✖

Cisimler

Aşağıdaki anlatımı anlamak için özel bir matematik bilgisine ihtiyacın yok. Lise matematiğinin en temellerini bilmen ve yeni bir şey öğrenmeye istekli olman yeterli.

Cebirsel Cisim Denen Korkulu Rüya

Cebirsel cisim (İngilizce field) adı bile sana ürperti veriyorsa, korkulacak hiçbir şey olmadığını bil. Doğru açıdan bakınca böyle bir cisim aslında çok basit bir şeydir.

Cebirsel cisim, belirli koşulları sağlayan herhangi bir küme ile iki ikili işlemden oluşur. Hepsi bu. Ne fazla ne eksik. Gördüğün gibi tehlikeli ya da korkunç bir şey yok. Bunu bildiğimize göre artık korkmadan biraz daha yakından bakabiliriz.

Cismin Elemanları Kümesi

Keyfi kümemizi T ile gösterelim ve elemanlarına cismin elemanları diyelim. İnan bana, arkadaşım, cismin elemanlarından oluşan küme tamamen keyfi olabilir. Bütün çift sayıların kümesi olabilir, eşi olmayan çorapların kümesi olabilir ya da peluş fil koleksiyonun bile olabilir. Tek koşul belki de T kümesinin boş olmamasıdır. Yoksa pek eğlenemezdik.

İkili İşlem

İkili işlemin tam olarak ne olduğu hemen aklına yatmadıysa, onu küçük bir değirmen gibi düşünebilirsin. İçine bir kümenin iki elemanını atarsın (adındaki “ikili” de buradan gelir), kolu hafifçe çevirirsin ve değirmenden aynı kümenin bir başka elemanı çıkar. Güzel bir ikili işlem örneği bölmedir. 10 / 5 kaç eder diye mi merak ediyorsun? Kümenin gerçek sayılar kümesi olduğu bölme işlemini (değirmeni) al. Değirmene önce 10’u, sonra 5’i at, kolu çevir ve bak sen, 2 çıkıverir.

İki işlemimize toplama ve çarpma adını verelim ve bunları ⊕ ve ⊗ ile gösterelim. Adlarına aldanma. Bu işlemlerin, normalde kullandığımız toplama ve çarpmayla pek ortak yanı olmayabilir. Çünkü cismin elemanları herhangi nesneler olabilir. Peluş filler ya da çoraplar üzerinde “bizim” toplamamızı ve çarpmamızı kullanmak mümkün değil.

Cisim Üzerindeki İşlemler

⊕ ve ⊗ işlemleri belirli koşulları sağlamak zorundadır. Onları tamamen keyfi biçimde tanımlayamayız. Bu işlemleri tanımlamanın amacı, sayılar üzerinde kullandığımız sıradan toplama ve çarpmayı genelleştirmektir. Bu işlemleri cismin elemanlarına, yani artık bildiğimiz gibi tamamen keyfi nesnelere, yalnızca sayılara değil, uygulayabilecek biçimde tanımlamak istiyoruz. Yine de ⊕ ve ⊗ işlemlerinin toplama ve çarpmanın temel anlamını korumasını istiyoruz. Bunu, bu işlemlerin sağlaması gereken on koşul koyarak güvenceye alırız; yapımız ancak bu koşulları sağlarsa cisim olur. Bu koşullara cisim aksiyomları diyeceğiz. İşte onlar:

  1. Toplamanın değişme özelliği — T cisminin herhangi iki elemanı a, b için a ⊕ b = b ⊕ a olmalıdır.
  • Toplamanın birleşme özelliği — T cisminin herhangi üç elemanı a, b, c için (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) olmalıdır.
  • Sıfır elemanın varlığı — T cisminde, 0 ile göstereceğimiz (dikkat, 0 sayısıyla karıştırma) bir eleman bulunmalı ve bu eleman, T cisminin herhangi bir elemanı a için a ⊕ 0 = a olacak özelliğe sahip olmalıdır.
  • Toplamaya göre ters elemanın varlığı — T cisminin her elemanı a için T cisminde, -a ile göstereceğimiz ve a ⊕ −a = 0 özelliğini sağlayan bir eleman bulunmalıdır.
  • Çarpmanın değişme özelliği — T cisminin herhangi iki elemanı a, b için a ⊗ b = b ⊗ a olmalıdır.
  • Çarpmanın birleşme özelliği — T cisminin herhangi üç elemanı a, b, c için (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c) olmalıdır.
  • Birim elemanın varlığı - T cisminde, 1 ile göstereceğimiz (dikkat, 1 sayısıyla karıştırma) bir eleman bulunmalı ve bu eleman, T cisminin herhangi bir elemanı a için a ⊗ 1 = a olacak özelliğe sahip olmalıdır.
  • Çarpmaya göre ters elemanın varlığı — T cisminin 0’dan farklı her elemanı a için T cisminde, a−1 ile göstereceğimiz ve a ⊗ a−1 = 1 özelliğini sağlayan bir eleman bulunmalıdır.
  • Dağılma özelliği - T cisminin herhangi üç elemanı a, b, c için a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c) olmalıdır.
  • Aşikâr olmama — Sıfır eleman ile birim eleman aynı eleman olmamalıdır. Yani 0 ≠ 1.

