Średnia harmoniczna

Średnia harmoniczna to jeden z rodzajów średnich, którego używamy zwykle wtedy, gdy pracujemy z jakimiś stosunkami.

Średnia prędkość

Wyobraźmy sobie na przykład, że pojechaliśmy pociągiem na wycieczkę, a średnia prędkość pociągu wynosiła 120 km/h. W drodze powrotnej znów jechaliśmy pociągiem, tą samą trasą, ale tym razem pociąg się wlókł i jechał tylko 40 km/h. Jaka była średnia prędkość pociągu w całej drodze tam i z powrotem? Kusi, żeby obliczyć średnią prędkość za pomocą średniej arytmetycznej w ten sposób

$$\large \frac{120\ \mbox{km}/\mbox{h}+40\ \mbox{km}/\mbox{h}}{2}=80\ \mbox{km}/\mbox{h}$$

i powiedzieć, że średnia prędkość wynosiła 80 km/h. Tyle że to nieprawda. Łatwo to pokazać: załóżmy, że pociąg jechał w tamtą stronę jedną godzinę. Ponieważ jechał ze średnią prędkością 120 km/h, to w ciągu tej godziny przejechał dokładnie 120 km. Jeśli w drodze powrotnej jechał ze średnią prędkością 40 km/h, to te 120 km musiał przejechać w 3 godziny. Razem pociąg przejechał więc 240 km w 4 godziny. Z tego możemy obliczyć średnią prędkość

$$\large \frac{240\ \mbox{km}}{4\ \mbox{h}}=60\ \mbox{km}/\mbox{h}$$

Średnia arytmetyczna nas więc zawiodła. Jak musielibyśmy obliczyć średnią z dwóch prędkości 120 i 40, żeby wyszedł nam prawidłowy wynik?

Średnia harmoniczna

Zamiast średniej arytmetycznej możemy użyć średniej harmonicznej. Obliczymy ją tak, że zbudujemy ułamek, w którego liczniku będzie liczba elementów, z których liczymy średnią — w naszym przypadku 2, bo mamy dwie prędkości:

$$\large\frac{2}{?}$$

A do mianownika wstawimy sumę odwrotności obu prędkości. Jeśli mamy prędkość 120, to jej odwrotność wynosi 120⁻¹, czyli $\frac{1}{120}$. Dostaniemy ułamek

$$\large\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{40}}$$

Ułamki w mianowniku sprowadzimy do wspólnego mianownika:

$$\large\frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{3}{120}}$$

A teraz możemy łatwo dodać ułamki:

$$\large\frac{2}{\frac{4}{120}}$$

Ten ułamek wygląda dziwnie, ale nie bój się, wszystko dobrze się skończy. Przekształcimy go do postaci iloczynu tak:

$$\large\frac{2}{\frac{4}{120}}=2\cdot\frac{120}{4}$$

Jeśli to przekształcenie cię zmyliło, uświadom sobie, że dzielenie przez jedną drugą to to samo co mnożenie przez dwa. Kiedy więc dzieliliśmy dwójkę przez ułamek $\frac{4}{120}$, to jest to samo, co pomnożenie dwójki przez odwrotność tego ułamka, czyli $\frac{120}{4}$. Teraz już tylko lekko przekształcimy ułamek i dostaniemy nasz wynik:

$$2\cdot\frac{120}{4}=\frac{240}{4}=60$$

Średnia harmoniczna wyszła nam 60, co jest prawidłowym wynikiem.

Ogólny wzór na średnią harmoniczną

Weźmy n liczb x₁, x₂, …, x_n. Wtedy ich średnią harmoniczną H obliczymy jako

$$\large H=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}}$$

Jeśli wolisz zapis z symbolem sumy, możemy średnią harmoniczną zapisać też tak:

$$\large H=\frac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}$$

Na przykład średnia harmoniczna czterech wartości 1, 2, 3, 4 wynosi

$$\begin{eqnarray} H &=& \frac{4}{\frac11+\frac12+\frac13+\frac14}\\ &=& \frac{4}{\frac{12}{12}+\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}\\ &=& \frac{4}{\frac{25}{12}}\\ &=& 4\cdot\frac{12}{25}=\frac{48}{25}=1{,}92\\ \end{eqnarray}$$