✖

Medan

Untuk memahami huraian berikut, anda tidak memerlukan sebarang kemahiran atau pengetahuan matematik yang khusus. Cukuplah anda memahami asas matematik sekolah menengah dan berminat untuk mempelajari sesuatu yang baharu.

Momok bernama medan algebra

Jika nama “medan algebra” sahaja sudah menakutkan anda, ketahuilah bahawa tiada apa-apa yang perlu ditakuti. Sebenarnya, medan ialah sesuatu yang sangat mudah jika dilihat dari sudut yang betul.

Medan algebra ialah sebarang set bersama dua operasi binari yang memenuhi syarat tertentu. Itu sahaja. Tidak lebih dan tidak kurang. Seperti yang anda lihat, tiada apa-apa yang berbahaya atau menyeramkan. Setelah mengetahui perkara ini, kita boleh melihatnya dengan lebih dekat tanpa rasa takut.

Set unsur medan

Kita tandakan set sebarang ini dengan T, dan unsurnya kita panggil unsur medan. Percayalah, set unsur medan boleh jadi apa-apa sahaja. Set itu boleh jadi set semua nombor genap, set semua stoking yang sudah kehilangan pasangannya, atau koleksi gajah mainan anda. Mungkin satu-satunya syarat ialah set T tidak boleh kosong. Jika kosong, tidak banyak yang menarik boleh kita lakukan dengannya.

Operasi binari

Jika anda belum jelas apakah sebenarnya operasi binari, bayangkan sebuah pengisar kecil. Anda masukkan dua unsur daripada suatu set (sebab itulah perkataan “binari” dalam namanya), anda putar engkolnya sedikit, lalu keluarlah satu unsur lain daripada set anda. Contoh operasi binari yang baik ialah pembahagian. Anda ingin tahu berapakah 10 / 5? Ambil operasi binari pembahagian (pengisar itu), dengan set anda ialah set nombor nyata. Masukkan dahulu 10, kemudian 5, putar engkolnya dan, ajaibnya, keluarlah 2.

Kedua-dua operasi kita namakan penambahan dan pendaraban, lalu kita tandakan dengan ⊕ dan ⊗. Jangan terkeliru dengan namanya. Operasi ini tidak semestinya banyak persamaan dengan penambahan dan pendaraban yang biasa kita gunakan. Hal ini kerana unsur medan boleh jadi sebarang objek. Penambahan dan pendaraban biasa memang tidak boleh digunakan pada gajah mainan atau stoking.

Operasi pada medan

Operasi ⊕ dan ⊗ mesti memenuhi syarat tertentu. Kita tidak boleh mentakrifkannya sesuka hati. Tujuan operasi ini adalah untuk mengitlakkan penambahan dan pendaraban biasa yang kita gunakan pada nombor. Kita mahu operasi ini dapat ditakrifkan supaya boleh digunakan pada unsur medan, yang seperti kita ketahui boleh jadi sebarang objek, bukan nombor sahaja. Walau bagaimanapun, kita mahu operasi ⊕ dan ⊗ mengekalkan makna asas penambahan dan pendaraban. Untuk itu, kita tetapkan sepuluh syarat yang mesti dipenuhi oleh operasi ini supaya struktur kita menjadi medan. Syarat ini kita panggil aksiom medan. Aksiom tersebut ialah:

  1. Hukum kalis tukar tertib bagi penambahan — Bagi sebarang dua unsur a, b dalam medan T, mesti berlaku a ⊕ b = b ⊕ a.
  • Hukum kalis sekutuan bagi penambahan — Bagi sebarang tiga unsur a, b, c dalam medan T, mesti berlaku (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
  • Kewujudan unsur sifar — Mesti wujud satu unsur dalam medan T, kita tandakan dengan 0 (awas, jangan keliru dengan nombor 0), yang mempunyai sifat bahawa bagi sebarang unsur a dalam medan T, berlaku a ⊕ 0 = a.
  • Kewujudan unsur songsangan tambah — Bagi setiap unsur a dalam medan T, mesti wujud satu unsur dalam medan T, kita tandakan dengan -a, yang mempunyai sifat a ⊕ −a = 0.
  • Hukum kalis tukar tertib bagi pendaraban — Bagi sebarang dua unsur a, b dalam medan T, mesti berlaku a ⊗ b = b ⊗ a.
  • Hukum kalis sekutuan bagi pendaraban — Bagi sebarang tiga unsur a, b, c dalam medan T, mesti berlaku (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
  • Kewujudan unsur identiti - Mesti wujud satu unsur dalam medan T, kita tandakan dengan 1 (awas, jangan keliru dengan nombor 1), yang mempunyai sifat bahawa bagi sebarang unsur a dalam medan T, berlaku a ⊗ 1 = a.
  • Kewujudan unsur songsang — Bagi setiap unsur a dalam medan T yang tidak sama dengan 0, mesti wujud satu unsur dalam medan T, kita tandakan dengan a−1, yang mempunyai sifat a ⊗ a−1 = 1.
  • Hukum kalis agihan - Bagi sebarang tiga unsur a, b, c dalam medan T, mesti berlaku a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
  • Ketaktremehan — Unsur sifar dan unsur identiti tidak boleh merupakan unsur yang sama. Jadi, 0 ≠ 1

