Hubungan

Hubungan dalam matematik ialah padanan bagi konsep “hubungan” dalam kehidupan seharian. Dalam kehidupan biasa, misalnya Puan Lim mempunyai hubungan dengan Mei Ling, iaitu hubungan “ibu — anak perempuan”. Satu lagi hubungan seperti ini ialah “negara — ibu negara bagi negara itu”. Sebagai contoh, kita boleh ambil Mesir — Kaherah.

Contoh hubungan lain

Mari kita lihat beberapa contoh lagi. Dalam pengenalan, kita telah menyebut hubungan “menjadi ibu kepada anak perempuannya” dan “menjadi ibu negara bagi suatu negara”. Contoh lain ialah “menjadi nombor genap”. Dalam hubungan ini terdapat nombor 2, 4, 8, 18, 58, 66 dan banyak lagi. Nombor 1, 3, −7, 19 tidak berada dalam hubungan “menjadi nombor genap”. Satu hubungan daripada dunia seharian ialah “menjadi lelaki”. Ahmad, Raju, Wei Jie atau Hafiz berada dalam hubungan “menjadi lelaki”.

Contoh lain ialah hubungan “kurang daripada”. Contohnya, nombor tiga “kurang daripada” nombor lima. Secara matematik, kita menulisnya sebagai 3<5. Ada juga hubungan kesamaan: nombor tiga “sama dengan” nombor tiga, secara matematik 3 = 3.

Kita juga boleh mempunyai contoh yang lebih rumit: “bapa dan ibu ialah ibu bapa kepada seorang anak”. Dalam hubungan ini terdapat tiga orang: bapa Raju, ibu Kavitha dan anak Muthu. Dalam matematik, kita boleh mencipta hubungan dengan tiga unsur seperti berikut: hasil tambah dua nombor pertama sama dengan nombor ketiga. Contohnya, nombor berikut, mengikut tertib ini, berada dalam hubungan tersebut: 3, 4, 7, kerana 3 + 4 = 7. Nombor berikut pula tidak berada dalam hubungan itu: 3, 5, 12, kerana 3 + 5 ≠ 12.

Ariti hubungan

Ariti ialah istilah yang kedengaran pelik, tetapi maksudnya hanyalah berapa banyak unsur yang terlibat dalam hubungan. Dalam contoh tadi, kita menggunakan bilangan unsur yang berbeza. Bagi hubungan “menjadi lelaki”, satu unsur sudah memadai, jadi kita boleh berkata: “Hafiz ialah lelaki.” Satu nama, iaitu satu unsur, sudah cukup. Hubungan seperti ini dikatakan unari.

Dalam contoh seterusnya, kita mempunyai hubungan “kurang daripada”. Hubungan ini melibatkan dua nombor, iaitu dua unsur. Kita katakan bahawa nombor tiga kurang daripada lima. Kita menggunakan dua unsur, jadi hubungan ini binari.

Dalam contoh terakhir, kita menggunakan tiga unsur: hasil tambah dua nombor mesti sama dengan nombor ketiga. Kita mempunyai nombor a, b, c dan mesti berlaku a + b = c. Hubungan ini dikatakan ternari.

Bagi ariti yang lebih tinggi, kita boleh menggunakan istilah hubungan n-ari. Istilah ini boleh juga digunakan bagi ariti yang lebih rendah; hubungan binari boleh ditulis sebagai hubungan 2-ari. Unsur hubungan ditulis dalam bentuk n-tupel tertib. Bagi hubungan binari, unsurnya ditulis sebagai pasangan, biasanya dalam kurungan. Jadi, jika kita ingin menyatakan bahawa nombor tiga dan lima berada dalam hubungan “kurang daripada”, kita mesti menulis kedua-dua nombor itu sebagai pasangan: (3, 5), atau kadangkala dengan kurungan sudut ⟨ 3, 5⟩. Awas, tertib mesti dijaga kerana sebaliknya tidak benar: (3, 5) ≠ (5, 3) — lima tidak kurang daripada tiga.

Contoh keluarga

Sebelum kita beralih kepada takrif matematik, mari kita cuba satu lagi contoh biasa yang melibatkan keluarga. Katakan sebuah keluarga mempunyai ahli berikut:

• Ismail: datuk sebelah bapa;
• Ahmad: bapa;
• Siti: ibu;
• Aisyah: anak perempuan;
• Hafiz: anak lelaki.

