Penentu

Dalam algebra linear, penentu ialah pemetaan yang memberikan satu skalar kepada setiap matriks segi empat sama A; skalar ini ditandakan dengan |A|. Bagi matriks nombor, penentu ialah suatu nombor nyata.

Pilih atur n-tupel

Untuk mentakrifkan penentu, kita perlu tahu cara mengira pilih atur bagi suatu n-tupel, atau lebih tepat lagi tanda pilih atur. Cara terbaik untuk menerangkannya ialah melalui contoh. Katakan kita mempunyai tigaan tertib (1, 2, 3) yang dipetakan kepada tigaan (2, 3, 1). Bagi pilih atur, hal ini biasanya ditulis seperti berikut:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

Sekarang kita perlu menentukan berapa kali kita menukar kedudukan nombor untuk memperoleh susunan kedua daripada susunan pertama. Kita hanya boleh menukar kedudukan dua nombor yang bersebelahan. Jadi, kita mempunyai tigaan (1, 2, 3). Mula-mula kita tukar kedudukan 1 dengan 2: (2, 1, 3). Kemudian kita tukar kedudukan 1 dengan 3: (2, 3, 1), dan kita memperoleh pilih atur yang dicari. Untuk memperoleh imej itu, kita memerlukan dua pertukaran. Tanda pilih atur mudah ditentukan — jika bilangan pertukaran genap, tandanya positif. Jika bilangannya ganjil, tandanya negatif. Dalam kes kita, tanda pilih atur ini positif. Mari kita cuba menentukan tanda pilih atur bagi contoh ini juga:

$$\left(\begin{array}{cccc}4& 2& 3& 1\\ 1& 3& 4& 2\end{array}\right)$$

Langkahnya adalah seperti berikut:

$$(4,2,3,1)\to (4,2,1,3)\to (4,1,2,3)\to (1,4,2,3)\to (1,4,3,2)\to (1,3,4,2)$$

Siap. Kita memerlukan lima pertukaran semuanya, jadi kali ini kita memperoleh pilih atur dengan tanda ganjil (negatif).

Tanda pilih atur ditandakan dengan simbol Levi-Civita:

$${ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}=\{\begin{array}{ll}+1& \text{jika }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ ialah pilih atur genap bagi }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ -1& \text{jika }(i_1,i_2,\dots ,i_n)\text{ ialah pilih atur ganjil bagi }(1,2,3,4,\dots ,n)\\ 0& \text{dalam kes lain}\end{array}$$

Takrif penentu

Penentu ialah nombor yang hanya ditakrifkan bagi matriks segi empat sama, dan ditulis sama ada sebagai det A atau |A|. Nombor ini ditakrifkan seperti berikut:

$$|A|=\sum _{i_1,\dots ,i_n}^n{ϵ}_{i_1,\dots ,i_n}{a}_{1i_1}\cdot a_{2i_2}\cdot \dots \cdot a_{n{i}_n}$$

Mari kita cuba mengira penentu bagi matriks segi empat sama berperingkat 2 × 2:

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$$

Jika kita menggantikan nilai n = 2 ke dalam takrif, kita memperoleh rumus ini:

$$|A|=\sum _{i_1,i_2}^2{ϵ}_{i_1,i_2}\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}$$

Bagi i₁ dan i₂, kita gantikan nilai 1 dan 2 secara bergilir-gilir. Kita memperoleh empat kemungkinan: a) i₁ = 1, i₂ = 1, b) i₁ = 1, i₂ = 2, c) i₁ = 2, i₂ = 1, d) i₁ = 2, i₂ = 2.

Dalam kemungkinan a) dan d), tanda pilih atur ialah sifar, kerana ϵ_1,1 = 0 dan ϵ_2,2 = 0. Oleh itu, sebutan hasil tambah dalam rumus bagi langkah ini ialah sifar, kerana 0 · a_1i1 · a_2i2 = 0.

Tinggal kemungkinan b) dan c). Dalam kes b) i₁ = 1, i₂ = 2, kita mempunyai ϵ_1,2 = 1 kerana (1, 2) ialah pilih atur genap bagi (1, 2). Kita memperoleh sebutan pertama:

$$1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=1\cdot a_{11}\cdot a_{22}=4\cdot 3=12$$

Dalam kes yang tinggal, kita mempunyai i₁ = 2, i₂ = 1. Nilai ϵ_2,1 ialah −1. Kita memperoleh sebutan kedua:

$$-1\cdot a_{1i_1}\cdot a_{2i_2}=-1\cdot a_{12}\cdot a_{21}=-1\cdot 2\cdot 1=-2$$

Sekarang kita tambahkan keempat-empat kes a) + b) + c) + d) dan memperoleh

$$|A|=0+12-2+0=10.$$

Penentu matriks A ialah sepuluh.

