Sistem persamaan linear

Sistem persamaan linear ialah set m persamaan linear dalam n pemboleh ubah. Dengan menyelesaikan sistem ini, kita memperoleh nilai yang boleh digantikan bagi n pemboleh ubah kita supaya semua persamaan menjadi benar.

Takrif sistem persamaan linear

Tentu anda pernah bertemu dengan persamaan linear serentak yang mudah seperti

$\begin{array}{ccccc} a_{11} x & + & a_{12} y & = & b_{1} \\ a_{21} x & + & a_{22} y & = & b_{2} \end{array}$

dengan a₁₁,…,a₂₂, b₁, b₂ ialah nombor nyata yang diberi, manakala x dan y ialah pemboleh ubah. Persamaan serentak ini boleh mempunyai bilangan penyelesaian yang berbeza — tiada penyelesaian, satu penyelesaian atau tak terhingga banyaknya, sama seperti persamaan linear biasa. Bagi sistem persamaan linear, soal bilangan penyelesaian dan cara mencarinya lebih rumit daripada bagi persamaan linear yang mudah.

Takrif sistem persamaan linear:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array}$

dengan a₁₁, …, a_mn, b₁, …, b_m ialah nombor nyata. Sistem ini dipanggil sistem m persamaan linear dalam n anu x₁, …, x_n dengan pekali a₁₁, …, a_mn. Contoh konkrit sistem persamaan linear:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & + & - 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & - 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Akan tetapi, jika suatu a_ij negatif, sistem itu lazimnya ditulis dalam bentuk ini:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & - & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Walau bagaimanapun, a₁₂ = −2 dan a₂₄ = −10 tetap benar.

Tatatanda matriks

Sistem ini boleh ditukar kepada bentuk matriks. Kita takrifkan tiga matriks: satu bagi pekali, satu bagi sebelah kanan persamaan dan satu bagi pemboleh ubah itu sendiri. Matriks tersebut ialah:

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$

Matriks A mengandungi pekali persamaan asal dan dipanggil “matriks pekali”, matriks b mengandungi sebelah kanan persamaan, dan matriks x mengandungi pemboleh ubah. Kemudian seluruh sistem persamaan boleh ditulis sebagai persamaan

$A x = b$

Persamaan ini bermakna kerana di sebelah kiri terdapat hasil darab dua matriks dan di sebelah kanan terdapat satu matriks, dan peringkatnya sepadan. Mari kita cuba mendarab sebelah kiri. Kita mendarab matriks berperingkat m × n dengan matriks berperingkat n × 1, jadi matriks yang diperoleh berperingkat m × 1, iaitu mempunyai m baris dan satu lajur. Setakat ini semuanya betul.

Sekarang kita gunakan algoritma biasa pendaraban matriks, bermula dengan baris pertama matriks A dan lajur pertama matriks x (tiada lajur lain). Kita memperoleh:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n}$

Dengan hasil tambah ini, kita memperoleh unsur pertama matriks baharu, iaitu nilai b₁. Jika kita gantikan semuanya ke dalam persamaan, kita memperoleh:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}$

Kita memperoleh persamaan pertama dalam sistem persamaan kita. Dengan cara yang sama kita teruskan bagi baris lain. Kita takrifkan juga matriks imbuhan sistem, iaitu matriks pekali yang ditambah dengan matriks b seperti berikut:

$B = (A | b) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix})$

Seterusnya, kita berminat dengan pangkat matriks imbuhan ini. Pangkat matriks pekali asal tanpa imbuhan kita tandakan dengan rank(A), dan pangkat matriks imbuhan dengan rank(A|b). Apakah hubungan antara kedua-dua pangkat ini? Jika kita menambah lajur b pada matriks A, terdapat dua kemungkinan: jika lajur baharu ini ialah gabungan linear lajur matriks A, pangkatnya tidak berubah. Jika lajur itu bukan gabungan linear, pangkatnya bertambah satu.

