Relación de equivalencia

Una relación de equivalencia es una relación binaria en un conjunto que es reflexiva, simétrica y transitiva.

Motivación

La relación de equivalencia representa una especie de refinamiento de la relación de igualdad. Siempre podemos decidir si dos elementos de un conjunto son iguales, es decir, si a = b. Pero a veces nos conviene saber si dos elementos son solo parecidos, no necesariamente iguales. O sea, si tienen en común alguna propiedad esencial. Por ejemplo, podemos considerar que dos libros son parecidos si tienen el mismo género; o, con ayuda de la equivalencia: dos libros son equivalentes si tienen el mismo género.

¿Qué esperaríamos de una equivalencia así? Tomemos otro ejemplo. Dos palabras son parecidas o equivalentes si tienen la misma longitud.

Seguramente esperaríamos que, si medimos el parecido de dos palabras idénticas, resulte que son parecidas. Es decir, para todas las palabras debe cumplirse que son parecidas o equivalentes a sí mismas. En el lenguaje de las relaciones: una relación de equivalencia debe ser reflexiva.

Además, si la palabra «campo» es parecida o equivalente a la palabra «Lucía», seguro que esperamos que la palabra «Lucía» sea también equivalente a la palabra «campo». Dicho de otro modo, el orden no importa. En el lenguaje de las relaciones: una relación de equivalencia debe ser simétrica.

Y, por último, si la palabra «sol» es parecida o equivalente a la palabra «pan» y la palabra «pan» es equivalente a la palabra «pie», esperamos que también las palabras «sol» y «pie» sean equivalentes. Es decir, una relación de equivalencia debe ser también transitiva.

De una equivalencia no esperamos nada más.

Ejemplos

Otros ejemplos de equivalencias:

• Vivir en la misma ciudad. Seguro que Hugo vive en la misma ciudad que Hugo (reflexividad). Si Hugo vive en la misma ciudad que Pablo, entonces Pablo también vive en la misma ciudad que Hugo (simetría). Y si Pablo vive en la misma ciudad que Martín, entonces Hugo también vive en la misma ciudad que Martín (transitividad).
• Canciones del mismo autor. Seguro que la canción «Luna de papel» tiene el mismo autor que la canción «Luna de papel» (reflexividad). Si las canciones «Luna de papel» y «Camino de arena» tienen el mismo autor, entonces «Camino de arena» y «Luna de papel» también tienen el mismo autor (simetría). Y si «Camino de arena» y «Noche en calma» tienen el mismo autor, entonces «Luna de papel» y «Noche en calma» también tienen el mismo autor (transitividad).
• (a, b) ∈ R si y solo si a − b es un número par; a, b son números enteros. Reflexividad: a − a = 0, y cero es un número par. Simetría: designemos c = a − b. Entonces b − a = −(a − b) = −c. Si c es par, también −c debe ser par. Transitividad: designemos p = a − b y también q = b − c. Sabemos que tanto p como q son números pares. Ahora tenemos que demostrar que a − c es un número par. En esta expresión sustituimos c usando c = b − q: a − (b − q), que es igual a a − b + q. Por las hipótesis sabemos que a − b es un número par. Si a un número par le sumamos otro número par q, obtenemos de nuevo un número par.
• La igualdad. La igualdad es una equivalencia, y es además la menor equivalencia en cualquier conjunto M.

Equivalencia trivial

Tenemos un conjunto no vacío M. ¿Cuál es la menor equivalencia posible R en el conjunto M? El menor subconjunto posible del producto cartesiano M × M es el conjunto vacío ∅. ¿Cumple el conjunto vacío las condiciones de una equivalencia?

Desde luego es simétrica: como la relación R no tiene ningún elemento, la condición de simetría se cumple automáticamente y de forma trivial. Igual ocurre con la transitividad. El problema está en la reflexividad. La definición dice que para todos los elementos x del conjunto M se cumple que (x, x) ∈ R. ¿Se cumple esto? El conjunto M es no vacío, así que contiene algún elemento, por ejemplo q. ¿Está el par (q, q) en la relación R? No. La relación R no es, pues, reflexiva.

¿Cuál es la menor relación que cumple la reflexividad? La relación de igualdad. La relación R debe contener como mínimo los pares (x, x) para todos los elementos de M. Que es justamente la relación identidad. ¿Es simétrica esa relación? Es fácil ver que sí. De manera similar, es fácil ver que también es transitiva. La menor relación de equivalencia en el conjunto M es, por tanto, la relación identidad, que designamos id_M y que contiene los pares (x, x) para todos los x ∈ M.

¿Cuál es la mayor equivalencia posible en el conjunto M? El mayor subconjunto es todo el conjunto M × M. ¿Cumple las condiciones de una equivalencia? Es fácil ver, casi de forma trivial, que sí.

Clase de equivalencia

Toda equivalencia divide el conjunto M en un sistema de conjuntos disjuntos, que llamamos clases de equivalencia.

