Ruang vektor

Ruang vektor, yang kadangkala dipanggil juga ruang linear, ialah set unsur yang mesti memenuhi beberapa sifat. Sifat ini menyebabkan unsur set itu, yang kita panggil vektor, berkelakuan dengan “baik”.

Contoh ruang vektor

Sebelum kita mentakrifkan ruang vektor, mari kita lihat satu contoh ruang vektor yang tentu sudah anda kenal di sekolah menengah, cuma anda tidak tahu bahawa contoh itu ialah ruang vektor. Contoh itu ialah vektor biasa pada satah.

Vektor pada satah ialah pasangan tertib (a, b), dengan a, b ∈ ℝ. Vektor ini boleh jadi sebarang koordinat dalam ruang ℝ² (iaitu hasil darab Cartes ℝ × ℝ). Vektor seperti ini boleh diwakili oleh anak panah dari titik (0, 0) ke titik (a, b). Vektor (2, 3) kelihatan seperti ini:

Kita tahu bahawa vektor boleh ditambah mengikut petua (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Hasil tambah vektor (2, 3) + (4, 1) ialah vektor (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4). Secara grafik, hasil tambah ini digambarkan seperti berikut:

Kita juga boleh mendarab vektor dengan k, dengan k ialah nombor nyata. Hasil darab vektor dengan k ini ditulis sebagai k · (a, b). Hasilnya ialah vektor baharu yang ditakrifkan sebagai k · (a, b) = (k · a, k · b). Secara grafik, vektor itu “memanjang”, “memendek” atau bertukar arah. Jika kita mempunyai vektor u = (2, 3), maka vektor 2 · u, $\frac{1}{2}u$ dan −1 · u kelihatan seperti ini:

Kita akan membuktikan kemudian bahawa set semua vektor ℝ² dengan operasi yang ditakrifkan seperti ini membentuk ruang vektor. Mula-mula kita takrifkan ruang vektor, kemudian kita tunjukkan setiap sifatnya pada ruang vektor ℝ² ini.

Takrif ruang vektor

Ruang vektor (atau juga ruang linear) ialah set V yang tidak kosong, dan unsurnya dipanggil vektor. Selain itu, pada set ini mesti wujud dua operasi: penambahan vektor, iaitu pemetaan V × V ⟶ V, dan pendaraban vektor dengan nombor nyata, iaitu pemetaan ℝ × V ⟶ V. (Secara lebih umum, sebagai ganti set nombor nyata, kita boleh menggunakan sebarang medan, tetapi hal ini akan dibincangkan dalam artikel kemudian.) Penambahan vektor ditandakan dengan tanda +, dan pendaraban dengan ·. Kedua-dua operasi ini mesti memenuhi syarat berikut, iaitu bagi semua x, y, z ∈ V dan bagi semua a, b ∈ ℝ, mesti berlaku (perhatikan bahawa vektor x, y, z ditulis tebal, manakala nombor a, b ditulis biasa):

1. x + y = y + x: penambahan vektor kalis tukar tertib. Jika kita kembali kepada contoh vektor dalam ℝ², tidak kira sama ada kita menambah vektor seperti ini, (2, 3) + (4, 1), atau sebaliknya: (4, 1) + (2, 3) .

• (x + y) + z = x + (y + z): penambahan vektor kalis sekutuan. Sekali lagi kita boleh menggantikan beberapa vektor daripada ℝ² dan kita akan lihat bahawa hasilnya sama.
• a · (b · x) = (a · b) · x: hukum kalis sekutuan bagi pendaraban. Bagi vektor kita, 4 · (5 · (6, 7)) sama dengan (4 · 5) · (6, 7). Kedua-dua ungkapan memberikan vektor (20 · 6, 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: hukum kalis agihan bagi vektor dalam V. Sekali lagi kita lihat bahawa 2 · ((2, 3) + (4, 5)) sama dengan 2 · (2, 3) + 2 · (4, 5). Kedua-dua ungkapan memberikan vektor (2 · 6, 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x: hukum kalis agihan terhadap penambahan nombor.
• 1 · x = x: jika kita mendarab sebarang vektor dengan nombor nyata 1, vektor itu tidak berubah. Dalam kes kita, 1 · (5, 8) = (5, 8).
• Wujud unsur 0 ∈ V dengan keadaan 0 · x = 0. Sifar tebal, iaitu 0, ialah vektor sifar, manakala sifar biasa 0 hanyalah nombor sifar. Perkara ini menyatakan bahawa dalam V mesti wujud vektor yang diperoleh dengan mendarab sebarang vektor x ∈ V dengan nombor sifar. Bagi ruang ℝ² kita, vektor itu ialah (0, 0), kerana bagi semua vektor (a, b) ∈ ℝ² berlaku 0 · (a, b) = (0, 0).

Inilah semua sifat yang mesti dipenuhi oleh ruang vektor (ruang linear) V. Jika kita mendarab vektor dengan suatu nombor nyata a, nombor a itu dipanggil skalar. Oleh itu, kita sering menyebut pendaraban dengan skalar, dan maksudnya ialah ungkapan berbentuk a · x, dengan a ialah nombor nyata dan x ialah vektor.