Teorem Rouché–Capelli

Pangkat matriks imbuhan penting bagi kita kerana adanya satu teorem penting, iaitu teorem Rouché–Capelli (juga dikenali sebagai teorem Frobenius): Sistem persamaan Ax = b mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika pangkat matriks pekali sama dengan pangkat matriks imbuhan sistem: rank(A) = rank(A|b).

Mari kita tunjukkan bahawa teorem ini benar sekurang-kurangnya dalam satu arah — jika x = β ialah penyelesaian persamaan Ax = b, maka rank(A) = rank(A|b). Jika kedua-dua pangkat ini sama, lajur b mesti merupakan gabungan linear lajur matriks A. Mari kita huraikan perkara ini. Matriks β berbentuk:

$β = (\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix})$

Kita menyatakan bahawa jika kita gantikan x₁ dengan β₁ dan seterusnya, semua persamaan dalam sistem itu menjadi benar:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} β_{1} & + & a_{12} β_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} β_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} β_{1} & + & a_{22} β_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} β_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} & + & a_{m 2} β_{2} & + & \dots & + & a_{m n} β_{n} & = & b_{m} \end{array}$

Sekarang kita tulis semula persamaan ini sedikit. Jika kita lihat lajur pertama, kita dapati nilai a₁₁, a₂₁, …, a_m1 yang semuanya didarab dengan nilai yang sama, β₁. Jika kita asingkan lajur ini menjadi matriks tersendiri, kita boleh memfaktorkan nilai β₁ ke hadapan matriks dan memperoleh:

$(\begin{matrix} a_{11} β_{1} \\ a_{21} β_{1} \\ ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} \end{matrix}) = β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix})$

Dengan cara ini, kita boleh menulis semula seluruh sistem:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Supaya persamaan ini benar, matriks di sebelah kanan mesti merupakan gabungan linear matriks lajur di sebelah kiri, dan nilai β₁, …, β_n mesti merupakan pekalinya.

Dengan itu, kita telah membuktikan bahawa jika matriks β ialah penyelesaian sistem persamaan, maka sebelah kanan sistem, iaitu matriks b, mesti merupakan gabungan linear lajur matriks pekali. Dan jika lajur matriks b ialah gabungan linear lajur matriks A, maka pangkat matriks A mesti sama dengan pangkat matriks (A|b).

Selain itu, jika rank(A) = rank(A|b) = k dan k sama dengan bilangan anu, iaitu k = n, maka sistem itu mempunyai satu penyelesaian sahaja. Jika k < n, maka sistem itu mempunyai penyelesaian yang tak terhingga banyaknya, dan untuk menulisnya kita memerlukan n − k parameter.

Operasi baris permulaan

Daripada persamaan tadi, jelas juga bahawa jika kita melakukan operasi baris permulaan pada matriks (A|b), penyelesaian sistem persamaan tidak berubah. Jika kita menambah baris pertama pada baris kedua, kita memperoleh persamaan:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} + a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} + a_{12} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} + a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} + b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Jika kita tulis baris kedua secara terperinci, kita memperoleh:

$β_{1} (a_{21} + a_{11}) + β_{2} (a_{22} + a_{12}) + \dots + β_{n} (a_{2 n} + a_{1 n}) = b_{1} + b_{2}$

Kita kembangkan kurungan:

$β_{1} a_{21} + β_{1} a_{11} + β_{2} a_{22} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{2 n} + β_{n} a_{1 n} = b_{1} + b_{2}$

Sekarang kita susun semula sebutannya sedikit:

$(β_{1} a_{11} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{1 n}) + (β_{1} a_{21} + β_{2} a_{22} + \dots + β_{n} a_{2 n}) = b_{1} + b_{2}$

Dalam kurungan pertama sebenarnya terdapat baris pertama, dan dalam kurungan kedua terdapat baris kedua yang asal. Kita tahu bahawa baris pertama sama dengan nilai b₁ dan baris kedua sama dengan nilai b₂. Hal ini kita ketahui daripada persamaan asal. Jadi, kurungan pertama boleh digantikan dengan b₁ dan kurungan kedua dengan b₂:

$b_{1} + b_{2} = b_{1} + b_{2} .$

Begitu juga, kita boleh mendarab seluruh baris dengan pemalar c ≠ 0 tanpa mengubah kebenaran sistem persamaan. Akan tetapi, berhati-hati: kita tidak boleh melakukan operasi lajur.

