Operasi pada hubungan

Oleh sebab hubungan sebenarnya ialah set, kita boleh melakukan operasi set yang biasa padanya.

Operasi set

Dalam artikel sebelum ini, kita telah mentakrifkan hubungan sebagai set. Pada set, kita boleh melakukan operasi seperti kesatuan, persilangan atau beza. Mari kita lihat maksud operasi ini bagi hubungan.

Mula-mula kita perlu menetapkan satu syarat, kerana operasi ini tidak boleh dilakukan antara sebarang hubungan. Jika kita mempunyai hubungan “kurang daripada” dan “menjadi nombor genap”, operasi ini tidak bermakna kerana hubungan pertama binari, manakala hubungan kedua unari. Supaya kita memperoleh hubungan semula selepas menggunakan operasi set, semua hubungan yang terlibat mesti mempunyai ariti yang sama, iaitu semuanya mesti n-ari bagi suatu n.

Kesatuan

Katakan kita mempunyai hubungan “kurang daripada” dan hubungan “sama dengan”. Apakah yang berlaku jika kita menggabungkan kedua-dua hubungan ini dengan kesatuan? Hubungan “kurang daripada” mengandungi semua pasangan (a, b) yang memenuhi a < b. Hubungan “sama dengan” mengandungi semua pasangan (a, b) yang memenuhi a = b. Oleh itu, hubungan < ∪ = mengandungi semua pasangan (a, b) yang memenuhi a < b atau a = b. Nombor a sama ada kurang daripada nombor b atau sama dengannya. Kita sudah mengenal hubungan ini; hubungan ini dipanggil “kurang daripada atau sama dengan” dan ditandakan dengan ≤.

Jika kita mempunyai hubungan R₁ dan R₂, kesatuannya menghasilkan hubungan R = R₁ ∪ R₂ dengan sifat berikut: unsur r berada dalam hubungan R jika unsur itu berada dalam hubungan R₁ atau dalam hubungan R₂. Dengan kata lain, suatu unsur berada dalam hubungan yang diperoleh jika unsur itu berada dalam sekurang-kurangnya satu daripada hubungan yang digabungkan.

Persilangan

Melalui kesatuan, kita memperoleh hubungan baharu yang unsurnya ialah unsur bagi sekurang-kurangnya satu daripada hubungan yang digabungkan. Persilangan pula serupa, tetapi unsurnya mesti tergolong dalam kedua-dua hubungan.

Mari kita ambil semula hubungan “kurang daripada” dan “sama dengan” (pada nombor nyata) dan cari persilangannya. Apakah yang kita peroleh? Kita sepatutnya memperoleh pasangan yang berada dalam hubungan “kurang daripada” dan pada masa yang sama terdiri daripada dua unsur yang sama. Keadaan ini tidak mungkin berlaku, kerana jika a < b, maka a = b tidak pernah benar. Kita memperoleh hubungan kosong.

Katakan kita mempunyai dua hubungan ini: “boleh membahagi tepat” dan hubungan binari yang mengandungi pasangan (a, b), dengan a nombor ganjil dan b nombor genap. Kita bekerja pada nombor asli. Hubungan pertama mengandungi pasangan nombor seperti (5, 15), (6, 30), (3, 123) — nombor kedua mesti sentiasa boleh dibahagi tepat dengan nombor pertama. Hubungan kedua mengandungi pasangan nombor yang nombor pertamanya ganjil dan nombor keduanya genap: (1, 4), (5, 14), (3, 24) dan sebagainya. Persilangan kedua-dua hubungan ini menghasilkan hubungan baharu R yang mengandungi pasangan (a, b) dengan keadaan b boleh dibahagi tepat dengan a, dan pada masa yang sama a nombor ganjil dan b nombor genap. Contohnya: (5, 30) atau (3, 24).

Beza

Jika kita mempunyai dua hubungan R₁ dan R₂, beza R₁ − R₂ menghasilkan hubungan baharu yang mengandungi unsur yang berada dalam R₁ tetapi tiada dalam R₂. Kita boleh kembali kepada hubungan “kurang daripada atau sama dengan” dan “sama dengan”. Jika R₁ ialah hubungan “kurang daripada atau sama dengan” dan R₂ ialah hubungan “sama dengan”, beza R₁ − R₂ memberikan unsur yang berada dalam hubungan “kurang daripada atau sama dengan” tetapi tiada dalam hubungan “sama dengan”. Jadi, kita memperoleh pasangan (a, b) yang memenuhi a ≤ b tetapi tidak memenuhi a = b. Dengan kata lain, kita memperoleh hubungan “kurang daripada”: <.

Pelengkap hubungan

Bagi setiap hubungan, kita boleh mencari pelengkapnya. Unsur pelengkap hubungan R ialah semua unsur yang tidak tergolong dalam hubungan asal R. Contohnya, pelengkap hubungan “sama dengan” (iaitu =) ialah hubungan “tidak sama dengan”. Hubungan pertama mengandungi semua pasangan unsur yang sama (contohnya 5 = 5), manakala pelengkapnya mengandungi semua pasangan nombor yang tidak sama (contohnya 5 ≠ 6).

Satu-satunya perkara yang perlu diberi perhatian semasa menentukan pelengkap hubungan ialah set asas, iaitu set tempat hubungan itu ditakrifkan. Hubungan “sama dengan” boleh ditakrifkan pada nombor asli, integer, nombor nyata, malah pada set semua manusia di bumi.

Jika kita mempunyai hubungan binari R antara set M₁ dengan M₂, iaitu R ⊆ M₁ × M₂, maka pelengkap hubungan itu, katakan S, ialah S = (M₁ × M₂) ∖ R: unsurnya ialah unsur yang berada dalam hasil darab Cartes set asas tetapi tiada dalam hubungan R. Hal yang serupa berlaku bagi hubungan dengan ariti lain.