Doğrusal Denklem Sistemleri

Doğrusal denklem sistemi, n değişkenli m doğrusal denklemden oluşan bir kümedir. Sistemi çözerek n değişkenin yerine koyabileceğimiz öyle değerler buluruz ki bütün denklemler birlikte sağlanır.

Doğrusal Denklem Sisteminin Tanımı

Muhtemelen daha önce şu türden basit bir sistemle karşılaşmışsındır:

$\begin{array}{ccccc} a_{11} x & + & a_{12} y & = & b_{1} \\ a_{21} x & + & a_{22} y & = & b_{2} \end{array}$

Burada a₁₁,…,a₂₂, b₁, b₂ verilmiş gerçek sayılardır, x ve y ise değişkenlerdir. Bu denklem sisteminin çözüm sayısı değişebilir — hiç çözümü olmayabilir, bir çözümü olabilir ya da sonsuz sayıda çözümü olabilir; tıpkı sıradan bir doğrusal denklemde olduğu gibi. Doğrusal denklem sisteminde çözüm sayısını belirlemek ve çözümleri bulmak, basit bir birinci dereceden denklemdekine göre daha karmaşıktır.

Doğrusal denklem sisteminin tanımı:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array}$

Burada a₁₁, …, a_mn, b₁, …, b_m gerçek sayılardır. Bu sisteme, a₁₁, …, a_mn katsayılı ve x₁, …, x_n bilinmeyenli m doğrusal denklemden oluşan bir sistem denir. Doğrusal denklem sistemine somut bir örnek şöyle olabilir:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & + & - 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & - 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Ama bir a_ij negatifse, bunu şu biçimde yazmak âdettir:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & - & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Yine de a₁₂ = −2 ve a₂₄ = −10 olduğu değişmez.

Matris Yazımı

Bu sistemi matris biçiminde yazabiliriz. Toplam üç matris tanımlarız: biri katsayılar için, biri denklemlerin sağ tarafları için, biri de değişkenlerin kendisi için. Matrisler şöyle olur:

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$

A matrisi asıl denklemlerin katsayılarını içerir ve ona “katsayılar matrisi” diyoruz; b matrisi denklemlerin sağ taraflarını, x matrisi ise değişkenleri içerir. Böylece bütün denklem sistemini tek bir denklem olarak yazabiliriz:

$A x = b$

Bu denklem anlamlıdır, çünkü sol tarafta iki matrisin çarpımı, sağ tarafta bir matris vardır ve boyutları uyuşur. Sol tarafı çarpmayı deneyebiliriz. m × n tipindeki bir matrisi n × 1 tipindeki bir matrisle çarpıyoruz, dolayısıyla sonuç m × 1 tipinde olur: m satırı ve bir sütunu vardır. Şimdilik her şey yolunda.

Şimdi klasik matris çarpımı algoritmasını uygulayalım: A matrisinin birinci satırıyla ve x matrisinin birinci sütunuyla başlarız (başka sütun zaten yok). Şunu elde ederiz:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n}$

Bu toplam, yeni matrisin ilk elemanını, yani b₁ değerini verir. Hepsini denklemde yerine yazarsak:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}$

Denklem sistemimizin tam olarak birinci denklemini elde ettik. Diğer satırlar için de aynı şekilde devam ederiz. Bir de genişletilmiş matrisi tanımlayalım: bu, katsayılar matrisinin yanına şu biçimde b matrisini eklediğimiz matristir:

$B = (A ∣ b) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix})$

Bundan sonra bu genişletilmiş matrisin rankı bizi ilgilendirecek. Katsayılar matrisinin, yani genişletilmemiş matrisin rankını rank(A) ile, genişletilmiş matrisin rankını rank(A ∣ b) ile gösteririz. Bu iki rank arasında nasıl bir ilişki var? A matrisine b sütununu eklersek iki durum olabilir: yeni sütun A matrisinin sütunlarının doğrusal birleşimiyse rank değişmez. Doğrusal birleşimi değilse rank bir artar.

Kronecker–Capelli Teoremi

Genişletilmiş matrisin rankı bizim için önemli olacak, çünkü önemli bir teorem geçerlidir: Kronecker–Capelli teoremi: Ax = b denklem sisteminin çözümü olması için gerek ve yeter koşul, katsayılar matrisinin rankının genişletilmiş matrisin rankına eşit olmasıdır: rank(A) = rank(A ∣ b).