Tomemos el conjunto M de todas las palabras y la equivalencia R «palabras de la misma longitud». Es decir, (a, b) ∈ R si y solo si las palabras a y b tienen la misma longitud. Esta equivalencia divide el conjunto de las palabras en varios conjuntos más pequeños, que siempre contendrán palabras de la misma longitud. Las distintas clases de equivalencia podemos distinguirlas con un subíndice, que distinguirá a la vez la longitud de las palabras de ese conjunto:

• M₁ = {a, y, o, e, …}
• M₂ = {de, en, el, yo, mi, …}
• M₃ = {sol, con, por, mar, …}
• M₄ = {casa, mesa, lobo, vida, …}
• …

Fíjate en dos cosas: 1) los distintos conjuntos son disjuntos entre sí, no tienen ningún elemento común. 2) todos los elementos de cada conjunto son equivalentes entre sí. Todas las palabras del conjunto M₃ son equivalentes entre sí, porque todas tienen longitud tres, es decir, la misma longitud, que es la condición de la equivalencia.

Además, cada elemento define de forma unívoca su clase de equivalencia. Esto se suele escribir con la notación M[x], donde x ∈ M. Si escribiéramos M[sol], definiríamos de forma unívoca la clase de equivalencia que ya hemos designado como M₃.

¿Cómo encontramos la clase de equivalencia si conocemos algún x ∈ M? Recorremos todos los elementos de M y averiguamos cuáles de ellos son equivalentes al elemento x. Todos ellos formarán la clase de equivalencia M[x].

Para M[sol] recorreríamos todas las palabras de M y guardaríamos en M₃ las que tienen longitud tres.

Definición y propiedades de la clase de equivalencia

La clase de equivalencia podríamos definirla así. Tomemos un conjunto M y una equivalencia R definida en él. Entonces, por clase de equivalencia que contiene el elemento x ∈ M entendemos:

$$M[x]=\{y\in M;(x,y)\in R\}$$

La definición dice que son todos los y equivalentes al elemento dado x. Como la relación de equivalencia es reflexiva, de este modo entra también el propio elemento x, porque x es equivalente a sí mismo.

Por partición de la equivalencia entendemos el conjunto de todas las clases de equivalencia. Así, la partición del conjunto de todas las palabras sería el conjunto {M₁, M₂, M₃, …}.

Propiedades básicas de las clases de equivalencia:

• (a, b) ∈ R si y solo si M[a] = M[b]. Si tenemos dos elementos a, b que son equivalentes, sus clases de equivalencia deben ser iguales.
• Al contrario, si no se cumple (a, b) ∈ R, entonces también M[a] ≠ M[b] o, más exactamente, M[a] ∩ M[b] = ∅. Si tenemos dos elementos que no son equivalentes, sus clases de equivalencia son disjuntas.
• La unión de todas las clases de equivalencia debe dar el conjunto original M: M₁ ∪ M₂ ∪ … ∪ M_n = M. (La expresión anterior vale solo para un número finito de clases de equivalencia, pero en general puede haber infinitas.)

Ejemplos de particiones de una equivalencia

Primer ejemplo, números impares y pares:

Tomemos una equivalencia sencilla R definida en los números naturales N. (a, b) ∈ R si y solo si a y b son ambos impares o a y b son ambos pares. Ejemplos de elementos: (1, 7), (13, 9), (4, 6), (8, 136). Vamos a determinar ahora la partición de esta equivalencia en clases de equivalencia.

Empecemos poco a poco. ¿A qué será igual la clase N[1]? Debemos encontrar todos los números equivalentes al número uno. Según la condición de la equivalencia, son todos los números impares, así que N[1] = {1, 3, 5, 7, 9, …}.

¿A qué será igual la clase N[2]? Encontramos todos los números equivalentes al dos. Son todos los números pares: N[2] = {2, 4, 6, 8, 10, …}.

Ahora N[3]. ¿Qué números son equivalentes al tres? Todos los números impares. Con eso obtenemos el conjunto N[1], que ya habíamos calculado dos párrafos más arriba. De manera similar para N[4], donde volvemos a obtener el conjunto de los números pares.

Vemos que, si siguiéramos, se repetirían siempre los mismos conjuntos. Se ve también en que, sea cual sea el número natural n que tomemos, siempre se cumplirá que n ∈ N[1] o n ∈ N[2]. No tenemos más números naturales que los impares y los pares, así que estos dos conjuntos forman la partición de la equivalencia.

Es parecido a imaginar una equivalencia en el conjunto de las personas: a y b son ambos hombres o a y b son ambas mujeres. Entonces obtendríamos como partición el conjunto de las mujeres y el conjunto de los hombres.

Segundo ejemplo, valor absoluto:

Tomemos una equivalencia R en el conjunto de los números enteros Z definida así: (a, b) ∈ R si y solo si |a| = |b|. (Esas barras verticales son el valor absoluto.) De nuevo iremos poco a poco:

• Z[0] = {0}. El cero solo está en relación con el cero.
• Z[1] = {−1, 1}. El uno está en relación con el uno y con el menos uno, porque |1| = |−1|.
• Z[2] = {−2, 2}. El dos está en relación con el dos y con el menos dos.
• Z[3] = {−3, 3}.
• …

Seguramente está claro cómo continuará. La partición completa sería, pues, el conjunto de clases:

$$\{\{a,-a\};a\in {\mathbb{Z}}_0^{+}\}$$

(Es decir, todos los pares a, −a, donde a es un número entero no negativo.) Ves que hay infinitas clases.