Sistem dengan satu penyelesaian

Melalui contoh, kita tunjukkan cara menyelesaikan sistem yang mempunyai satu penyelesaian sahaja. Katakan kita mempunyai sistem persamaan berikut:

$\begin{array}{ccccccc} 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 7 x_{3} & = & 47 \\ 3 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & x_{3} & = & 50 \\ 3 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 27 \end{array}$

Matriks A ialah:

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix})$

Sekarang kita kira pangkat matriks ini:

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 6 & 16 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 7 & - 19 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 21 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 0 & 78 \end{matrix})$

Kita lihat bahawa rank(A) = 3. Daripada ini juga, rank(A|b) = 3, kerana matriks berperingkat 3 × 4 boleh mempunyai pangkat paling besar tiga. Sistem ini mempunyai tiga anu, jadi seluruh sistem mempunyai satu penyelesaian sahaja. Bagaimanakah kita mencarinya?

Kaedah penghapusan Gauss

Penghapusan Gauss ialah kaedah mengubah matriks imbuhan sistem kepada bentuk eselon baris. Dengan menukar matriks kepada bentuk eselon baris, kita dapat menentukan nilai satu pemboleh ubah. Setelah menemukan nilai satu pemboleh ubah, kita boleh mula menggantikan nilai ini ke dalam persamaan yang lain.

Matriks (A|b) berbentuk:

$(A | b) = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{matrix})$

Kita ubah matriks ini kepada bentuk eselon baris. Kita lakukan operasi yang sama seperti dalam langkah sebelum ini, tetapi kali ini kita gunakan juga pada lajur keempat:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 6 & 16 & 2 & 100 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 7 & - 19 & - 41 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 21 & 21 & 189 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 0 & 78 & 312 \end{array}) \end{array}$

Oleh sebab kita hanya melakukan operasi baris permulaan, matriks ini mewakili sistem persamaan yang setara — sistem yang mempunyai set penyelesaian yang sama. Kita tulis semula sistem ini daripada bentuk matriks kepada bentuk biasa dengan menggunakan pekali daripada matriks terakhir kita:

$\begin{array}{ccccccc} 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & + & 21 x_{3} & = & 141 \\ 21 x_{2} & - & 57 x_{3} & = & - 123 \\ 78 x_{3} & = & 312 \end{array}$

Sekarang kita mulakan dengan persamaan terakhir. Persamaan itu menyatakan bahawa 78x₃ = 312. Apakah nilai x₃? Persamaan ini ialah persamaan linear yang mudah, jadi

$\begin{array}{rcl} 78 x_{3} & = & 312 \\ x_{3} & = & \frac{312}{78} \\ x_{3} & = & 4 \end{array}$

Kita memperoleh nilai pemboleh ubah pertama, x₃. Nilai ini kita gantikan ke dalam persamaan kedua. Kita memperoleh persamaan:

$\begin{array}{rcl} 21 x_{2} - 57 x_{3} & = & - 123 \\ 21 x_{2} - 57 \cdot 4 & = & - 123 \\ 21 x_{2} & = & - 123 + 228 \\ 21 x_{2} & = & 105 \\ x_{2} & = & \frac{105}{21} \\ x_{2} & = & 5 \end{array}$

Akhir sekali, kita gantikan kedua-dua nilai yang telah dikira ke dalam persamaan pertama:

$\begin{array}{rcl} 6 x_{1} + 9 x_{2} + 21 x_{3} & = & 141 \\ 6 x_{1} + 9 \cdot 5 + 21 \cdot 4 & = & 141 \\ 6 x_{1} + 45 + 84 & = & 141 \\ 6 x_{1} & = & 12 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

