Hubungan binari pada set

Hubungan binari pada set ialah hubungan binari yang ditakrifkan antara dua set yang sama.

Contoh

Hubungan binari pada set ialah jenis hubungan binari yang khusus, iaitu kedua-dua set asasnya sama. Jadi, hubungan binari pada set ialah hubungan R yang memenuhi R ⊆ M × M.

Hubungan “lebih besar daripada” ialah hubungan binari pada set kerana di kedua-dua belah kita bekerja dengan nombor. Jadi, > ⊆ ℝ × ℝ. Hubungan “bapa — bilangan anak” bukan hubungan binari pada set, kerana bapa dipilih daripada set semua manusia, manakala bilangan anak dipilih daripada suatu set nombor.

Sifat

Hubungan binari R pada set M boleh mempunyai beberapa sifat yang menarik. Kita katakan bahawa hubungan R ialah…

• refleksif jika bagi semua a ∈ M, berlaku (a, a) ∈ R.
• simetri jika bagi semua a, b ∈ M, berlaku: jika (a, b) ∈ R, maka (b, a) ∈ R.
• antisimetri jika bagi semua a, b ∈ M, berlaku: jika (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R, maka a = b.
• transitif jika bagi semua a, b, c ∈ M, berlaku: jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) juga berada dalam R.

Contoh refleksif

Sifat refleksif bermaksud setiap unsur berhubung dengan dirinya sendiri. Contoh yang biasa ialah kesamaan. Jika kesamaan ditakrifkan pada nombor asli, tentu sahaja bagi sebarang unsur a berlaku a = a. Contoh lain ialah kebolehbahagian. Di sini juga nombor a boleh dibahagi tepat dengan dirinya sendiri, jadi pasangan (a, a) berada dalam hubungan kebolehbahagian (7 membahagi 7).

Akan tetapi, hubungan “kurang daripada” tidak refleksif, kerana a < a tidak benar. Hal ini mustahil: 7 tidak boleh kurang daripada 7. Begitu juga hubungan “menjadi bapa kepada anaknya” — saya tidak boleh menjadi bapa kepada diri saya sendiri. Hubungan seperti ini tidak refleksif.

Yang penting, sifat refleksif mesti benar bagi semua unsur; tidak cukup jika kita hanya menemukan beberapa unsur sahaja. Contohnya, hubungan “menyayangi seseorang”. Saya boleh menyayangi orang lain, misalnya pemeriksa tiket, tetapi saya juga boleh menyayangi diri saya sendiri. Tentu ada orang yang menyayangi dirinya sendiri. Namun, tentu ada juga orang yang tidak menyayangi dirinya sendiri. Oleh itu, hubungan ini tidak refleksif — untuk menjadi refleksif, semua orang mesti menyayangi diri sendiri.

Contoh simetri

Bagi hubungan simetri, jika suatu pasangan berada dalam hubungan, maka pasangan songsangnya juga berada dalam hubungan itu. Contohnya, hubungan “menjadi adik-beradik”. Jika Hafiz ialah adik-beradik Aisyah, maka Aisyah juga adik-beradik Hafiz. Antara hubungan nombor, contohnya ialah hubungan “menjadi songsangan tambah”. Maksud saya ialah pasangan seperti 2 dan −2 atau −7 dan 7, iaitu dua nombor yang hasil tambahnya sifar. Hubungan ini simetri kerana tertib tidak penting: (2, −2) dan (−2, 2) tetap songsangan tambah antara satu sama lain dan hasil tambahnya sifar.

Hubungan yang tidak simetri ialah “kurang daripada” (pada nombor nyata). Hubungan ini tidak mempunyai satu pun unsur simetri, kerana a < b dan b < a tidak mungkin benar serentak. Jika 5 < 15, maka 15 < 5 tidak mungkin benar. Hubungan “menjadi bapa kepada anak lelakinya” juga tidak simetri. Anda boleh menjadi bapa kepada anak lelaki anda, tetapi anak itu tidak boleh menjadi bapa kepada bapanya.

Sekali lagi, sifat ini mesti benar dalam semua kes. Jika hubungan “menyayangi seseorang” (pada set semua manusia) hendak menjadi simetri, maka jika saya menyayangi seorang selebriti terkenal, selebriti itu juga mesti menyayangi saya. Oleh sebab dia tidak mengenali saya pun, saya tidak boleh mengatakan bahawa dia menyayangi saya. Sayang sekali, dan hubungan ini tidak simetri. Itu pun sayang juga.

Contoh antisimetri

Contoh klasik hubungan antisimetri ialah “kurang daripada atau sama dengan”. Sifat antisimetri menyatakan bahawa jika unsur (a, b) dan (b, a) kedua-duanya berada dalam hubungan, hal ini hanya mungkin apabila kedua-duanya sama, a = b. Hubungan “kurang daripada atau sama dengan” memenuhi syarat ini. Bilakah a ≤ b dan b ≤ a benar serentak? Hanya apabila a = b. Mari kita gantikan nombor: adakah 3 ≤ 5 dan 5 ≤ 3 benar serentak? Tidak. Tetapi 4 ≤ 4 dan 4 ≤ 4 benar serentak.

Contoh hubungan yang tidak antisimetri ialah pasangan perkataan yang sama panjang, misalnya (sabtu, kapak). Hubungan ini tidak antisimetri kerana kita dapat menemukan pasangan perkataan yang berada dalam hubungan, unsur songsangnya juga berada dalam hubungan, tetapi kedua-dua perkataan itu berbeza. Contohnya unsur (sabtu, kapak) tadi dan songsangannya: (kapak, sabtu). Kedua-duanya jelas berada dalam hubungan kita, tetapi sabtu ≠ kapak, jadi hubungan ini tidak antisimetri.

Contoh transitif

Hubungan “kurang daripada” bersifat transitif. Sifat transitif menyatakan bahawa jika 3 < 4 dan 4 < 5, maka tentu sahaja 3 < 5. Bagi banyak hubungan, sifat ini agak semula jadi. Hal yang sama berlaku bagi contoh perkataan yang sama panjang. Jika pasangan (kapak, sabtu) berada dalam hubungan dan pasangan (sabtu, papan) juga berada dalam hubungan, maka pasangan (kapak, papan) juga berada dalam hubungan itu.

Hubungan “menjadi bapa kepada anak lelaki” tidak transitif. Jika Ahmad ialah bapa kepada Hafiz dan Hafiz ialah bapa kepada Amir, maka Ahmad bukan bapa kepada Amir, tetapi datuknya. Begitu juga hubungan “menyayangi seseorang” tidak transitif. Jika saya menyayangi selebriti itu dan selebriti itu menyayangi suaminya, tidak semestinya saya juga menyayangi suaminya.

Sifat transitif juga dibincangkan bagi dadu permainan biasa. Katakan kita mempunyai hubungan “dadu A lebih baik daripada dadu B” jika dadu A lebih kerap (dengan kebarangkalian yang lebih tinggi) menunjukkan nombor yang lebih besar daripada dadu B. Adakah hubungan ini transitif? Jawapannya terdapat dalam artikel dadu tak transitif.

Kesetaraan dan tertib

Sesetengah jenis hubungan binari yang khusus mempunyai nama sendiri:

• Hubungan kesetaraan ialah hubungan yang refleksif, simetri dan transitif.
• Hubungan tertib ialah hubungan yang refleksif, antisimetri dan transitif.