Średnia geometryczna

Wyobraź sobie, że chcesz kupić nowy samochód, powiedzmy Forda Mustanga. Od dawna na niego zerkasz i co roku zapisujesz, o ile podrożał w porównaniu z poprzednim rokiem. W pierwszym roku samochód kosztował dwieście tysięcy złotych, ale już w drugim roku podrożał o 25%, w kolejnym o 5%, w czwartym o 10%, a teraz, w piątym roku, podrożał o 20%. Ile samochód kosztuje obecnie, możemy obliczyć tak, że procenty zamienimy na wielokrotności ceny, czyli „podwyżkę o 25%” zapiszemy jako „pierwotna cena razy 1,25”. Aktualna cena Forda Mustanga wynosi więc

$$200\ 000\cdot1{,}25\cdot1{,}05\cdot1{,}1\cdot1{,}2=346\ 500$$

Po pięciu latach Mustang kosztuje $346\ 500$ zł. A teraz moglibyśmy zapytać: jaki był przeciętny roczny wzrost ceny samochodu? W pierwszym roku samochód podrożał 1,25 raza, w drugim 1,05 raza itd. Jaki był przeciętny wzrost? Gdybyśmy użyli zwykłej średniej arytmetycznej, wyszłaby nam bzdura. Średnia arytmetyczna wartości 1,25, 1,05, 1,1 i 1,2 wynosiłaby

$$\frac{1{,}25+1{,}05+1{,}1+1{,}2}{4}=\frac{4{,}6}{4}=1{,}15$$

Dla sprawdzenia obliczmy teraz cenę samochodu, gdyby przez cztery lata z rzędu rosła 1,15 raza:

$$200\ 000\cdot1{,}15\cdot1{,}15\cdot1{,}15\cdot1{,}15=349\ 801{,}25$$

Wyszła nam inna liczba! To znaczy, że 1,15 (czyli 15%) nie jest poprawną odpowiedzią, to nie jest prawidłowy przeciętny roczny współczynnik wzrostu ceny. Średnia arytmetyczna nie potrafi więc odpowiedzieć na to pytanie. Musimy użyć średniej geometrycznej.

Jak obliczyć średnią geometryczną

Ile razy samochód podrożał przez ten czas? Obliczymy to, mnożąc przez siebie wszystkie współczynniki podwyżek:

$$1{,}25\cdot1{,}05\cdot1{,}1\cdot1{,}2=1{,}7325$$

Ford Mustang podrożał więc po czterech podwyżkach 1,7325 raza. A teraz właściwie pytamy: jaka liczba pomnożona przez siebie cztery razy daje 1,7325? Jest to pierwiastek czwartego stopnia z liczby 1,7325. Sprawdźmy to:

$$\sqrt[4]{1{,}25\cdot1{,}05\cdot1{,}1\cdot1{,}2}=\sqrt[4]{1{,}7325}\approx1{,}147277$$

Spróbujmy teraz pomnożyć cenę samochodu cztery razy przez tę liczbę:

$$200\ 000\cdot\sqrt[4]{1{,}7325}\cdot\sqrt[4]{1{,}7325}\cdot\sqrt[4]{1{,}7325}\cdot\sqrt[4]{1{,}7325}=346\ 500$$

Teraz już się zgadza, liczba $\sqrt[4]{1,7325}$ jest więc prawidłowym przeciętnym rocznym współczynnikiem wzrostu ceny (cena rosła średnio o ok. 14,7% rocznie).

Wzór na średnią geometryczną

Jeśli mamy n liczb x₁, x₂, …, x_n, to średnią geometryczną G obliczymy jako

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}$$

Możemy to też równoważnie zapisać tak:

$$G=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}$$

Na przykład średnią geometryczną liczb 1, 2, 3, 4, 5 obliczylibyśmy jako

$$\sqrt[5]{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}=\sqrt[5]{120}\approx2{,}6$$