Nilai pemboleh ubah x₁ ialah dua. Sekarang kita mempunyai penyelesaian yang lengkap. Kita boleh menulis x = (x₁, x₂, x₃) = (2, 5, 4). Seperti yang dapat dilihat, kaedah penghapusan Gauss ialah kaedah yang mudah tetapi berkesan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Penyelesaian yang tak terhingga banyaknya

Jika rank(A) = rank(A|b) = k dan k kurang daripada bilangan anu, iaitu k < n, maka sistem itu mempunyai penyelesaian yang tak terhingga banyaknya. Mari kita ambil contoh mudah:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 12 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 15 \end{array}$

Kita lihat bahawa persamaan kedua sama dengan tiga kali persamaan pertama. Jika kita darabkan persamaan pertama dengan negatif tiga dan tambahkannya pada baris kedua, kita memperoleh:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & = & 0 \end{array}$

Sekarang bilangan pemboleh ubah ialah dua, n = 2, pangkat matriks pekali ialah satu, rank(A) = 1, dan pangkat matriks imbuhan juga satu, rank(A|b) = 1. Oleh sebab k < n, sistem ini mempunyai penyelesaian yang tak terhingga banyaknya. Bagaimanakah kita mencari penyelesaian ini?

Mari kita lihat persamaannya. Persamaan kedua dipenuhi oleh semua x₁, x₂, jadi kita hanya perlu memberi perhatian kepada persamaan pertama. Sebenarnya, semua pasangan x₁, x₂ yang memenuhi persamaan pertama membentuk set semua penyelesaian bagi sistem persamaan ini. Jadi, kita cari penyelesaian persamaan 4x₁ + x₂ = 5. Kita ubah persamaan ini kepada bentuk x₂ = 5 − 4x₁.

Seterusnya, kita gunakan parameter. Kita pilih parameter t. Sekarang kita cuba mengungkapkan pasangan x₁, x₂ dalam sebutan parameter t supaya kita boleh menyatakan, misalnya, bahawa semua pasangan berbentuk (t, t + 2) ialah penyelesaian sistem. Jadi, pasangan seperti (1, 3) atau (14, 16). Tujuannya ialah mengungkapkan nilai satu pemboleh ubah dalam sebutan pemboleh ubah lain, supaya kita tahu bahawa jika x₁ mempunyai nilai tertentu, maka x₂, misalnya, tiga kali ganda nilai itu. Sebagai titik permulaan, kita pilih x₁.

Jadi, kita tetapkan t = x₁. Jika pemboleh ubah x₁ mempunyai nilai t, apakah nilai pemboleh ubah x₂? Hal ini dapat dilihat daripada persamaan tadi: nilainya ialah x₂ = 5 − 4x₁. Jadi, jika x₁ = t, maka x₂ = 5 − 4t. Kita boleh menulis bahawa semua pasangan berbentuk (t, 5 − 4t) ialah penyelesaian sistem persamaan ini.

Kita boleh menyemaknya. Jika kita gantikan t dengan satu, kita memperoleh: x₁ = 1 dan x₂ = 5 − 4 · 1 = 1. Kita gantikan nilai ini ke dalam persamaan: 4 · 1 + 1 = 5, jadi persamaan itu benar.

Jika kita gantikan t dengan lima, kita memperoleh: x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15. Selepas penggantian ke dalam persamaan: 4 · 5 − 15 = 5. Benar.

Penyelesaian am dan penyelesaian khusus

Penyelesaian sistem persamaan yang ditulis dengan parameter dipanggil penyelesaian am. Penyelesaian konkrit, iaitu apabila parameter digantikan dengan nombor tertentu, dipanggil penyelesaian khusus.

Jadi, dalam contoh tadi: (x₁, x₂) = (t, 5 − 4t) ialah penyelesaian am sistem persamaan, manakala (1, 1) dan (5, −15) ialah penyelesaian khusus.

