Kekisi

Kekisi ialah set bertertib yang mempunyai sifat tambahan berikut: bagi setiap dua unsur dalam kekisi itu, mesti wujud supremum dan infimum yang juga tergolong dalam kekisi tersebut.

Set atas dan set bawah

Kita bermula dengan set M yang padanya ditakrifkan suatu tertib ≤. Tertib ini boleh jadi apa-apa sahaja, tetapi mesti memenuhi syarat hubungan tertib.

Seterusnya, kita ambil suatu unsur a daripada set M. Set atas bagi unsur a dalam set M ditakrifkan sebagai semua x ∈ M yang lebih besar daripada atau sama dengan a, iaitu yang memenuhi a ≤ x.

Jika kita mengambil nombor asli sebagai set dan a = 7 sebagai unsur, set atasnya ialah set nombor {7, 8, 9, …}. Pada nombor nyata pula, kita memperoleh selang [7, ∞).

Katakan kita mengambil set M = 2^ℕ — iaitu set kuasa, set semua subset bagi set nombor asli. Jadi, set ini terdiri daripada semua set yang boleh dibina daripada nombor asli. Tertibnya dijana oleh hubungan subset. Jadi, {3, 5} ≤ {3, 4, 5} dan sebagainya.

Set atas bagi set {1, 2, 3, 4} terdiri daripada semua set yang mengandungi unsur 1, 2, 3, 4. Contohnya, set {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} atau {1, 2, 3, 4, 2323, 454645}. Set {1, 2, 3, 4} sendiri juga berada dalam set atas ini.

Set bawah ditakrifkan dengan cara yang serupa — set ini mengandungi unsur yang kurang daripada atau sama dengan unsur a. Bagi a = 7 dan M set nombor asli, kita memperoleh set {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, iaitu nombor asli yang kurang daripada atau sama dengan tujuh.

Bagi set {1, 2, 3, 4}, kita memperoleh semua subset bagi set ini.

Set atas dan set bawah bagi beberapa unsur

Dalam bahagian sebelum ini, kita mentakrifkan set atas dan set bawah bagi satu unsur. Akan tetapi, kita boleh juga mentakrifkannya bagi beberapa unsur. Jika kita mempunyai set M dan unsur a, b, maka set atas sepunya bagi kedua-duanya mengandungi unsur yang lebih besar daripada atau sama dengan kedua-dua unsur a dan b serentak. Dengan kata lain, kita kira set atas bagi setiap unsur, kemudian kita cari persilangannya. Dengan itu, kita memperoleh unsur yang tentu lebih besar daripada a dan juga lebih besar daripada b.

Mari kita kekal dengan nombor asli: a = 3, b = 5. Semua unsur yang lebih besar daripada atau sama dengan a membentuk set {3, 4, 5, 6, …}, manakala bagi b: {5, 6, 7, 8, …}. Sekarang kita cari persilangannya, dan kita memperoleh semula set {5, 6, 7, 8, …}. Jika kita mempunyai set tertib total, cukuplah kita menentukan unsur yang lebih besar antara kedua-dua unsur itu dan mengira set atasnya.

Bagi set, keadaannya tidak semudah itu. Mari kita cuba mengira set bawah bagi set a = {1, 2, 3} dan b = {2, 3, 4}. Set bawah ini terdiri daripada semua set yang merupakan subset bagi a dan juga subset bagi b. Contohnya, adakah set {1, 2, 3} subset bagi a? Ya. Adakah set itu juga subset bagi b? Tidak. Jadi, set ini tidak berada dalam set bawah.

Kita boleh cuba melihat set terbesar yang merupakan subset bagi a dan b. Set itu jelas ialah {2, 3}, iaitu set yang diperoleh daripada persilangan a ∩ b. Set ini berada dalam set bawah, begitu juga semua subsetnya. Hal ini kerana jika, misalnya, ∅ ⊆ {2, 3} dan {2, 3} ⊆ a ∧ {2, 3} ⊆ b, maka tentu sahaja ∅ ⊆ a ∧ ∅ ⊆ b. Hal ini berpunca daripada sifat transitif.

Akhir sekali, kita takrifkan set atas dan set bawah bagi seluruh set, bukan bagi sepasang unsur sahaja. Katakan kita mempunyai set M dan suatu set A ⊆ M yang set atas dan set bawahnya hendak dikira. Maka (H ialah set atas, D ialah set bawah):

$$\begin{array}{rcl}H(A)& =& \{x|\mathrm{\forall }a\in A:x\ge a\}\\ D(A)& =& \{x|\mathrm{\forall }a\in A:x\le a\}\end{array}$$

Supremum dan infimum

Dengan set atas dan set bawah, kita boleh mentakrifkan infimum dan supremum dengan mudah. Jika kita mempunyai set M dan unsur a ∈ M, maka supremum dan infimum bagi unsur a ialah unsur a itu sendiri.

Akan tetapi, jika kita ingin mencari supremum bagi dua unsur a, b dalam M, kita perlu menggunakan cara lain. Supremum bagi unsur a, b, yang ditandakan dengan a ∨ b atau sup(a, b), ialah unsur terkecil dalam set atas bagi unsur a, b. Jadi, kita cari semua unsur yang lebih besar daripada atau sama dengan unsur a, b, dan daripada unsur itu kita ambil unsur yang terkecil. Bukan unsur minimum, tetapi unsur terkecil. Secara umum, unsur terkecil tidak semestinya wujud, jadi supremum juga tidak semestinya wujud.

Jika kita mengira infimum, mula-mula kita cari set bawah bagi kedua-dua unsur, kemudian kita cari unsur terbesarnya.

Contoh: kita sudah tahu bahawa set atas bagi nombor 3 dan 5 ialah set {5, 6, 7, …}. Unsur terkecilnya ialah lima. Jadi, sup(3, 5) = 5.

Kita juga tahu bahawa set bawah bagi set a = {1, 2, 3} dan b = {2, 3, 4} ialah set semua subset bagi set {2, 3}, iaitu set: {2, 3}, {2}, {3}, ∅. Set yang terbesar ialah set {2, 3}. Oleh itu, set ini ialah infimum bagi set a, b. Kita menulis a ∧ b = {2, 3} atau inf(a, b) = {2, 3}.

Takrif kekisi

Kekisi S ialah set bertertib yang bagi setiap dua unsur a, b ∈ S, wujud supremum dan infimum, dan infimum serta supremum ini tergolong dalam set S. Jadi, kita boleh menulis bahawa set bertertib S ialah kekisi jika

$$\mathrm{\forall }a,b\in S:sup(a,b)\in S\text{dan}inf(a,b)\in S$$

Contoh kekisi yang mudah ialah nombor nyata dengan tertib biasa. Dalam kes ini, sup(a, b) = max(a, b) dan inf(a, b) = min(a, b), dan kedua-duanya sentiasa nombor nyata.

Keluarga set dengan tertib mengikut hubungan subset, seperti yang kita perkenalkan tadi, juga merupakan kekisi. Dalam kes ini, sup(a, b) = a ∪ b dan inf(a, b) = a ∩ b. Kedua-duanya juga set dalam keluarga set tersebut.

Jika sebagai keluarga set S kita mengambil semua subset dua unsur bagi set nombor asli (contohnya {1, 2}, {7, 19}, …), maka set ini bukan kekisi. Sebagai contoh, sup({1, 2}, {3, 4}) = {1, 2, 3, 4}, dan set {1, 2, 3, 4} bukan unsur bagi set semua subset dua unsur bagi set nombor asli.