Matematiksel biçimcilikte kendini geliştirmek isteyenler için cisim aksiyomlarını matematik jargonunda yazıldıkları biçimiyle de buraya yazdım.

  1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
  • ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
  • ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
  • ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
  • ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
  • ∀a ∈ T   ∃a−1 ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a−1 = 1
  • ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
  • 0 ≠ 1

Şimdi belki “bu kadar aksiyom çok fazla” diye düşünüyorsun. Ama ne anlama geldiklerini fark edince hepsi kolayca anlaşılır. İlk dördü toplamanın olağan özelliklerini, sonraki dördü çarpmanın olağan özelliklerini anlatır; üstelik bunlar ilk dördüne çok benzer. Dokuzuncu aksiyom toplama ile çarpmanın birbirleriyle nasıl bir ilişki içinde olduğunu söyler. Yalnızca onuncusu biraz teknik bir şeydir; cismin tuhaf özelliklere sahip olmasını engeller.

Çıkarma ve bölmeyi tanıtmaktan ne güzel kaçındığımıza dikkat et. Bu işlemler, toplamaya göre ters elemanı eklemek ve çarpmaya göre ters elemanla çarpmak yoluyla tanımlanır. Yani örneğin 4 − 2 yalnızca 4 + (−2) için bir kısaltmadır, 4 / 2 de yalnızca 4 · 2−1 için bir kısaltmadır.

Cisimlere Genel Bakış

Artık cebirsel cisim kavramını biçimsel olarak tanımlamış olduk. Cismin ne olduğunu sezgisel olarak ifade etmek istersek şöyle diyebiliriz: cisim, bu işlemleri tanımlayabildiğimiz herhangi nesneleri, temel aritmetikte yaptığımıza benzer biçimde toplamamıza, çıkarmamıza, çarpmamıza ve bölmemize olanak veren bir yapıdır.

İlk Cismimiz

Cisimleri bu kadar güzel icat edip anlattığımıza göre şimdi gerçek bir cisim kuralım. Önce cismin elemanlarından oluşan kümeyi seçelim. Peluş fillerle ya da çoraplarla şimdilik fazla denemeler yapmayacağız ve cismin elemanları olarak doğal sayıları seçeceğiz. Her şey gerçekten basit olsun diye yalnızca 0, 1, 2, 3, 4 sayılarını alacağız. Yani T kümemiz şöyle görünecek:

T={0,1,2,3,4}

Şimdi geriye ⊕ ve ⊗ işlemlerini akıllıca tanımlamak kalıyor. Burada aritmetikten bildiğimiz toplama ve çarpma işlemlerinden yararlanacağız. Ama onları, cismimizde de çalışsınlar diye biraz değiştireceğiz.

  • ⊕ işlemi a ⊕ b toplamını, a + b toplamının 5 ile bölümünden kalanı hesaplayarak buluruz. Cismimizdeki toplamalar şöyle olur: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 vb.
  • ⊗ işlemi a ⊗ b çarpımını, ab çarpımının 5 ile bölümünden kalanı hesaplayarak buluruz. Cismimizdeki çarpmalar şöyle olur: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    vb.

İşte bu kadar. Artık tam teşekküllü bir cismimiz var. Uyduruk bir yapı değil de gerçekten bir cisim ürettiğimizden emin olmak için bütün aksiyomların geçerli olduğunu doğrulamak kalıyor.

