Matriks

Matriks atas medan P ialah pemetaan {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P. Matriks biasanya ditandakan dengan huruf besar: A = (…). Sekarang dalam bahasa yang lebih mudah.

Konsep asas

Ringkasnya, matriks ialah sejenis jadual dengan n lajur dan m baris. Berhati-hati, tatatanda baris dan lajur ini tidak semestinya sama dalam semua buku. Dalam setiap petak jadual terdapat suatu nombor atau ungkapan lain. Matriks tidak semestinya mengandungi nombor sahaja, walaupun pada peringkat awal anda mungkin tidak akan bertemu dengan matriks lain. Jadi, beginilah rupa sebuah matriks:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 8& 5& 51\end{array}\right)$$

Matriks ini mempunyai dua baris dan tiga lajur. Unsur matriks ditandakan dengan subskrip, dan sebagai ganti huruf besar, huruf kecil digunakan: a₁₁ = 0 atau a₂₃ = 51. Subskrip pertama menunjukkan baris, dan subskrip kedua menunjukkan lajur.

Jenis matriks khas

Matriks boleh mempunyai pelbagai sifat, dan sesetengah matriks khas malah mempunyai nama sendiri.

Matriks segi empat sama ialah matriks yang bilangan barisnya sama dengan bilangan lajurnya. Jika matriks bukan segi empat sama, matriks itu ialah matriks segi empat tepat. Contoh matriks segi empat sama:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 8& 5& 23\\ 47& 154& 2\end{array}\right)$$

Matriks sifar ialah matriks yang semua unsurnya sifar: a_ij = 0.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Matriks identiti ialah matriks segi empat sama yang pepenjuru utamanya terdiri daripada 1 dan semua unsur lain sifar. Pepenjuru utama ialah “pepenjuru” dari kiri atas ke kanan bawah. Ringkasnya, unsur ini ialah nombor pada kedudukan dengan i = j.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

Matriks eselon baris ialah matriks yang baris sifarnya terletak di bahagian bawah (atau tiada baris sifar langsung), dan setiap baris bukan sifar bermula dengan lebih banyak sifar berbanding baris sebelumnya. Semua matriks berikut ialah matriks eselon baris:

$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& \pi \\ 0& 0& 1\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),A_3=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 8\\ 0& 0& 0& 5& 1\\ 0& 0& 0& 0& 5\end{array}\right)$$

Transposisi bagi matriks A ialah matriks A^T yang memenuhi $a_{ij}=a_{ji}^T$, iaitu unsur yang berada pada baris ke-i dan lajur ke-j akan berada pada baris ke-j dan lajur ke-i dalam matriks transpos. Ringkasnya, baris matriks ditukar menjadi lajur.

$$\begin{array}{rcl}{\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 8& 5& 23\\ 47& 154& 2\end{array}\right)}^T& =& \left(\begin{array}{ccc}0& 8& 47\\ 1& 5& 154\\ 5& 23& 2\end{array}\right)\\ {\left(\begin{array}{ccc}3& 4& 5\\ 6& 7& 8\end{array}\right)}^T& =& \left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 4& 7\\ 5& 8\end{array}\right)\end{array}$$

Matriks simetri ialah matriks segi empat sama A yang memenuhi A = A^T. Unsur yang simetri terhadap pepenjuru sama nilainya. Jadi, kita boleh menulis a_ij = a_ji.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}9& 3& 4\\ 3& 7& 0\\ 4& 0& 2\end{array}\right)$$

Matriks pencong simetri hampir sama dengan matriks simetri, tetapi unsur di seberang pepenjuru mempunyai tanda yang bertentangan: A = −A^T. Oleh sebab itu, unsur pada pepenjuru utama mesti sifar, kerana a = −a = 0.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -3& -4\\ 3& 0& 5\\ 4& -5& 0\end{array}\right)$$

Matriks pepenjuru ialah matriks yang semua unsurnya sifar kecuali pada pepenjuru utama. Lebih tepat lagi, semua unsur di luar pepenjuru utama mesti sifar, manakala unsur pada pepenjuru utama tidak ditetapkan.

$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}9& 0& 0\\ 0& 7& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Operasi asas pada matriks

Matriks boleh ditambah, didarab dengan suatu nombor dan juga didarab antara satu sama lain.

Penambahan matriks agak mudah difahami. Jika matriks mempunyai peringkat yang sama (= bilangan lajur dan baris yang sama), matriks yang diperoleh mempunyai hasil tambah unsur pada kedudukan yang sepadan dalam matriks asal. Dengan kata lain, jika kita menambah matriks A + B = C, maka a_ij + b_ij = c_ij.

$$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 8& 5& 23\\ 47& 154& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 3\\ 10& 20& 30\\ 7& -54& -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 5& 8\\ 18& 25& 53\\ 54& 100& -10\end{array}\right)$$

Penambahan matriks jelas kalis tukar tertib dan kalis sekutuan: A + B = B + A dan A + (B + C) = (A + B) + C.

