Pangkat matriks

Pangkat matriks ialah nombor yang menyatakan bilangan baris atau lajur yang tak bersandar dalam matriks itu.

Takrif

Pangkat matriks ialah bilangan maksimum baris atau lajur yang tak bersandar linear dalam matriks itu. Matriks sifar mempunyai pangkat sifar, manakala setiap matriks lain mempunyai pangkat sekurang-kurangnya satu. Matriks berperingkat m × n boleh mempunyai pangkat paling besar min(m, n). Jadi, jika bilangan baris matriks kurang daripada bilangan lajurnya, pangkat matriks itu paling banyak sama dengan bilangan baris. Hal yang sama berlaku bagi lajur.

Pangkat matriks biasanya ditandakan dengan perkataan bahasa Inggeris “rank”. Kita menulis rank(A) = x.

Cara mengira pangkat

Sekarang mari kita lihat cara mengira pangkat matriks. Caranya agak mudah. Anda perlu mengubah matriks kepada bentuk yang dengan jelas menunjukkan baris yang tak bersandar linear. Biasanya hal ini dilakukan dengan mengubah matriks kepada bentuk eselon baris (semua unsur di bawah pepenjuru ialah sifar), dan kemudian keadaan matriks itu dapat dilihat dengan jelas. Mari terus kepada contoh — kita mempunyai matriks ini:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Kita perlu menentukan pangkatnya. Pertama, kita perlu menyedari satu perkara kecil. Jika kita mempunyai dua baris yang semua unsurnya bukan sifar, secara teori kedua-dua baris itu mungkin bersandar linear. Kita perlu mengiranya untuk mengetahuinya. Akan tetapi, jika salah satu baris mempunyai sifar pada suatu kedudukan, sedangkan baris yang satu lagi tidak mempunyai sifar pada kedudukan yang sama, kita boleh mengatakan dengan pasti bahawa kedua-duanya tidak bersandar. Hal ini kerana tiada nombor yang boleh didarab dengan sifar itu (atau dengan seluruh baris) untuk memperoleh nombor yang terdapat dalam baris yang satu lagi. Oleh itu, kita sentiasa cuba mengubah matriks kepada bentuk eselon baris supaya sifar tersebut muncul.

Perenggan tadi boleh ditulis seperti berikut. Jika α₁, α₂ ≠ 0, maka:

$${\alpha }_1\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+{\alpha }_2\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{ccc}0& a& b\end{array}\right)$$

Oleh sebab itu, kita cuba mengubah matriks kepada bentuk yang serupa supaya kebersandaran dapat dilihat dengan mudah. Lihat contoh ini:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& -5& 1\\ 0& 7& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

Matriks ini berada dalam bentuk eselon baris, dan tiada baris yang bersandar linear. Anda tidak dapat mengungkapkan baris ketiga dengan dua baris pertama, kerana jika pekali alfa bukan sifar, pasti akan ada nombor bukan sifar di kedudukan awal.

Langkah yang biasa dilakukan adalah seperti berikut: mula-mula kita peroleh sifar dalam lajur pertama (kecuali pada baris pertama). Kemudian kita ubah matriks itu supaya kita memperoleh sifar dalam lajur kedua, kemudian lajur ketiga dan seterusnya, sehingga akhirnya kita memperoleh bentuk eselon baris. Kita kira baris bukan sifar, dan siaplah, kita memperoleh pangkat matriks. Operasi berikut boleh digunakan tanpa mengubah pangkat matriks:

• Menukar kedudukan sebarang dua baris.
• Mendarab satu baris dengan sebarang ungkapan bukan sifar.
• Menambah satu baris pada baris yang lain.
• Semua operasi tadi boleh juga digunakan pada lajur.

Contoh

Dalam matriks tadi, kita lakukan operasi seperti berikut. Kita lihat hubungan antara unsur a₁₁ dengan a₂₁. Kedua-duanya sama, jadi untuk memperoleh sifar pada kedudukan a₂₁, kita perlu menambah −1 kali baris pertama. Kita tambahkan −1 kali baris pertama pada baris kedua (iaitu kita tolak baris pertama daripada baris kedua):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Sekarang kita mempunyai sifar di tempat yang dikehendaki. Seterusnya, kita perlu memperoleh sifar pada kedudukan a₃₁. Di situ juga terdapat 1, jadi kita hanya perlu menolak baris pertama:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

Sekarang lajur pertama sudah mengandungi sifar, jadi kita teruskan dengan lajur kedua. Kita lihat bahawa nombor a₂₂ dan a₃₂ ialah songsangan tambah antara satu sama lain, jadi kita hanya perlu menambah kedua-dua baris itu:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Kita memperoleh satu baris sifar. Operasi sudah selesai, dan kita telah memperoleh bentuk eselon baris. Sekarang kita hanya perlu mengira baris bukan sifar untuk memperoleh pangkat, iaitu rank A = 2. Pangkat matriks ini ialah dua.