Perhatikan bahawa akhirnya kita mengira penentu matriks sebagai beza

$$|A|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}$$

Rumus ini berlaku secara umum bagi sebarang matriks berperingkat 2 × 2.

Petua Sarrus

Petua Sarrus digunakan untuk mengira penentu matriks berperingkat tiga. Penentu ini lebih rumit sedikit. Mari kita mula mengira, misalnya bagi matriks ini:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\end{array}\right)$$

Sekarang kita teruskan seperti bagi matriks berperingkat dua, tetapi supaya lebih jelas, kita panjangkan matriks ini dengan dua baris lagi — di bawah matriks kita salin dua baris pertamanya:

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 1& 7& -8\\ 0& -2& 7\\ 5& 3& 2\\ 1& 7& -8\end{array}\right)$$

Jadi, baris pertama dan baris keempat matriks ini sama, begitu juga baris kedua dan baris kelima. Sekarang kita tambahkan hasil darab unsur pada pepenjuru utama, lalu tolak hasil tambah hasil darab unsur pada pepenjuru kedua. Selepas penggantian, kita memperoleh:

$$|A|=[5\cdot 7\cdot 7+1\cdot (-2)\cdot 2+0\cdot 3\cdot (-8)]-[2\cdot 7\cdot 0+(-8)\cdot (-2)\cdot 5+7\cdot 3\cdot 1]=140$$

Sifat penentu

• Jika kita mendarab satu baris atau lajur matriks A dengan nombor c ≠ 0, kita memperoleh matriks A', dan penentu kedua-duanya memenuhi: c|A| = |A'|. Jadi, jika anda mendarab satu baris matriks dengan tiga dan mengira penentunya, penentu matriks asal diperoleh dengan membahagi hasil itu dengan tiga.

• Jika kita mendarab baris ke-i dengan suatu nombor dan menambahkannya pada baris ke-j, penentu matriks tidak berubah. Hal yang sama berlaku bagi lajur.

• Jika sekurang-kurangnya satu baris matriks ialah baris sifar, penentu matriks itu ialah sifar.

• Matriks tak singular sentiasa mempunyai penentu bukan sifar, dan matriks singular sentiasa mempunyai penentu sifar.

• Penentu matriks dalam bentuk eselon baris sama dengan hasil darab unsur pada pepenjuru utama.

• Jika kita menukar kedudukan dua baris matriks, tanda penentu berubah.

• |A| = |A^T|

• |A · B| = |A| · |B|

• |A⁻¹| = 1/|A|

Daripada sifat tadi, kita memperoleh kaedah yang agak mudah untuk mengira penentu. Kita hanya perlu mengubah matriks kepada bentuk eselon baris, kemudian mendarab unsur pada pepenjuru utama. Mari kita cuba:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Dengan operasi baris biasa, kita ubah matriks kepada bentuk eselon baris:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 8& 21\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 0& -1& -16\\ 0& 0& -107\end{array}\right)$$

Sekarang kita darabkan unsur pada pepenjuru: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Hitung penentu bagi matriks ini:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right)$$

Pertama sekali, lebih baik kita menukar kedudukan baris pertama dengan baris kedua supaya nombor terkecil berada di atas. Namun, kita tidak boleh lupa menukar tanda:

$$\left|\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 5\\ 2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Seterusnya, lebih mudah jika baris kedua didarab dengan dua supaya penambahan menjadi lebih kemas. Kita tidak boleh lupa mendarab seluruh penentu dengan satu perdua:

$$-\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 3& 2& 1& 5\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|$$

Kemudian kita teruskan seperti biasa:

$$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 6& 4& 2& 10\\ 6& 4& 1& 0\\ 4& -3& 1& 1\end{array}\right|& =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& -17& -14& -18\\ 0& -17& -9& -11\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 4& -3\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}2& 7& 5& 6\\ 0& -17& -13& -8\\ 0& 0& -1& -10\\ 0& 0& 0& -43\end{array}\right|\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-17)\cdot (-1)\cdot (-43)=731\end{array}$$

Kembangan Laplace

Laplace ialah seorang ahli matematik yang mencipta satu lagi algoritma untuk mengira penentu matriks. Untuk memahami resipi ini, kita perlu tahu cara mengira submatriks khas bagi matriks asal. Diberi matriks A, kita perlu membina submatriks dengan membuang satu baris dan satu lajur daripada matriks A. Matriks baharu ini kita tandakan dengan $S_{ij}^A$, yang bermaksud kita telah membuang baris ke-i dan lajur ke-j daripada matriks A. Contoh:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 5& 0\\ -2& 2& 5\end{array}\right)$$

Submatriks $S_{12}^A$ berbentuk seperti berikut:

$$S_{12}^A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -2& 5\end{array}\right)$$

Seterusnya, kita takrifkan konsep minor, iaitu penentu bagi submatriks $S_{ij}^A$ yang telah kita takrifkan. Minor ditandakan dengan cara yang sama, tetapi dengan huruf M, iaitu $M_{ij}^A=|S_{ij}^A|$. Kita juga boleh menyebut minor bagi unsur a_ij, iaitu $M_{ij}^A$.