Pendaraban matriks dengan nombor juga mudah difahami. Ambil nombor itu dan darabkan setiap unsur matriks dengannya, itu sahaja: k · A = k · a_ij.

$$5\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 8& 5& 23\\ 47& 154& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 5& 25\\ 40& 25& 115\\ 235& 770& 10\end{array}\right)$$

Pendaraban matriks

Pendaraban matriks agak lebih sukar kerana caranya tidak seintuitif yang dijangka. Tidak cukup sekadar mendarab unsur yang sepadan. Pertama sekali, matriks mesti memenuhi syarat berikut: bilangan lajur matriks pertama mesti sama dengan bilangan baris matriks kedua. Selebihnya boleh jadi apa-apa sahaja. Sekarang kita boleh mentakrifkan hasil darab (n ialah bilangan lajur matriks pertama):

$$(A\cdot B{)}_{ij}=\sum _{p=1}^n{a}_{ip}\cdot b_{pj}$$

Agak mengelirukan, bukan? Mari saya jelaskan langkah demi langkah :-). Ambil baris pertama matriks pertama dan lajur pertama matriks kedua. Darabkan unsur pertama dengan unsur pertama, kemudian tambahkan hasil darab unsur kedua dengan unsur kedua, dan seterusnya. Dengan itu, anda memperoleh unsur c₁₁ dalam matriks baharu C. Cara terbaik ialah melalui contoh. Kita darabkan dua matriks ini:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$$

Sekarang kita pilih baris pertama matriks pertama dan lajur pertama matriks kedua:

$$A=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{1}}& \boxed{\text{2}}\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{5}}& 6\\ \boxed{\text{7}}& 8\end{array}\right)$$

Supaya jelas, kita tandakan matriks baharu dengan C. Untuk memperoleh unsur pertama matriks ini, kita perlu mengira: c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Ingat, subskrip pertama ialah baris, kemudian lajur. Selepas penggantian, kita memperoleh: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. Unsur pertama bernilai 19:

$$C=\left(\begin{array}{cc}19& ?\\ ?& ?\end{array}\right)$$

Unsur seterusnya, c₁₂, diperoleh dengan cara yang sama, tetapi kita mengambil baris pertama dan lajur kedua. Dengan pengiraan yang panjang ini, kita sentiasa memperoleh unsur yang dikongsi oleh baris dan lajur itu. Baris pertama dan lajur pertama berkongsi unsur pada kedudukan c₁₁, manakala baris pertama dan lajur kedua berkongsi unsur c₁₂. Rajah berikut menunjukkannya dengan jelas:

Sekarang saya darabkan baki matriks dengan cepat:

$$\begin{array}{rcl}{c}_{12}& =& a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}=1\cdot 6+2\cdot 8=22.\\ c_{21}& =& a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}=3\cdot 5+4\cdot 7=43.\\ c_{22}& =& a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}=3\cdot 6+4\cdot 8=50.\end{array}$$

Kita hanya perlu menulis nombor ini ke dalam matriks:

$$C=\left(\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right)$$

Ketepatan jawapan boleh disemak, misalnya dengan aplikasi hamparan elektronik yang mempunyai fungsi untuk bekerja dengan matriks.

Seterusnya, beberapa maklumat umum tentang pendaraban matriks. Pertama sekali, pendaraban matriks tidak kalis tukar tertib. Secara umum, A · B = B · A tidak benar, walaupun kes seperti itu tentu sahaja boleh berlaku. Akan tetapi, pendaraban matriks kalis sekutuan. Pendaraban juga kalis agihan terhadap penambahan: A (B + C) = AB + AC. Jika kita mendarab dua matriks a_ix · b_xn, matriks yang diperoleh berperingkat i × n (bilangan barisnya sama dengan bilangan baris matriks pertama, dan bilangan lajurnya sama dengan bilangan lajur matriks kedua).

Contoh

Diberi tiga matriks berikut:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 8\\ 10& 12& 4\\ 4& 5& 9\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}8& 9\\ -5& 4\\ 10& -1\end{array}\right).$$

Hitung hasil darab matriks A · B.

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}4& 2& 8\\ 10& 12& 4\\ 4& 5& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}36& 41& 43\\ 90& 98& 106\\ 144& 155& 169\end{array}\right)$$

Hitung hasil darab matriks B · A.

Ingat, pendaraban matriks tidak kalis tukar tertib, jadi kita tidak boleh mengatakan dengan pasti bahawa jawapannya sama seperti dalam kes sebelum ini. Kita perlu mengira semuanya sekali lagi:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 8\\ 10& 12& 4\\ 4& 5& 9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}68& 82& 96\\ 86& 112& 138\\ 87& 105& 123\end{array}\right)$$

Hitung hasil darab matriks A · C dan C · B.

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}8& 9\\ -5& 4\\ 10& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}28& 14\\ 67& 50\\ 106& 86\end{array}\right)$$

Hasil darab kedua tidak dapat dikira kerana bilangan lajur matriks pertama berbeza daripada bilangan baris matriks kedua.