Mula-mula kita cari semua ahli keluarga yang memenuhi hubungan “menjadi lelaki”. Hubungan ini 1-ari, atau unari. Oleh itu, setiap unsur hubungan hanya mengandungi seorang ahli keluarga. Kita perlu menyenaraikan semua ahli keluarga yang lelaki. Di sini tertib tidak penting. Jadi, hubungan “menjadi lelaki” mengandungi unsur berikut: {(Ismail), (Ahmad), (Hafiz)}. Perhatikan bahawa walaupun hubungan ini unari, kita menggunakan kurungan. Kurungan itu tidak wajib; tatatanda ini tetap jelas tanpanya, tetapi saya mengekalkannya supaya konsisten. Kumpulan semua unsur hubungan pula merupakan set biasa, sebab itulah ada kurungan kerinting.

Sekarang kita cari semua pasangan dalam hubungan “bapa — anak lelaki”. Sekali pandang sudah jelas bahawa hubungan ini binari, jadi hasilnya terdiri daripada pasangan tertib. Set yang diperoleh ialah: {(Ahmad, Hafiz), (Ismail, Ahmad)}. Ahmad ialah bapa kepada Hafiz, dan datuk Ismail ialah bapa kepada Ahmad. Perhatikan bahawa tertib benar-benar penting. Ahmad muncul dua kali, sekali di tempat pertama sebagai bapa dan sekali lagi di tempat kedua sebagai anak lelaki.

Mari kita cuba satu lagi hubungan: “ibu bapa — anak”. Kali ini pasangannya lebih banyak kerana di tempat pertama boleh terdapat mana-mana ibu bapa, sama ada bapa atau ibu, dan di tempat kedua boleh terdapat mana-mana anak, sama ada anak lelaki atau anak perempuan. Kita juga perlu ingat bahawa datuk Ismail ialah bapa kepada Ahmad, tetapi bukan bapa kepada Siti. Ahmad dan Siti pula kedua-duanya ibu bapa kepada Aisyah dan Hafiz. Aisyah dan Hafiz belum menjadi ibu bapa kepada sesiapa kerana mereka baru berumur sembilan belas dan tiga belas tahun. Hasilnya terdiri daripada pasangan tertib berikut: {(Ismail, Ahmad), (Ahmad, Aisyah), (Ahmad, Hafiz), (Siti, Aisyah), (Siti, Hafiz)}. Perhatikan bahawa Ahmad dan Siti masing-masing muncul dua kali — sekali sebagai ibu bapa kepada Aisyah dan sekali lagi sebagai ibu bapa kepada Hafiz.

Satu lagi perangkap bagi hubungan binari. Katakan kita mempunyai hubungan “adik-beradik — adik-beradik”. Di sini kita perlu sedar bahawa tertib penting dalam hubungan. Jika kita menulis hanya “Aisyah — Hafiz” sebagai hasil hubungan ini, jawapan itu salah, kerana pasangan tertib tersebut berbeza sama sekali daripada “Hafiz — Aisyah”. Oleh itu, jawapan yang betul ialah: {(Aisyah, Hafiz), (Hafiz, Aisyah)}.

Akhir sekali, satu contoh ringkas bagi hubungan ternari: Tulis semua tigaan tertib bagi hubungan “datuk — bapa — anak”. Dalam soalan ini hanya ada seorang datuk dan seorang bapa, tetapi dua orang anak. Tidak cukup jika kita menulis tigaan dengan Aisyah sahaja atau dengan Hafiz sahaja; kedua-duanya mesti disenaraikan. Keadaannya berbeza jika di hujung hubungan tertulis “anak lelaki” dan bukan “anak”. Jawapan yang betul ialah: {(Ismail, Ahmad, Aisyah), (Ismail, Ahmad, Hafiz)}.

Takrif hubungan unari

Mari kita teliti hubungan yang paling mudah, iaitu hubungan unari. Hubungan unari ialah suatu set unsur. Set {2, 3} boleh mewakili suatu hubungan, contohnya hubungan “menjadi nombor perdana yang kurang daripada lima” atau “menjadi faktor tak remeh bagi nombor enam”, bergantung pada tafsiran kita.

Pembaca yang lebih teliti tentu perasan bahawa hubungan kedua ditakrifkan dengan agak pelik. Hubungan itu sepatutnya mengandungi faktor tak remeh bagi nombor enam, dan dalam set yang diperoleh terdapat nombor 2 dan 3. Adakah ada nombor yang tertinggal? Nombor 1 dan 6 ialah faktor remeh, jadi kita tidak mengambil kira nombor itu. Akan tetapi, nombor negatif −2 dan −3 sepatutnya ada juga. Set semua faktor tak remeh bagi nombor 6 ialah: {−3, −2, 2, 3}.

