Hubungan binari

Hubungan binari ialah jenis hubungan khusus yang aritinya dua. Antara hubungan binari yang biasa termasuklah “kurang daripada”, “sama dengan”, kebolehbahagian, “lebih besar daripada” dan sebagainya.

Contoh

Hubungan binari ialah salah satu jenis hubungan yang lazim dan kerap ditemui. Hubungan ini juga mempunyai beberapa sifat menarik yang akan kita huraikan di sini.

Contoh hubungan binari ialah hubungan “bapa — anak lelaki”, pasangan “kenderaan — bilangan roda” atau yang lebih umum “objek — sifat objek”. Objek itu boleh jadi seekor haiwan, dan sifatnya pula bilangan kaki, min jangka hayat, bilangan helai rambut di kepala dan sebagainya.

Hubungan binari R antara set M₁ dengan set M₂ boleh ditakrifkan seperti berikut: R ⊆ M₁ × M₂. Jadi, hubungan binari ialah set pasangan, dan set ini ialah subset bagi hasil darab Cartes dua set yang antaranya hubungan itu ditakrifkan. Oleh itu, hubungan “bapa — anak lelaki” boleh jadi hubungan antara set semua manusia, antara set semua penduduk Asia atau penduduk Kuala Lumpur. Set itu boleh juga dihadkan dengan cara lain; kita boleh menyatakan bahawa hubungan ini ditakrifkan pada set semua lelaki, bukan manusia secara umum.

Bagi hubungan binari, kita biasanya menggunakan tatatanda khusus. Daripada menulis (a, b) ∈ R, kita boleh menulis aRb. Contohnya, daripada (3, 1) ∈ >, kita boleh menulis 3 > 1. Begitu juga bagi hubungan yang lain. Jadi, tatatanda aSb setara dengan tatatanda (a, b) ∈ S.

Hubungan songsang

Hubungan songsang ialah hubungan yang bertentangan dengan hubungan asal. (Awas, jangan keliru dengan pelengkap hubungan.) Apakah hubungan yang bertentangan dengan hubungan “kurang daripada”? Hubungan “lebih besar daripada”. Jika hubungan “kurang daripada” mengandungi unsur (4, 7), iaitu 4 < 7, maka unsur songsangnya bertentangan: 7 > 4, dan hubungan songsang mengandungi pasangan songsang (7, 4).

Jika kita mempunyai hubungan R ⊆ M₁ × M₂, hubungan songsang R⁻¹ dibina dengan mengambil semua unsur (a, b) ∈ R dan memasukkan songsangannya ke dalam R⁻¹. Jadi, jika hubungan R mengandungi unsur (a, b), maka hubungan R⁻¹ mesti mengandungi unsur (b, a). Sebaliknya juga benar: jika R⁻¹ mengandungi unsur (b, a), maka hubungan R mesti mengandungi unsur (a, b).

Secara formal, hubungan R⁻¹ ialah songsangan bagi R jika dan hanya jika:

$$\mathrm{\forall }a\in M_1\mathrm{\forall }b\in M_2:(a,b)\in R\iff (b,a)\in R^{-1}$$

Oleh itu, 6 < 8 jika dan hanya jika 8 > 6. Begitu juga bagi pasangan yang lain.

Gubahan hubungan

Hubungan binari boleh digubah antara satu sama lain. Katakan kita mempunyai dua hubungan. Hubungan pertama, R, ialah “menjadi bapa kepada anak lelakinya”, dan hubungan kedua, S, ialah “menjadi abang kepada adik perempuannya”. Jadi, hubungan R mengandungi pasangan (bapa, anak), manakala hubungan kedua mengandungi pasangan (abang, adik).

Sekarang kita cuba menggubah kedua-dua hubungan ini. Kita memperoleh hubungan baharu, yang kita tandakan dengan R ∘ S. Hubungan ini mengandungi unsur (a, c) jika dan hanya jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ S. Perhatikan bahawa b muncul dalam kedua-dua unsur, sekali di tempat kedua dan sekali di tempat pertama pasangan. Unsur inilah yang menyambungkan kedua-dua hubungan dalam gubahan.

Contoh: R = {(Ahmad, Hafiz), (Raju, Muthu)} dan S = {(Hafiz, Aisyah), (Hafiz, Farah), (Muthu, Devi)}. Ahmad ialah bapa kepada Hafiz, dan Raju ialah bapa kepada Muthu. Hafiz mempunyai adik perempuan Aisyah dan Farah, manakala Muthu mempunyai adik perempuan Devi.

Sekarang kita gubah hubungan ini: R ∘ S. Kita mencari pasangan dalam R yang di tempat anak lelakinya terdapat seseorang yang disenaraikan sebagai abang dalam hubungan S. Contohnya dua pasangan ini: (Ahmad, Hafiz) dan (Hafiz, Aisyah). Hafiz ialah unsur penyambung; kita tidak memerlukannya lagi, dan daripada dua nama yang tinggal kita bentuk pasangan baharu: (Ahmad, Aisyah). Jadi, hubungan R ∘ S mengandungi pasangan (Ahmad, Aisyah). Hafiz mempunyai seorang lagi adik perempuan, Farah, jadi kita tambahkan juga pasangan berikut ke dalam hubungan gubahan: (Ahmad, Farah). Akhir sekali, tinggal anak lelaki Muthu. Muthu mempunyai adik perempuan Devi. Jadi, kita mempunyai dua pasangan: (Raju, Muthu) dan (Muthu, Devi). Daripada kedua-duanya kita bentuk unsur yang seterusnya: (Raju, Devi).

Hasilnya ialah hubungan: R ∘ S = {(Ahmad, Aisyah), (Ahmad, Farah), (Raju, Devi)}. Apakah nama yang sesuai bagi hubungan ini? Mungkin “menjadi bapa kepada anak perempuannya”.

Sekali lagi, takrif lengkapnya ialah:

$$(a,c)\in (R\circ S)\iff \mathrm{\exists }b(a,b)\in R\wedge (b,c)\in S$$

Catatan: kadangkala tatatanda yang terbalik digunakan, iaitu bagi takrif yang sama ditulis S ∘ R dan bukan R ∘ S.