Dua makna tanda tambah +

Berhati-hati, dalam sesetengah ungkapan, tanda tambah + boleh mempunyai dua makna. Contohnya, bagi hukum kalis agihan terhadap penambahan nombor, kita mempunyai persamaan (a + b) · x = a · x + b · x. Tanda + di sebelah kiri persamaan menambah nombor nyata, kerana a dan b ialah nombor nyata, manakala di sebelah kanan tanda itu menambah vektor, kerana hasil darab a · x ialah vektor.

Pengenalan makna secara automatik seperti ini kerap digunakan dalam matematik — daripada konteks, sentiasa jelas penambahan yang dimaksudkan. Jika kita mempunyai ungkapan x + y dan x, y ialah vektor, kita gunakan penambahan vektor. Jika x, y ialah nombor, kita gunakan penambahan biasa. Jika kedua-duanya matriks, kita gunakan penambahan matriks, dan seterusnya.

Kita boleh menggunakan tanda lain bagi penambahan vektor, misalnya ⊕. Maka hukum kalis agihan terhadap penambahan nombor boleh ditulis seperti ini: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. Tanda + biasa di sini menandakan penambahan nombor nyata a, b, manakala tanda ⊕ menandakan penambahan vektor. Akan tetapi, biasanya satu tanda + digunakan bagi kedua-dua jenis penambahan, dan maknanya dikenal pasti daripada konteks. Hal yang sama berlaku bagi tanda ·.

Ruang vektor R²

Dalam bahagian pertama, kita telah mentakrifkan ruang vektor V = ℝ²; sekarang kita buktikan bahawa ruang ini memang ruang vektor. Pertama sekali, kita perlu menyemak sama ada operasi penambahan dan pendaraban ditakrifkan dengan betul. Penambahan mesti menambah dua vektor, dan hasilnya mesti vektor baharu. Syarat ini dipenuhi kerana (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Dengan menambah dua vektor daripada ℝ², kita memperoleh vektor baharu dalam ℝ².

Sebagai contoh, jika kita mentakrifkan penambahan vektor sebagai hasil tambah magnitudnya, operasi itu bukan operasi penambahan yang sah dalam ruang vektor. Magnitud vektor (a, b) dikira sebagai $\sqrt{a^2+b^2}$. Oleh itu, hasil tambah (3, 4) + (5, 12) ialah nombor $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$, dan nombor ini bukan vektor dalam ruang ℝ².

Seterusnya, kita perlu menyemak sama ada pendaraban ditakrifkan dengan betul. Pendaraban mendarab nombor nyata dengan vektor daripada ℝ², dan hasilnya mesti vektor baharu dalam ℝ². Syarat ini juga dipenuhi kerana pendaraban dengan skalar ditakrifkan sebagai k · (a, b) = (k · a, k · b).

Sekarang kita semak ketujuh-tujuh sifat yang mesti dipenuhi oleh ruang vektor satu demi satu. Bagi vektor x, y, kita akan menggantikan vektor kita (a, b), (c, d), … mengikut keperluan; jangan risau tentang perkara ini.

1. x + y = y + x, hukum kalis tukar tertib bagi penambahan vektor. Adakah penambahan vektor yang kita takrifkan kalis tukar tertib? Ya, kerana penambahan itu ditakrifkan sebagai (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Jika kita menukar kedudukan vektor di sebelah kiri, kita memperoleh: (c, d) + (a, b) = (c + a, d + b). Oleh sebab c + a ialah hasil tambah dua nombor nyata, dan penambahan nombor nyata ialah operasi yang kalis tukar tertib, maka c + a = a + c, dan begitu juga bagi pasangan kedua: d + b = b + d. Jadi, (a + c, b + d) = (c + a, d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Bahagian ini sedikit sebanyak permainan dengan kurungan. Pada dasarnya, langkahnya mudah, tetapi kurang jelas kerana terlalu banyak kurungan. Mari kita cuba mengira hasil tambah vektor ini:

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)$$

Oleh sebab a, c, e ialah nombor nyata dan penambahan nombor nyata kalis sekutuan, maka (a + c) + e = a + c + e. Hal yang sama berlaku bagi koordinat kedua. Jadi, kita boleh menulis

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)$$

Sekarang kita cuba menambah vektor yang sama dengan susunan kurungan yang berbeza:

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a+(c+e),b+(d+f))$$

Sekali lagi a + (c + e) = a + c + e, jadi kita boleh menulis

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a+c+e,b+d+f)$$

Kita lihat bahawa walau bagaimana pun kita meletakkan kurungan pada hasil tambah tiga vektor, kita sentiasa memperoleh vektor yang sama, (a + c + e, b + d + f). Oleh itu, operasi penambahan dalam ℝ² kalis sekutuan dan memenuhi sifat kedua ruang vektor.

