Denklik Bağıntısı

Denklik bağıntısı, bir küme üzerinde tanımlı; yansıyan, simetrik ve geçişken olan ikili bağıntıdır.

Motivasyon

Denklik bağıntısı, eşitlik bağıntısının biraz esnetilmiş halidir. Bir kümenin iki elemanının aynı olup olmadığına, yani a = b olup olmadığına her zaman karar verebiliriz. Ama bazen iki elemanın yalnızca benzer olup olmadığına bakmak işimize yarar; mutlaka aynı olmaları gerekmez. Başka bir deyişle — önemli bir özellikleri aynı mı? Örneğin iki kitabı türleri aynıysa benzer sayabiliriz. Denklik diliyle: iki kitap, türleri aynıysa denktir.

Böyle bir denklikten ne beklerdik? Başka bir örnek alalım. İki sözcük, uzunlukları aynıysa benzerdir/denktir.

Aynı iki sözcüğün benzerliğini ölçersek herhalde birbirine benzer çıkmalarını bekleriz. Yani her sözcük kendisiyle benzer/denk olmalıdır. Bağıntı diliyle: denklik bağıntısı yansıyan olmalıdır.

Ayrıca “dere” sözcüğü “Ayşe” sözcüğüne benzer/denkse, “Ayşe” sözcüğünün de “dere” sözcüğüne denk olmasını elbette bekleriz. Başka bir deyişle sıra önemli değildir. Bağıntı diliyle: denklik bağıntısı simetrik olmalıdır.

Son olarak “yaz” sözcüğü “kuş” sözcüğüne, “kuş” sözcüğü de “ayı” sözcüğüne benzer/denkse, “yaz” ve “ayı” sözcük çiftinin de denk olmasını bekleriz. Yani denklik bağıntısı geçişken de olmalıdır.

Denklikten bundan fazlasını beklemeyiz.

Örnekler

Denkliğe başka örnekler:

• Aynı şehirde oturmak. Mehmet elbette Mehmet ile aynı şehirde oturur (yansıma). Mehmet, Can ile aynı şehirde oturuyorsa Can da Mehmet ile aynı şehirde oturur (simetri). Can, Emre ile aynı şehirde oturuyorsa Mehmet de Emre ile aynı şehirde oturur (geçişkenlik).
• Aynı sınıfta okumak. Elif elbette Elif ile aynı sınıftadır (yansıma). Elif ve Zeynep aynı sınıftaysa Zeynep ve Elif de aynı sınıftadır (simetri). Zeynep ve Emre aynı sınıftaysa Elif ve Emre de aynı sınıftadır (geçişkenlik).
• (a, b) ∈ R ancak ve ancak a − b bir çift sayı ise; a, b tam sayılardır. Yansıma: a − a = 0, sıfır bir çift sayıdır. Simetri: c = a − b diyelim. O zaman b − a = −(a − b) = −c olur. c çift sayıysa −c de çift olmak zorundadır. Geçişkenlik: p = a − b ve q = b − c diyelim. p ve q çift sayılardır. Şimdi a − c sayısının çift olduğunu göstermemiz gerekiyor. Bu ifadede c yerine c = b − q yazalım: a − (b − q), bu da a − b + q sayısına eşittir. Varsayımdan a − b sayısının çift olduğunu biliyoruz. Bir çift sayıya başka bir çift sayı q eklersek yine çift sayı elde ederiz.
• Eşitlik. Eşitlik bir denkliktir; üstelik herhangi bir M kümesi üzerindeki en küçük denkliktir.

Aşikâr Denklikler

Boş olmayan bir M kümemiz var. M kümesi üzerindeki mümkün olan en küçük denklik R nedir? M × M kartezyen çarpımının mümkün olan en küçük alt kümesi boş küme ∅ kümesidir. Boş küme denkliğin koşullarını sağlar mı?

Simetrik olduğu kesin: R bağıntısının hiç elemanı yok, yani simetri koşulu kendiliğinden ve aşikâr biçimde sağlanır. Geçişkenlik için de durum aynı. Sorun yansımada. Tanıma göre M kümesinin her x elemanı için (x, x) ∈ R olmalıdır. Bu sağlanıyor mu? M kümesi boş değil, yani bir elemanı var; örneğin q. (q, q) çifti R bağıntısında mı? Değil. Demek ki R bağıntısı yansıyan değildir.

Yansımayı sağlayan en küçük bağıntı hangisidir? Eşitlik bağıntısı. R bağıntısı en azından M kümesinin bütün elemanları için (x, x) çiftlerini içermelidir. Bu da tam olarak özdeşlik bağıntısıdır. Böyle bir bağıntı simetrik midir? Kolayca görülür ki evet. Aynı şekilde geçişken olduğu da kolayca görülür. Demek ki M kümesi üzerindeki en küçük denklik özdeşlik bağıntısıdır; id_M ile gösteririz ve bütün x ∈ M için (x, x) çiftlerini içerir.

M kümesi üzerindeki mümkün olan en büyük denklik nedir? En büyük alt küme M × M kümesinin kendisidir. Denkliğin koşullarını sağlar mı? Sağladığı herhalde hemen görülüyor.

Denklik Sınıfı

Her denklik, M kümesini ayrık kümelerden oluşan bir sisteme böler; bu kümelere denklik sınıfı deriz.