  • Toplama ve çarpmanın değişme ve birleşme özelliğini, aynı şekilde dağılma özelliğini kesinlikle kendin doğrulayabilirsin.
  • Toplama ve çarpmayı nasıl tanımladığımızdan, birbirinden farklı bir sıfır elemanın (bizim durumumuzda tesadüfen tam da 0 sayısı) ve bir birim elemanın (bizim durumumuzda 1) var olduğu da çıkar.
  • Şimdi geriye yalnızca toplamaya göre ters elemanın ve çarpmaya göre ters elemanın varlığını doğrulamak kalıyor. {0, 1, 2, 3, 4} kümesindeki her sayı için, toplamlarının sonucu sıfır ya da beş olacak (yani cismimizde 0) şekilde aynı kümeden bir sayı bulunduğunu hepimiz görüyoruz.
  • Benzer biçimde bu durum çarpma için de geçerlidir: bu kümenin sıfırdan farklı her sayısı için, çarpımının 5 ile bölümünden kalan 1 olan (yani cismimizde 1) bir sayı vardır. Örneğin 4 sayısının ters elemanı 4’tür, çünkü 4 · 4 = 16 ve 16’nın 5 ile bölümünden kalan 1’dir. Diğer ters elemanları bulmayı dene!

Başka Cisim Örnekleri

Biraz önce beş elemanlı bir cisim ürettik. Aynı yöntemle eleman sayısı asal sayı olan başka cisimler de üretilebildiği ortaya çıkıyor. Bu cisimlere kalan sınıfları cisimleri denir ve Zp ile gösterilir; burada p cismin eleman sayısıdır. Bu cisimler hem matematikte ve bilgisayar biliminde hem de elbette çeşitli sınav sorularında çok sık kullanılır.

Eleman sayısı asal olmayan cisimler de üretilebilir mi? Evet, üretilebilir; ama artık bunu biraz önce gösterdiğim yöntemle yapamayız. Neden? Yukarıda anlatılan yöntemle üretilmiş, yalnızca dört elemanlı bir cisim düşün. Böyle bir cisimde 2 ⊗ 2 = 0 olur. Yani sıfırdan farklı iki sayının çarpımı sıfır çıkar. Bir cisimde bunun olmaması gerekir. Bu, cisim aksiyomlarında doğrudan yasaklanmış değildir, ama aksiyomlardan oldukça kolay çıkarılabilir. Bununla birlikte cismin elemanları olarak sayılar yerine polinomlar kullanılırsa, eleman sayısı bir asal sayının kuvveti olan cisimlerin de üretilebildiği ortaya çıkıyor. Yani dört elemanlı cisim vardır, çünkü dört, ikinin kuvvetidir.

Elbette sonsuz sayıda elemanı olan cisimler de mümkündür. Örneğin gerçek sayılar kümesi ve olağan toplama ve çarpma işlemlerimiz de bir cisim oluşturur. Bu yalnızca gerçek sayılar için değil, rasyonel ve karmaşık sayılar için de geçerlidir. Doğal sayılar ve tam sayılar cisim oluşturmaz, çünkü onlarda sırasıyla toplamaya göre ve çarpmaya göre ters elemanlar eksiktir.

Ve en güzeli sona saklı. Cisimlerin sayılardan, polinomlardan ya da herhangi matematiksel nesnelerden oluşması gerektiğini elbette kimse bize dayatmıyor. Daha önce söylediğim gibi, çoraplardan, peluş fillerden vb. oluşan bir cisim üretebilirsin. Tek sorun, filler üzerinde toplama ve çarpmayı nasıl tanımlayacağın olsa gerek. Burada ilginç olan şu: altı çorap içeren bir cisim üretmeyi asla başaramazsın. Çünkü altı ne asal sayıdır ne de bir asal sayının kuvveti. Ama on yedi çorap içeren bir cisim üretebilirsin; her birini numaralandırırsın (beyaz çorap 0, siyah 1, yeşil 2 vb.) ve sonra bunları, bizim kalan sınıfları cisminde topladığımız gibi toplarsın.

Peki Bütün Bunlar Ne İşe Yarar?

Buraya kadar okuduysan belki “cebirsel cisim gibi böyle çılgın bir yapıya neden ihtiyacımız var ki?” diye düşünüyorsun. Şöyle ki, cisimler çok önemlidir; hem kuramsal açıdan, çünkü hesaplama, yani aritmetik diyebileceğimiz şeyi betimler ve özellikle genelleştirir, hem de uygulama açısından, çünkü pek çok matematik ya da bilgisayar bilimi problemi, onları cisimlerde hesaplama olarak düşündüğümüzde daha kolay çözülür. Örneğin sonlu cisimler CD ve DVD’lerdeki kodlar için büyük önem taşır. Doğrusal cebirin kendisine gelince, cisimler, daha karmaşık ve bu yüzden çok daha yararlı ve ilginç yapıların, örneğin vektör uzaylarının temel taşıdır. Vektör uzayları ise bütün doğrusal cebirin bir tür temelini oluşturur.

Bu makalenin yazarı Lishaak’tır.