kesetaraan ini kepada kelas kesetaraan.

Kita mulakan langkah demi langkah. Apakah kelas N[1]? Kita perlu mencari semua nombor yang setara dengan nombor satu. Mengikut syarat kesetaraan, nombor itu ialah semua nombor ganjil, jadi N[1] = {1, 3, 5, 7, 9, …}.

Apakah pula kelas N[2]? Kita cari semua nombor yang setara dengan 2. Nombor itu ialah semua nombor genap: N[2] = {2, 4, 6, 8, 10, …}.

Sekarang N[3]. Nombor manakah yang setara dengan 3? Semua nombor ganjil. Tetapi dengan itu kita memperoleh set N[1] yang telah kita kira dua perenggan sebelum ini. Begitu juga bagi N[4]: sekali lagi kita memperoleh set nombor genap.

Kita lihat bahawa seterusnya set yang sama akan berulang. Hal ini juga jelas kerana bagi sebarang nombor asli n yang lain, sentiasa berlaku n ∈ N[1] atau n ∈ N[2]. Tiada nombor asli selain nombor ganjil dan nombor genap, jadi kedua-dua set ini membentuk petakan bagi kesetaraan tersebut.

Keadaan ini serupa dengan kesetaraan pada set manusia: a dan b kedua-duanya lelaki atau a dan b kedua-duanya perempuan. Petakannya terdiri daripada set perempuan dan set lelaki.

Contoh kedua, nilai mutlak:

Katakan kita mempunyai kesetaraan R pada set integer Z yang ditakrifkan seperti berikut: (a, b) ∈ R jika dan hanya jika |a| = |b|. (Garis menegak itu ialah nilai mutlak.) Sekali lagi kita bekerja langkah demi langkah:

• Z[0] = {0}. Sifar hanya berhubung dengan sifar.
• Z[1] = {−1, 1}. Nombor 1 berhubung dengan 1 dan dengan negatif 1, kerana |1| = |−1|.
• Z[2] = {−2, 2}. Nombor 2 berhubung dengan 2 dan dengan negatif 2.
• Z[3] = {−3, 3}.
• …

Tentu sudah jelas bagaimana corak ini berterusan. Oleh itu, seluruh petakan ialah set kelas berikut:

$$\{\{a,-a\};a\in {\mathbb{Z}}_0^{+}\}$$

(Iaitu semua pasangan a, −a, dengan a ialah integer bukan negatif.) Anda lihat bahawa bilangan kelasnya tak terhingga.