Anda boleh cuba menggantikan pemboleh ubah a, …, f dengan nombor tertentu, dan anda akan lihat bahawa hasilnya sama.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Sekali lagi, mula-mula kita huraikan sebelah kiri persamaan dengan menggantikan x dengan vektor (c, d):

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=a\cdot (b\cdot c,b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c),a\cdot (b\cdot d))$$

Oleh sebab pendaraban nombor nyata kalis sekutuan, kita memperoleh kesamaan a · (b · c) = a · b · c. Jadi, kita boleh menulis:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Sekarang kita huraikan sebelah kanan persamaan, iaitu (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=((a\cdot b)\cdot c,(a\cdot b)\cdot d)$$

Sekali lagi (a · b) · c = a · b · c, jadi:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Kita lihat bahawa kedua-dua belah persamaan memberikan vektor yang sama, (a · b · c, a · b · d), jadi persamaan itu benar.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Langkahnya sama; kita huraikan sebelah kiri persamaan:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=a\cdot \left((c+e,d+f)\right)=(a\cdot (c+e),a\cdot (d+f))$$

Oleh sebab a, c, e ialah nombor nyata yang mematuhi hukum kalis agihan, kita memperoleh kesamaan: a · (c + e) = ac + ae. Jadi, kita boleh menulis:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=(ac+ae,ad+af)$$

Sebelah kanan persamaan:

$$a\cdot (c,d)+a\cdot (e,f)=(ac,ad)+(ae,af)=(ac+ae,ad+af)$$

Kita lihat bahawa selepas dipermudahkan, kedua-dua belah persamaan sama.

• (a + b) · x = a · x + b · x: Langkahnya sangat serupa dengan langkah sebelum ini. Kita permudahkan sebelah kiri persamaan:

$$(a+b)\cdot (c,d)=((a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d)=(ac+bc,ad+bd)$$

Sebelah kanan:

$$a\cdot (c,d)+b\cdot (c,d)=(ac,ad)+(bc,bd)=(ac+bc,ad+bd)$$

• 1 · x = x: Saya sebenarnya tidak percaya ada sesiapa yang berjaya membaca sehingga ke sini, tetapi tidak mengapa, kita teruskan :-). Sekurang-kurangnya perkara ini mudah. Kita perlu menyemak bahawa 1 · (a, b) = (a, b). Hal ini tentu benar kerana

$$1\cdot (a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b)$$

• Wujud unsur 0 ∈ ℝ² dengan keadaan 0 · x = 0: unsur itu ialah vektor (0, 0). Bagi vektor ini, 0 · (a, b) = (0, 0), kerana

$$0\cdot (a,b)=(0\cdot a,0\cdot b)=(0,0)$$

Saiz ruang vektor

Apakah ruang vektor yang terkecil? Daripada takrif, kita tahu bahawa ruang vektor ialah set V yang tidak kosong, jadi saiz terkecil yang boleh kita pertimbangkan ialah set yang mengandungi satu vektor. Daripada perkara ketujuh dalam takrif, kita tahu bahawa ruang itu mesti mengandungi vektor sifar. Oleh itu, set V = {0} ialah calon ruang vektor yang terkecil.

Penambahan boleh ditakrifkan sebagai 0 + 0 = 0 dan pendaraban sebagai a · 0 = 0. Apa pun yang kita lakukan, kita sentiasa memperoleh vektor sifar. Jelas bahawa set satu unsur ini mempunyai ketujuh-tujuh sifat yang diperlukan.

Kita sudah tahu bahawa ruang vektor satu unsur wujud. Adakah wujud ruang vektor yang mempunyai dua unsur? Bolehkah kita mentakrifkan operasi penambahan dan pendaraban pada set V = {x, 0} supaya set itu menjadi ruang vektor?

Jawapannya tidak; ruang vektor dua unsur tidak wujud. Malah tiada ruang vektor terhingga yang lain kecuali ruang satu unsur tadi. Semua ruang vektor yang lain tak terhingga. Akan tetapi, seperti yang telah disebut, jika kita menggunakan medan lain yang terhingga sebagai ganti set nombor nyata, kita boleh memperoleh ruang vektor terhingga yang lain.

Rumusan

Takrif ruang vektor tidaklah begitu mudah; vektor dan operasinya mesti memenuhi 7 syarat, dan bilangan ini tidak sedikit. Sebaliknya, syarat tersebut agak remeh dan mudah difahami — syarat ini bertujuan supaya kita mudah bekerja dengan vektor. Berkat syarat yang ditakrifkan, kita boleh menambah vektor daripada suatu ruang vektor tanpa perlu menyemak sama ada hasil tambahnya ialah vektor daripada ruang vektor yang lain. Begitu juga, kita boleh mendarab vektor dengan nombor nyata dan sentiasa memperoleh vektor daripada ruang yang sama. Agak semula jadi juga bahawa vektor dan operasinya mematuhi hukum kalis tukar tertib, kalis sekutuan dan kalis agihan.

Ruang vektor boleh juga ditakrifkan dengan lebih umum. Sebagai ganti set nombor nyata, kita boleh mengambil sebarang medan. Akan tetapi, hal ini akan dibincangkan dalam artikel kemudian.