Bagi sesiapa yang ingin berlatih menggunakan tatatanda matematik formal, berikut ialah aksiom medan seperti yang lazim ditulis dalam bahasa matematik.

  1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
  • ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
  • ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
  • ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
  • ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
  • ∀a ∈ T   ∃a−1 ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a−1 = 1
  • ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
  • 0 ≠ 1

Mungkin sekarang anda berfikir bahawa aksiom ini terlalu banyak. Namun, semuanya mudah difahami apabila kita sedar akan maknanya. Empat aksiom pertama menghuraikan sifat biasa penambahan, manakala empat aksiom berikutnya menghuraikan sifat biasa pendaraban, yang sangat serupa dengan empat aksiom pertama. Aksiom kesembilan menyatakan hubungan antara penambahan dengan pendaraban. Hanya aksiom kesepuluh yang lebih bersifat teknikal; aksiom ini memastikan medan itu tidak mempunyai sifat yang pelik.

Perhatikan bahawa kita langsung tidak perlu mentakrifkan penolakan dan pembahagian. Kedua-dua operasi ini ditakrifkan melalui penambahan unsur songsangan tambah dan pendaraban dengan unsur songsang. Contohnya, 4 − 2 hanyalah singkatan bagi 4 + (−2), dan 4 / 2 hanyalah singkatan bagi 4 · 2−1.

Gambaran umum medan

Kini konsep medan algebra telah ditakrifkan secara formal. Jika kita ingin menyatakan secara intuitif apakah sebenarnya medan, kita boleh mengatakan bahawa medan ialah suatu struktur yang membolehkan kita menambah, menolak, mendarab dan membahagi sebarang objek yang padanya operasi ini dapat ditakrifkan, dengan cara yang serupa dengan cara kita melakukan operasi ini dalam aritmetik asas.

Medan pertama kita

Setelah medan diperkenalkan dan dihuraikan, marilah kita membina sebuah medan yang sebenar. Mula-mula kita pilih set unsur medan. Buat masa ini, kita tidak akan bereksperimen dengan gajah mainan atau stoking; sebagai unsur medan kita pilih nombor bulat. Supaya semuanya benar-benar mudah, kita ambil nombor 0, 1, 2, 3, 4 sahaja. Jadi, set T kita ialah:

T={0,1,2,3,4}

Sekarang kita hanya perlu mentakrifkan operasi ⊕ dan ⊗ dengan bijak. Untuk itu, kita gunakan penambahan dan pendaraban yang sudah kita kenal daripada aritmetik. Kita ubah suai operasi ini sedikit supaya dapat digunakan juga dalam medan kita.

  • Operasi ⊕ Hasil tambah dua unsur a ⊕ b diperoleh dengan mengira baki apabila hasil tambah a + b dibahagi dengan lima. Jadi, penambahan dalam medan kita kelihatan seperti berikut: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 dan sebagainya.
  • Operasi ⊗ Hasil darab dua unsur a ⊗ b diperoleh dengan mengira baki apabila hasil darab ab dibahagi dengan lima. Jadi, pendaraban dalam medan kita kelihatan seperti berikut: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    dan sebagainya.

Siap. Kini kita sudah mempunyai sebuah medan yang lengkap. Namun, kita masih perlu menyemak bahawa semua aksiom dipenuhi, supaya kita pasti bahawa yang kita bina benar-benar sebuah medan dan bukan sesuatu yang cacat.