Bütün sözcüklerin kümesi M ve “uzunlukları aynı olan sözcükler” denkliği R olsun. Yani (a, b) ∈ R ancak ve ancak a ve b sözcüklerinin uzunlukları aynı ise. Bu denklik, sözcükler kümesini her zaman aynı uzunlukta sözcükler içeren birkaç küçük kümeye böler. Denklik sınıflarını alt indisle ayırt edebiliriz; bu indis aynı zamanda o kümedeki sözcüklerin uzunluğunu gösterir:

• M₁ = {o, a, e, …}
• M₂ = {ve, de, ki, mi, …}
• M₃ = {ama, her, bir, ben, …}
• M₄ = {park, kale, dere, ağaç, …}
• …

İki şeye dikkat et: 1) Kümeler birbirinden ayrıktır, ortak elemanları yoktur. 2) Her kümenin bütün elemanları birbirine denktir. M₃ kümesindeki bütün sözcükler birbirine denktir, çünkü hepsinin uzunluğu üçtür, yani aynıdır; denkliğin koşulu da budur.

Üstelik her eleman kendi denklik sınıfını tek anlamlı biçimde belirler. Bunu genellikle M[x] gösterimiyle yazarız; burada x ∈ M. M[ama] yazarsak daha önce M₃ diye adlandırdığımız denklik sınıfını tek anlamlı biçimde belirtmiş oluruz.

Peki x ∈ M elemanını biliyorsak denklik sınıfını nasıl buluruz? M kümesinin bütün elemanlarına bakarız ve hangilerinin x elemanına denk olduğunu belirleriz. Bunlar M[x] denklik sınıfının elemanları olacaktır.

M[ama] için M kümesindeki bütün sözcüklere bakar, uzunluğu üç olanları M₃ kümesinde tutardık.

Denklik Sınıfının Tanımı ve Özellikleri

Denklik sınıfını şöyle tanımlayabiliriz. M kümesi ve üzerinde tanımlı bir R denkliği verilsin. O zaman x ∈ M elemanını içeren sınıf şudur:

$$M[x]=\{y\in M;(x,y)\in R\}$$

Tanım, x elemanına denk olan bütün y elemanlarının bu sınıfı oluşturduğunu söyler. Denklik bağıntısı yansıyan olduğu için x elemanının kendisi de bu yolla sınıfa girer — çünkü x kendisine denktir.

Denkliğin parçalanışı ise bütün denklik sınıflarının kümesidir. Yani bütün sözcüklerin kümesinin parçalanışı {M₁, M₂, M₃, …} kümesi olurdu.

Denklik sınıflarının temel özellikleri:

• (a, b) ∈ R ancak ve ancak M[a] = M[b] ise. Birbirine denk iki eleman a, b varsa denklik sınıfları eşit olmak zorundadır.
• Tersine, (a, b) ∈ R geçerli değilse M[a] ≠ M[b] de olur; daha kesin söylersek M[a] ∩ M[b] = ∅. Birbirine denk olmayan iki elemanımız varsa sınıfları ayrıktır.
• Bütün denklik sınıflarının birleşimi başlangıçtaki M kümesini vermelidir: M₁ ∪ M₂ ∪ … ∪ M_n = M. (Bu yazılış yalnızca sonlu sayıda denklik sınıfı için geçerlidir; ama genel olarak sonsuz sayıda sınıf da olabilir.)

Denkliğin Parçalanışına Örnekler

İlk örnek: tek ve çift sayılar:

Pozitif tam sayılar N üzerinde tanımlı basit bir R denkliği alalım. (a, b) ∈ R ancak ve ancak a ve b ikisi de tek ya da ikisi de çift ise. Elemanlara örnekler: (1, 7), (13, 9), (4, 6), (8, 136). Şimdi bu denkliğin denklik sınıflarına parçalanışını bulalım.

Sırayla başlayalım. N[1] sınıfı neye eşit olur? Bire denk olan bütün sayıları bulmalıyız. Denkliğin koşuluna göre bunlar bütün tek sayılardır, yani N[1] = {1, 3, 5, 7, 9, …}.

N[2] sınıfı neye eşit olur? İkiye denk olan bütün sayıları buluruz. Bunlar bütün çift sayılardır: N[2] = {2, 4, 6, 8, 10, …}.

Şimdi N[3]. Üçe hangi sayılar denktir? Bütün tek sayılar. Ama böylece iki paragraf önce hesapladığımız N[1] kümesini elde ederiz. N[4] için de yine çift sayılar kümesi çıkar.

Bundan sonra aynı kümelerin tekrar edip duracağı görülüyor. Başka bir n pozitif tam sayısı alsak da n ∈ N[1] ya da n ∈ N[2] olacağından bunu anlarız. Tek ve çift sayıların dışında pozitif tam sayı yoktur, dolayısıyla bu iki küme denkliğin parçalanışını oluşturur.

Bu, insanlar kümesi üzerinde “a ve b ikisi de erkek ya da ikisi de kadın” denkliğini düşünmeye benzer. O zaman parçalanış olarak kadınlar kümesini ve erkekler kümesini elde ederdik.

İkinci örnek: mutlak değer:

Tam sayılar kümesi Z üzerinde R denkliğini şöyle tanımlayalım: (a, b) ∈ R ancak ve ancak |a| = |b| ise. (Şu dikey çizgiler mutlak değerdir.) Yine sırayla ilerleyelim:

• Z[0] = {0}. Sıfır yalnızca sıfırla bağıntıdadır.
• Z[1] = {−1, 1}. Bir, bir ile ve eksi bir ile bağıntıdadır, çünkü |1| = |−1|.
• Z[2] = {−2, 2}. İki, iki ile ve eksi iki ile bağıntıdadır.
• Z[3] = {−3, 3}.
• …

Bunun nasıl süreceği herhalde açık. Bütün parçalanış şu sınıflar kümesi olurdu:

$$\{\{a,-a\};a\in \mathbb{N}\}$$

(Yani a, −a çiftlerinin hepsi; burada a negatif olmayan bir tam sayıdır.) Gördüğün gibi sınıfların sayısı sonsuzdur.