Contoh kedua

Sekarang kita cuba mengira pangkat bagi matriks yang lebih besar:

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 5& 1\\ 1& 3& 5& -7\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Pangkat matriks ialah bilangan maksimum baris yang tak bersandar linear, jadi kita bebas menyusun semula baris matriks mengikut kehendak kita. Di sini, lebih mudah jika baris yang bermula dengan 1 berada di bahagian paling atas supaya pengiraan lebih senang. Jadi, kita boleh menukar kedudukan baris pertama dengan baris kedua tanpa bimbang:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 7& 2& 5& 1\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Sekarang kita teruskan seperti dalam contoh sebelum ini. Lajur pertama mesti mengandungi sifar sahaja (kecuali pada baris pertama), jadi kita tambahkan −7 kali baris pertama pada baris kedua, −4 kali pada baris ketiga dan −2 kali pada baris terakhir. Baris pertama tidak berubah:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& -19& -30& 50\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& 2& 0& 5\end{array}\right)$$

Sekali lagi kita tukar kedudukan baris. Kali ini, kita patut meletakkan baris terakhir di tempat baris kedua kerana nombor 2 di kedudukan kedua. Kita tukar kedudukan baris kedua dengan baris keempat:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& -19& -30& 50\end{array}\right)$$

Namun, di bawah nombor 2 terdapat nombor −17 dan −19. Kedua-dua nombor ini tidak boleh dibahagi tepat dengan dua, dan hal ini agak menyusahkan. Oleh itu, kita darabkan baris ketiga dan baris keempat dengan dua:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -34& -38& 56\\ 0& -38& -60& 100\end{array}\right)$$

Sekarang kita boleh meneruskan operasi untuk menjadikan lajur kedua sifar. Kita tambahkan 17 kali baris kedua pada baris ketiga dan 19 kali pada baris keempat:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& -38& 141\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Nombor yang kita peroleh agak menyusahkan untuk operasi seterusnya, tetapi kita tetap boleh menguruskannya. Kita bahagikan baris ketiga dengan −38:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Seterusnya, kita darabkan baris ketiga dengan 60 dan tambahkan pada baris keempat:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& 195-\frac{60\cdot 141}{38}\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& -\frac{525}{19}\end{array}\right)$$

Nombor yang kita peroleh memang tidak cantik, tetapi bukan sifar. Oleh itu, pangkat matriks ini ialah empat; matriks ini tidak mengandungi sebarang baris yang bersandar linear.

Contoh dengan parameter

Tentukan pangkat matriks A mengikut nilai parameter q.

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$$

Soalan ini lebih rumit sedikit kerana terdapat parameter q. Kita perlu menentukan nilai q yang menyebabkan matriks mempunyai pangkat maksimum (jika ada) dan nilai yang menyebabkan pangkatnya lebih rendah. Kita teruskan seperti biasa, tetapi kadangkala kita mengira dengan q yang abstrak dan bukan dengan nilai konkrit. Dalam langkah pertama, kita pindahkan parameter q ke tempat yang lebih sesuai, iaitu di sudut kanan bawah. Kita tukar kedudukan baris kedua dengan baris ketiga, kemudian lajur pertama dengan lajur terakhir:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ 4& 1& 3\\ q& 5& 8\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)$$

Sekarang parameter itu berada di tempat yang tidak banyak mengganggu. Akan tetapi, lajur pertama mengandungi nombor yang agak menyusahkan, sedangkan di tengah-tengah matriks terdapat 1. Kita pindahkan nombor itu ke sudut kiri atas, iaitu kita tukar kedudukan baris pertama dengan baris kedua, dan lajur pertama dengan lajur kedua:

$$\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 17& 8& 1\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Sekarang matriks ini lebih kemas. Kita darabkan baris pertama dengan −8 dan tambahkan pada baris kedua:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Kita darabkan baris pertama dengan −5 dan tambahkan pada baris ketiga:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)$$

Baik, lajur pertama sudah seperti yang dikehendaki. Sekarang kita tambahkan −1 kali baris kedua pada baris ketiga:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& 0& q+11\end{array}\right)$$

Operasi pada matriks sudah selesai. Kita lihat bahawa baris pertama dan baris kedua pasti tak bersandar linear. Namun, baris ketiga mungkin bersandar linear. Baris itu bersandar linear jika semua unsurnya sifar, iaitu jika kita memilih parameter q dengan keadaan ungkapan q + 11 sama dengan sifar. Jelas bahawa jika q = −11, baris itu menjadi baris sifar dan oleh itu bersandar linear.

Jadi, kesimpulannya: bagi q = −11, pangkat matriks ini ialah dua; bagi nilai lain, pangkatnya ialah tiga.