  • Hukum kalis tukar tertib dan hukum kalis sekutuan bagi penambahan dan pendaraban tentu boleh anda semak sendiri, begitu juga hukum kalis agihan.
  • Daripada cara kita mentakrifkan penambahan dan pendaraban, jelas juga bahawa wujud unsur sifar (dalam kes kita, kebetulan unsur itu ialah nombor 0) dan unsur identiti (dalam kes kita, 1), dan kedua-duanya berbeza.
  • Jadi, kita hanya perlu menyemak kewujudan unsur songsangan tambah dan unsur songsang. Tentu kita semua dapat melihat bahawa bagi setiap nombor dalam set {0, 1, 2, 3, 4}, terdapat nombor dalam set yang sama dengan keadaan hasil tambah kedua-duanya ialah sifar atau lima (iaitu 0 dalam medan kita).
  • Hal yang serupa berlaku bagi pendaraban: bagi setiap nombor bukan sifar dalam set ini, terdapat nombor yang hasil darabnya dengan nombor itu memberikan baki 1 apabila dibahagi dengan lima (iaitu 1 dalam medan kita). Contohnya, unsur songsang bagi nombor 4 ialah 4, kerana 4 · 4 = 16 dan apabila dibahagi dengan 5, bakinya 1. Cuba cari unsur songsang yang lain!

Contoh medan lain

Sebentar tadi kita membina sebuah medan yang mempunyai lima unsur. Ternyata dengan cara yang sama kita boleh membina medan lain yang bilangan unsurnya ialah nombor perdana. Medan seperti ini dipanggil medan integer modulo p dan ditandakan dengan Zp, dengan p ialah bilangan unsur medan. Medan ini sangat kerap digunakan dalam matematik dan sains komputer, dan tentu sahaja dalam pelbagai soalan ujian.

Bolehkah kita membina medan yang bilangan unsurnya bukan nombor perdana? Boleh, tetapi tidak dengan cara yang saya tunjukkan tadi. Mengapa? Bayangkan sebuah medan yang dibina dengan cara di atas tetapi hanya mempunyai empat unsur. Dalam medan seperti itu, 2 ⊗ 2 = 0. Jadi, hasil darab dua nombor bukan sifar ialah sifar. Hal ini tidak boleh berlaku dalam medan. Perkara ini memang tidak dilarang secara langsung oleh aksiom medan, tetapi agak mudah dibuktikan daripada aksiom tersebut. Namun, ternyata jika kita menggunakan polinomial dan bukan nombor sebagai unsur medan, kita boleh membina medan yang bilangan unsurnya ialah kuasa bagi suatu nombor perdana. Jadi, medan dengan empat unsur memang wujud, kerana 4 ialah kuasa bagi 2.

Tentu sahaja medan dengan bilangan unsur yang tak terhingga juga wujud. Contohnya, set nombor nyata bersama operasi penambahan dan pendaraban biasa juga membentuk medan. Hal ini benar bukan sahaja bagi nombor nyata, tetapi juga bagi nombor nisbah dan nombor kompleks. Nombor asli dan integer tidak membentuk medan kerana tiada unsur songsangan tambah (bagi nombor asli) atau unsur songsang (bagi integer).

Perkara yang paling menarik saya simpan untuk bahagian akhir. Tiada sesiapa yang menetapkan bahawa medan mesti terdiri daripada nombor, polinomial atau objek matematik. Seperti yang saya katakan tadi, anda boleh membina medan stoking, gajah mainan dan sebagainya. Satu-satunya masalah mungkin ialah cara mentakrifkan penambahan dan pendaraban gajah. Yang menariknya, anda tidak akan pernah berjaya membina medan yang mengandungi enam stoking, kerana 6 bukan nombor perdana dan bukan juga kuasa bagi nombor perdana. Akan tetapi, anda boleh membina medan yang mengandungi tujuh belas stoking, menomborkan setiap stoking (stoking putih ialah 0, stoking hitam 1, stoking hijau 2 dan seterusnya), lalu menambahnya dengan cara yang sama seperti kita menambah dalam medan integer modulo p.

Apakah gunanya semua ini?

Jika anda membaca sehingga ke sini, mungkin anda tertanya-tanya: untuk apakah kita memerlukan struktur yang aneh seperti medan algebra? Sebenarnya, medan sangat penting. Dari segi teori, medan menghuraikan dan terutamanya mengitlakkan apa yang boleh dipanggil pengiraan, iaitu aritmetik. Dari segi praktikal pula, banyak masalah matematik atau sains komputer lebih mudah diselesaikan jika kita melihatnya sebagai pengiraan dalam medan. Contohnya, medan terhingga sangat penting bagi kod pada cakera CD atau DVD. Dalam algebra linear sendiri, medan ialah batu asas bagi struktur lain yang lebih rumit dan oleh itu jauh lebih berguna dan menarik, misalnya ruang vektor. Ruang vektor pula boleh dikatakan menjadi asas seluruh algebra linear.

Artikel ini ditulis oleh Lishaak.