Jika kita mempunyai matriks pekali A dan matriks imbuhan sistem (A|b) yang pangkatnya sama, rank(A) = rank(A|b) = k, maka untuk mengungkapkan penyelesaian am kita memerlukan n − k parameter. Perhatikan bahawa jika n = k, kita tidak memerlukan sebarang parameter. Inilah kes apabila sistem mempunyai satu penyelesaian sahaja — tiada parameter diperlukan.

Contoh

Selesaikan sistem persamaan linear berikut:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Mula-mula kita kira pangkat matriks A dan (A|b). Kita ubah matriks imbuhan kepada bentuk eselon baris, dan daripada bentuk itu kita peroleh pangkat kedua-dua matriks. Mari kita mulakan. (Kita darabkan baris pertama dengan dua, kemudian kita tambahkan baris pertama dan baris kedua lalu tolak hasilnya daripada baris ketiga. Seterusnya, kita tolak baris pertama daripada baris kedua, dan akhir sekali kita bahagikan semula baris pertama dengan dua.)

$\begin{array}{rcl} (A | b) = (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Daripada matriks terakhir ini, kita lihat bahawa rank(A) = rank(A|b) = k = 2. Bilangan anu pula n = 4, jadi kita memerlukan n − k = 2 parameter. Kita tulis persamaan mengikut matriks terakhir:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ - x_{1} & - & 6 x_{3} & = & 0 \end{array}$

Daripada persamaan kedua, kita memperoleh

$\begin{array}{rcl} - x_{1} - 6 x_{3} & = & 0 \\ - x_{1} & = & 6 x_{3} \\ x_{1} & = & - 6 x_{3} \end{array}$

Kita pilih parameter pertama, t = x₃. Maka kita boleh menulis x₁ = −6t. Hasil ini kita gantikan ke dalam persamaan pertama:

$\begin{array}{rcl} 3 (- 6 t) - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 18 t - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 14 t - 2 x_{2} + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 2 x_{2} & = & 1 + 14 t - 5 x_{4} \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} x_{4} \end{array}$

Kita gunakan parameter kedua, s = x₄. Maka kita boleh menulis

$x_{2} = - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s$

Dengan itu, kita memperoleh penyelesaian am sistem:

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (- 6 t, - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s, t, s)$

Kita boleh mencuba beberapa penyelesaian khusus. Contohnya, s = t = 0. Maka kita memperoleh: $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, - \frac{1}{2}, 0, 0)$ . Selepas penggantian ke dalam persamaan asal:

kita memperoleh persamaan:

$\begin{array}{ccccccccc} 0 & - & 2 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 1 \\ 0 & - & 4 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 2 \\ 0 & - & 8 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 4 \end{array}$

Selepas membuang sebutan sifar dan mendarab pecahan, kita memperoleh:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Mari kita cuba satu lagi penyelesaian khusus: s = 2, t = 1. Maka kita memperoleh:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 6 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 + 5 = - \frac{5}{2} \\ x_{3} & = & 1 \\ x_{4} & = & 2 \end{array}$

Kita gantikan ke dalam persamaan:

$\begin{array}{ccccccccc} - 18 & - & 2 (- \frac{5}{2}) & + & 4 & + & 10 & = & 1 \\ - 30 & - & 4 (- \frac{5}{2}) & + & 2 & + & 20 & = & 2 \\ - 66 & - & 8 (- \frac{5}{2}) & + & 10 & + & 40 & = & 4 \end{array}$

Kita permudahkan:

$\begin{array}{ccccccccc} - 4 & + & 5 & = & 1 \\ - 8 & + & 10 & = & 2 \\ - 16 & + & 20 & = & 4 \end{array}$

Akhirnya kita memperoleh:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Nampaknya penyelesaian am yang diperoleh betul.

Kandungan: Sistem persamaan linear, Petua Cramer, Sistem persamaan linear homogen

« Artikel sebelumnya: Penentu

Artikel seterusnya: Petua Cramer »