Operasi baris permulaan

Untuk bekerja dengan matriks secara cekap, kita perlu mentakrifkan beberapa operasi baris permulaan. Pertama sekali, kita boleh mendarab suatu baris atau lajur matriks dengan nombor bukan sifar. Kesannya sama seperti pendaraban matriks dengan k, tetapi hanya pada baris atau lajur itu.

Operasi kedua ialah menambah k kali baris ke-j pada baris ke-i. Hal yang sama boleh dilakukan pada lajur. Bunyinya agak menakutkan, tetapi sebenarnya mudah. Kita tunjukkan operasi ini bagi k = 1. Katakan kita mempunyai matriks ini:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$

Sekarang kita tambahkan baris kedua pada baris pertama. Jadi, kita ambil baris kedua dan tambahkan nombornya pada nombor di kedudukan yang sepadan dalam baris pertama. Nombor dalam baris kedua tidak berubah; hanya baris pertama yang berubah:

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 9\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$$

Kita boleh meneruskan operasi ini. Sekarang kita cuba menambah dua kali baris pertama pada baris ketiga. Kita ambil baris pertama matriks baharu ini, darabkannya dengan dua untuk memperoleh baris (10, 14, 18), lalu tambahkan nombor ini pada baris ketiga. Sekali lagi — baris pertama tidak berubah; hanya baris ketiga yang berubah:

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 9\\ 4& 5& 6\\ 17& 22& 27\end{array}\right)$$

Seterusnya, kita tambahkan hasil tambah baris pertama dan baris kedua pada baris ketiga. Pada dasarnya, hal ini bukan sesuatu yang baharu, kerana jika kita menambah baris kedua dahulu dan kemudian baris pertama pada baris ketiga, kita mesti memperoleh hasil yang sama. Hasil tambah baris pertama dan baris kedua ialah: (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15). Hasil tambah baris ini dengan baris ketiga pula ialah: (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 9\\ 4& 5& 6\\ 26& 34& 42\end{array}\right)$$

Satu lagi operasi lajur (operasi ini biasanya kurang kerap digunakan kerana kurang jelas). Kita tambahkan lajur pertama pada lajur kedua:

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 12& 9\\ 4& 9& 6\\ 26& 60& 42\end{array}\right)$$

Akhir sekali, kita darabkan baris kedua dengan 2:

$$\left(\begin{array}{ccc}5& 12& 9\\ 8& 18& 12\\ 26& 60& 42\end{array}\right)$$

Kebersandaran linear

Sekarang kita jelaskan pula maksud baris atau lajur yang bersandar. Suatu baris bersandar linear jika baris itu dapat diungkapkan sebagai gabungan linear baris lain dalam matriks. Ringkasnya, jika anda dapat menambah baris-baris lain dengan pelbagai cara sehingga memperoleh baris yang dicari, maka baris itu bersandar linear. Contoh:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 6& 9& 12\end{array}\right)$$

Jika anda mengambil dua kali baris pertama dan menambah baris kedua, anda memperoleh baris ketiga. Jika anda menolak gabungan ini daripada baris ketiga, anda memperoleh baris sifar (baris yang semua unsurnya sifar). Baris ini bersandar. Jadi, operasinya dilakukan seperti berikut (darabkan baris pertama dengan 2, tambahkan pada baris kedua, tolak daripada baris ketiga):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 6& 9& 12\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 4& 5& 6\\ 6& 9& 12\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 6& 9& 12\\ 6& 9& 12\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 6& 9& 12\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Jika kita mempunyai matriks A dengan n baris dan A_i menandakan baris ke-i, kita katakan bahawa matriks itu tidak mengandungi baris yang bersandar linear jika:

$${\alpha }_1{A}_1+{\alpha }_2{A}_2+\dots +{\alpha }_n{A}_n=\mathbf{0}$$

jika dan hanya jika α₁, α₂, …, α_n = 0. Sifar di sebelah kanan persamaan mewakili baris sifar. Dengan kata lain, satu-satunya penyelesaian persamaan ini ialah penyelesaian sifar. Jika kita menemukan penyelesaian lain, matriks itu mengandungi baris yang bersandar linear. Hal yang sama berlaku bagi lajur. Bagi matriks tadi:

$$\begin{array}{rcl}& & 2\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 6\end{array}\right)-1\left(\begin{array}{ccc}6& 9& 12\end{array}\right)=\\ & & =\left(\begin{array}{ccc}6& 9& 12\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}6& 9& 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

Jadi, nilai alfa ialah α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

Bilangan baris atau lajur yang tak bersandar linear ialah pangkat matriks.

Matriks tak singular dan singular

Matriks dikatakan tak singular jika matriks itu segi empat sama dan mempunyai pangkat maksimum (iaitu tiada baris yang bersandar linear). Matriks segi empat sama dikatakan singular jika matriks itu bukan matriks tak singular (iaitu jika matriks itu mengandungi sekurang-kurangnya satu baris yang bersandar linear). Kedua-dua konsep ini agak penting kerana banyak takrif bergantung padanya. Banyak perkara hanya ditakrifkan jika matriks itu tak singular.

Artikel berkaitan

• Pangkat matriks
• Matriks songsang
• Penentu matriks