Dengan minor ini, kita boleh mengira penentu matriks asal. Dalam langkah pertama, kita pilih satu baris (atau lajur) matriks. Kemudian, bagi setiap unsur dalam baris itu, kita kira minornya. Jadi, kita memperoleh minor sebanyak bilangan unsur dalam baris itu. Sekarang penentu matriks asal A berperingkat n × n boleh diungkapkan sebagai hasil tambah berpemberat bagi minor ini:

$$|A|=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot M_{ij}^A$$

dengan i ialah baris yang kita pilih. Jika kita membuat lelaran terhadap pemboleh ubah i, kita menetapkan pemboleh ubah j — indeks lajur.

Dalam amalan, langkahnya begini: anda mempunyai matriks dan ingin mengetahui penentunya. Anda ambil satu lajur (atau baris) matriks, tentukan minor bagi setiap unsur dalam lajur itu, berikan tanda (−1)^{i + j}, kemudian tambahkan semuanya, dengan setiap penentu didarab dengan unsur yang minornya ialah penentu itu. Oleh sebab minor $M_{ij}^A$ didarab dengan unsur a_ij, lebih baik jika unsur itu sifar. Dengan itu, pengiraan berkurang dan kerja anda menjadi lebih ringan. Mari kita cuba mengira penentu matriks ini:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 8\\ 6& 1& 0\\ 2& 3& 9\end{array}\right)$$

Matriks ini mempunyai satu sifar sahaja, jadi sebaik-baiknya kita lakukan kembangan sama ada mengikut baris kedua atau lajur ketiga. Kita pilih baris, misalnya. Dalam langkah pertama, kita keluarkan submatriks:

$$\begin{array}{rcl}{S}_{21}^A& =& \left(\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right)\\ S_{22}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right)\\ S_{23}^A& =& \left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\end{array}$$

Sekarang kita kira penentunya untuk memperoleh minor. Bagi matriks berperingkat dua, hal ini sangat mudah.

$$\begin{array}{rcl}{M}_{21}^A& =& \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|=12\\ M_{22}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|=29\\ M_{23}^A& =& \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|=7\end{array}$$

Sekarang kita boleh menggantikan semuanya ke dalam rumus, dengan i = 2:

$$\begin{array}{rcl}|A|& =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 8\\ 3& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 8\\ 2& 9\end{array}\right|+(-1{)}^{2+3}\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 2& 3\end{array}\right|\cdot 0\\ & =& (-1{)}^{2+1}\cdot 6\cdot 12+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot 29+(-1{)}^{2+3}\cdot 7\cdot 0=-43\end{array}$$

Perhatikan bahawa oleh sebab unsur di hujung baris kedua ialah sifar, sebutan ketiga juga sama dengan sifar. Contoh lain:

Hitung penentu bagi matriks ini dengan kaedah Laplace:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)$$

Lajur ketiga mengandungi gandaan 3 sahaja. Kita boleh memanfaatkan hal ini dengan menjadikan lajur ini sifar untuk memudahkan penggunaan kaedah Laplace kemudian. Jadi, kita tambahkan −2 kali baris pertama pada baris kedua, −3 kali baris pertama pada baris ketiga dan −1 kali pada baris keempat.

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ -8& 2& 0& 3\\ -13& 4& 0& 4\\ -2& 5& 0& 1\end{array}\right)$$

Dengan itu, nilai penentu tidak berubah, tetapi pengiraan menjadi lebih mudah. Kita lakukan kembangan mengikut lajur ketiga, yang hanya mempunyai satu unsur bukan sifar. Jadi, dalam kembangan itu hanya tinggal minor bagi unsur ketiga dalam baris pertama:

$$\left|\begin{array}{cccc}7& 2& 3& 2\\ 6& 6& 6& 7\\ 8& 10& 9& 10\\ 5& 7& 3& 3\end{array}\right|=(-1{)}^{1+3}\cdot 3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right|$$

Dalam lajur ketiga matriks baharu, terdapat 1 di bahagian paling bawah. Kita boleh memanfaatkannya dengan mudah untuk menjadikan lajur ini sifar:

$$\left(\begin{array}{ccc}-8& 2& 3\\ -13& 4& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right)$$

Sekarang kita lakukan kembangan mengikut lajur ketiga. Sekali lagi, lajur itu hanya mempunyai satu unsur bukan sifar:

$$3\left|\begin{array}{ccc}-2& -13& 0\\ -5& -16& 0\\ -2& 5& 1\end{array}\right|=3\cdot ((-1{)}^{3+3}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|)=3\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -13\\ -5& -16\end{array}\right|$$

Penentu ini sudah boleh dikira dengan cara biasa: 3 · (32 − 65) = −99.