Mediana

Mówiąc w uproszczeniu, mediana dzieli jakiś zbiór wartości tak, żeby połowa wartości była mniejsza od mediany, a druga połowa większa od mediany. W rzeczywistości jest to trochę bardziej skomplikowane i teraz się temu przyjrzymy.

Czym jest mediana

Przy medianie ma znaczenie, czy liczba elementów populacji jest parzysta, czy nieparzysta. Jeśli liczba elementów populacji jest nieparzysta, medianę otrzymamy, ustawiając wszystkie wartości od najmniejszej do największej — wartość, która leży dokładnie w środku, będzie medianą.

Weźmy jako przykład zbiór liczb 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. Jest ich razem 7, czyli liczba nieparzysta. Uporządkujemy liczby i otrzymamy ciąg 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. Medianą, którą oznaczymy $\mbox{Me}$, będzie element leżący w środku, czyli liczba 3. Ogólny wzór dla zbioru X o N elementach (|X| = N), w którym elementy x_i są uporządkowane od najmniejszego do największego, wyglądałby więc tak:

$$ \mbox{Me}(X) = x_{(N+1)/2} $$

Gdybyśmy go wypróbowali na naszym zbiorze wartości X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], otrzymalibyśmy:

$$ \mbox{Me}(X) = x_{(N+1)/2} = x_{(7+1)/2} = x_{8/2}=x_4=3 $$

Przy parzystej liczbie elementów musimy wprowadzić drobną poprawkę, bo ciąg z parzystą liczbą wartości nie ma „elementu w środku”. Jeśli z naszej populacji usuniemy jedną dwójkę, dostaniemy populację Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], która nie ma żadnego środkowego elementu. Obie liczby 3 i 4 są „tak samo w środku”. W takim przypadku bierze się oba elementy, które leżą w środku, a medianą będzie ich średnia arytmetyczna. Medianą wartości Y byłaby więc wartość (3 + 4)/2 = 3,5.

Ogólny wzór dla zbioru X z N uporządkowanymi elementami x_i wyglądałby tak:

$$ \mbox{Me}(X) = \frac{x_{N/2} + x_{(N/2)+1}}{2} $$

Jeśli w ten sposób obliczymy medianę wartości Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], których elementy oznaczymy y_i, otrzymamy:

$$ \mbox{Me}(Y) = \frac{y_{N/2} + y_{(N/2)+1}}{2} = \frac{y_{6/2} + y_{(6/2)+1}}{2} = \frac{y_3 + y_4}{2} = \frac{3+4}{2}=3{,}5 $$

Zalety mediany

Mediana, w odróżnieniu od średniej, nie ma kłopotów z wartościami skrajnymi (odstającymi). W powyższym przykładzie ze zbiorem X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] otrzymalibyśmy średnią $92 / 7 \approx 13,1429$, co jest dość dziwną wartością, skoro sześć z siedmiu elementów jest dużo mniejszych. Medianą jest za to rozsądna liczba trzy.

Medianę można poza tym stosować do wszystkich wartości, które da się jakoś uporządkować. Średnią możemy obliczyć tylko dla wartości, które potrafimy dodać, a potem podzielić. Weźmy na przykład rozmiary ubrań: zwykle tworzą one ciąg w rodzaju XS, S, M, L, XL, XXL. Trudno byłoby z takich wartości obliczyć średnią, bo nie jest jasne, jak dodać XS + L albo XL + L, ani jak potem to podzielić. Jeśli jednak jakaś populacja kupiła ubrania w rozmiarach S, S, M, L, L, L, XXL, możemy powiedzieć, że medianą jest rozmiar L. Problem może się pojawić, gdy mamy parzystą liczbę rozmiarów, bo wtedy nie da się obliczyć średniej arytmetycznej. W takim przypadku zwykle po prostu wybieramy jako medianę jedną z dwóch środkowych wartości.