Sebagaimana kita menentukan domain bagi fungsi, bagi hubungan pula kita menentukan set asas, iaitu set yang daripadanya unsur hubungan dipilih. Dalam contoh tadi, misalnya, kita menentukan sebuah keluarga yang mempunyai datuk Ismail dan sebagainya. Kita tidak memilih bapa dan anak daripada semua keluarga di dunia. Jika kita menetapkan set nombor asli sebagai set asas, maka hubungan kita betul.

Sekarang kita boleh mula mentakrifkan hubungan. Jika set asas ialah set nombor asli, apakah unsur yang boleh terkandung dalam hubungan unari kita? Hanya nombor asli juga, sama ada semuanya atau sebahagian daripadanya. Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa hubungan tersebut ialah subset bagi set nombor asli. Secara lebih umum, jika kita mempunyai hubungan unari R dan set asas M, maka R ⊆ M, iaitu hubungan R ialah subset bagi set M.

Takrif hubungan binari

Bagaimanakah pula hubungan binari? Bagi hubungan binari, unsur hubungan R ialah pasangan tertib. Setiap unsur pasangan boleh datang daripada set yang berbeza. Contohnya, kita boleh mempunyai hubungan “ibu bapa — bilangan anak”. Ibu bapa dipilih daripada suatu set manusia, misalnya penduduk Malaysia, dan bilangan anak dipilih daripada set nombor asli berserta sifar.

Bagaimanakah kita memperoleh set semua pasangan yang mungkin daripada dua set? Dengan hasil darab Cartes. Jika kita mempunyai set A = {a, b, c}, B = {1, 2}, maka hasil darab Cartes memberikan:

$$A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}$$

Inilah set semua pasangan yang mungkin, dengan unsur di tempat pertama datang daripada set A dan unsur di tempat kedua datang daripada set B. Jadi, jika kita mempunyai hubungan binari R antara set A dengan set B, hubungan ini boleh ditakrifkan sebagai R ⊆ A × B.

Jika kita mengekalkan set A dan B tadi dan mentakrifkan hubungan R antara kedua-dua set ini sebagai “huruf — kedudukan huruf dalam abjad”, maka hubungan itu ialah: R = {(a, 1), (b, 2)}. Huruf c tidak termasuk kerana pasangan (c, 3) tiada dalam hasil darab Cartes A × B.

Takrif hubungan n-ari

Akhir sekali, kita takrifkan hubungan n-ari R yang umum antara set M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

Jadi, hubungan ialah subset bagi suatu set n-tupel tertib. Contoh hubungan binari ialah hubungan “kurang daripada”, iaitu <. Hubungan ini boleh ditakrifkan pada suatu set nombor, misalnya pada nombor asli. Hubungan itu ditulis seperti berikut:

$$<\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}$$

(Jangan terkejut dengan simbol < yang terletak dengan pelik di sebelah kiri. Simbol itu hanyalah nama hubungan. Kita boleh juga menulis R di situ, dengan R mewakili hubungan “kurang daripada”.)

Secara konkrit, hubungan itu kelihatan seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\dots \\ & & (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\dots \\ & & (3,4),(3,5),(3,6),(3,7),\dots \\ & & (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

Hubungan ini ialah set pasangan tertib dengan keadaan nombor asli di tempat pertama kurang daripada nombor asli di tempat kedua.

Tatatanda hubungan

Hubungan biasanya dinamakan dengan huruf besar R, S dan sebagainya, atau dengan simbol yang lazim: <, ⊆, = dan sebagainya. Daripada takrif tadi, jelas bahawa hubungan sebenarnya ialah set. Lagipun, hampir segala-galanya dalam matematik sebenarnya set :-). Oleh itu, jika kita ingin menyatakan bahawa unsur r tergolong dalam hubungan R, kita boleh menulis r ∈ R.

Contohnya, kita boleh menulis (1, 3) ∈ <, yang bermaksud pasangan nombor satu dan tiga tergolong dalam hubungan “kurang daripada”. Bagi hubungan binari, kita sering menggunakan tatatanda yang lebih mudah, yang sudah anda kenal sejak sekolah rendah. Daripada menggunakan simbol keahlian ∈, kita hanya menulis 1 < 3. Begitu juga, kita biasanya tidak menulis (5, 5) ∈ =, tetapi 5 = 5.