Matriks songsang

Matriks songsang ialah matriks yang ditakrifkan bagi matriks segi empat sama yang tak singular. Hasil darab matriks dengan matriks songsangnya ialah matriks identiti.

Takrif

Matriks songsang hanya boleh dikira bagi matriks segi empat sama; bagi matriks segi empat tepat, matriks songsang tidak ditakrifkan. Selain itu, matriks songsang bagi matriks A (ditandakan dengan A⁻¹) hanya wujud jika matriks itu tak singular (tiada baris yang bersandar linear). Matriks songsang ini unik. Dua sifat utama matriks songsang ialah:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

Dan yang paling penting (sifat ini juga merupakan takrif matriks songsang):

$$A\cdot A^{-1}=E$$

E ialah matriks identiti.

Cara mengira matriks songsang

Sekarang mari kita lihat kaedah mengira matriks songsang. Algoritma yang paling mudah ialah kaedah penghapusan Gauss. Anda ubah matriks A kepada matriks identiti, dan di sebelah matriks itu anda tulis matriks identiti yang padanya dilakukan operasi yang sama seperti pada matriks A. Pada akhir pengiraan, di sebelah kiri anda memperoleh matriks A yang telah menjadi matriks identiti, dan di sebelah kanan matriks songsang. Mari kita cuba dengan contoh yang mudah:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Sekali pandang, kita dapati bahawa matriks ini tak singular, jadi wajar untuk mengira matriks songsangnya. Apabila mengira matriks songsang, kita biasanya menulisnya dalam bentuk:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Sekarang kita ubah matriks di sebelah kiri kepada matriks identiti dan melakukan operasi yang sama pada matriks di sebelah kanan. Kita tambahkan −3 kali baris pertama pada baris kedua. Mula-mula pada matriks di sebelah kiri:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Seterusnya, kita tambahkan −3 kali baris pertama matriks di sebelah kanan pada baris kedua matriks di sebelah kanan:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Sekarang kita perlu memperoleh sifar pada kedudukan a₁₂. Cukuplah kita menambah baris kedua pada baris pertama. Kali ini saya lakukan kedua-dua operasi dalam satu langkah:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Kemudian kita hapuskan negatif dua itu dengan membahagi seluruh baris dengan nombor itu:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Matriks songsang yang diperoleh ialah:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Jika anda ingin menyemak sama ada matriks songsang yang dikira itu betul, darabkan matriks itu dengan matriks asal:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Untuk semakan, anda boleh melihat WolframAlpha.

Pengiraan dengan penentu

Matriks songsang boleh juga dikira dengan penentu. Jika kita mempunyai matriks tak singular A, maka unsur $a_{ij}^{-1}$ bagi matriks songsang A⁻¹ ialah:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

Di sebelah kiri kita mempunyai i,j, tetapi dalam pengangka kita mempunyai j,i. Berhati-hati, susunan terbalik ini bukan satu kesilapan. Dalam pengangka terdapat matriks A_j,i, iaitu submatriks bagi matriks A yang diperoleh dengan membuang baris ke-j dan lajur ke-i daripada matriks A. Jadi, jika

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

maka:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Jika anda tidak suka subskrip yang terbalik itu, kita boleh juga menulisnya seperti berikut:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^T=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Maksudnya, jika anda tidak menukar subskrip, anda akan mengira transposisi matriks songsang. Jika matriks transpos ini ditransposkan sekali lagi, anda memperoleh matriks songsang.

Pengiraan dengan kaedah ini biasanya panjang; kaedah ini paling sesuai untuk pemprosesan oleh komputer kerana langkahnya sangat jelas. Dalam contoh ini, kita hanya akan mengira dua nombor. Katakan kita mempunyai matriks ini:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Mula-mula kita kira penentu bagi seluruh matriks ini, kerana penentu itu digunakan dalam penyebut pecahan:

$$det(A)=-1$$

Seterusnya, kita kira unsur pertama matriks songsang. Kita tandakan unsur itu dengan $a_{11}^{-1}$. Nilainya ialah:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Kita memerlukan submatriks A_1,1. Dengan membuang baris pertama dan lajur pertama, kita memperoleh:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Sekarang kita perlu mengira penentu matriks ini:

$$det(A_{1,1})=8$$

Kini kita boleh menggantikan semuanya ke dalam rumus:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

Kita memperoleh unsur pertama matriks songsang.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Nombor kedua diperoleh seperti berikut:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Penentu submatriks ialah

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

Dengan menggantikan semuanya, kita memperoleh:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Satu lagi kepingan teka-teki:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Dan begitulah seterusnya.