Bu teoremin en azından bir yönde doğru olduğunu gösterelim: x = β, Ax = b denkleminin çözümüyse rank(A) = rank(A ∣ b) olur. Bu iki rank eşitse b sütunu A matrisinin sütunlarının doğrusal birleşimi olmak zorundadır. Bunu açıkça yazalım. β matrisi şu biçimdedir:

$β = (\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix})$

Biz şunu iddia ediyoruz: x₁ yerine β₁, diğerleri yerine de karşılık gelen β değerleri konursa denklem sistemindeki bütün denklemler sağlanır:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} β_{1} & + & a_{12} β_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} β_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} β_{1} & + & a_{22} β_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} β_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} & + & a_{m 2} β_{2} & + & \dots & + & a_{m n} β_{n} & = & b_{m} \end{array}$

Şimdi denklemleri biraz yeniden yazalım. Birinci sütuna bakarsak orada hep a₁₁, a₂₁, …, a_m1 değerlerinin bulunduğunu ve hepsinin aynı β₁ değeriyle çarpıldığını görürüz. Bu sütunu ayrı bir matris olarak yazarsak β₁ değerini matrisin önüne ortak çarpan olarak alabiliriz:

$(\begin{matrix} a_{11} β_{1} \\ a_{21} β_{1} \\ ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} \end{matrix}) = β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix})$

Şimdi bütün sistemi bu biçimde yazabiliriz:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Bu denklemin sağlanması için sağ taraftaki matris, sol taraftaki sütun matrislerinin doğrusal birleşimi olmalıdır ve β₁, …, β_n değerleri bu birleşimin katsayıları olmalıdır.

Böylece şunu kanıtlamış olduk: β matrisi denklem sisteminin çözümüyse sistemin sağ tarafı olan b matrisi, katsayılar matrisinin sütunlarının doğrusal birleşimi olmak zorundadır. b sütunu A matrisinin sütunlarının doğrusal birleşimiyse A matrisinin rankı (A ∣ b) matrisinin rankıyla aynı olmak zorundadır.

Ayrıca rank(A) = rank(A ∣ b) = k ise ve k bilinmeyen sayısına eşitse, yani k = n ise sistemin tam olarak bir çözümü vardır. k < n ise sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır ve bunları yazmak için n − k parametreye ihtiyacımız olur.

Elemanter Satır İşlemleri

Önceki denklemden ayrıca şu görülür: (A ∣ b) matrisinde elemanter satır işlemleri yaparsak denklem sisteminin çözümü değişmez. İkinci satıra birinci satırı ekleseydik şu denklemi elde ederdik:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} + a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} + a_{12} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} + a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} + b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

İkinci satırı açarsak şunu elde ederiz:

$β_{1} (a_{21} + a_{11}) + β_{2} (a_{22} + a_{12}) + \dots + β_{n} (a_{2 n} + a_{1 n}) = b_{1} + b_{2}$

Parantezleri dağıtalım:

$β_{1} a_{21} + β_{1} a_{11} + β_{2} a_{22} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{2 n} + β_{n} a_{1 n} = b_{1} + b_{2}$

Şimdi terimleri biraz yer değiştirelim:

$(β_{1} a_{11} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{1 n}) + (β_{1} a_{21} + β_{2} a_{22} + \dots + β_{n} a_{2 n}) = b_{1} + b_{2}$

İlk parantezde aslında birinci satır, ikinci parantezde ise ilk hâlindeki ikinci satır var. Birinci satırın b₁ değerine, ikinci satırın da b₂ değerine eşit olduğunu biliyoruz. Bunu ilk denklemlerden biliyoruz. Dolayısıyla ilk parantezin yerine b₁, ikincisinin yerine b₂ yazabiliriz:

$b_{1} + b_{2} = b_{1} + b_{2} .$

Benzer şekilde bütün bir satırı c ≠ 0 sabitiyle çarpabiliriz ve denklem sisteminin geçerliliği bozulmaz. Ama sütun işlemleri yapamayacağımıza dikkat et.

Tek Çözümlü Sistem

Tam olarak bir çözümü olan sistemin nasıl çözüleceğini bir örnekle gösterelim. Şu denklem sistemi verilsin:

$\begin{array}{ccccccc} 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 7 x_{3} & = & 47 \\ 3 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & x_{3} & = & 50 \\ 3 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 27 \end{array}$

A matrisi şöyle olur:

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix})$

Şimdi bu matrisin rankını hesaplayalım:

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 6 & 16 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 7 & - 19 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 21 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 0 & 78 \end{matrix})$

rank(A) = 3 olduğunu görüyoruz. Buradan rank(A ∣ b) = 3 olduğu da çıkar, çünkü 3 × 4 tipindeki bir matrisin rankı en fazla üç olabilir. Sistemin üç bilinmeyeni var, dolayısıyla denklem sisteminin tam olarak bir çözümü vardır. Peki bunu nasıl buluruz?

Gauss Eliminasyon Yöntemi

Gauss eliminasyonu, genişletilmiş matrisi basamak biçimine getirmekten oluşur. Matrisi basamak biçimine getirince bir değişkenin değerini bulabiliriz. Bir değişkenin değerini bulduktan sonra bu değeri diğer denklemlerde yerine koymaya başlayabiliriz.

(A ∣ b) matrisi şöyledir:

$(A ∣ b) = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{matrix})$

Bunu basamak biçimine getirelim. Önceki adımdaki işlemlerin aynısını yapacağız, yalnızca bu kez dördüncü sütuna da uygulayacağız:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 6 & 16 & 2 & 100 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 7 & - 19 & - 41 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 21 & 21 & 189 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 0 & 78 & 312 \end{array}) \end{array}$

Elemanter satır işlemleri yaptığımız için bu matris, eşdeğer bir denklem sistemini, yani aynı çözüm kümesine sahip bir sistemi gösterir. Son matrisin katsayılarını kullanarak sistemi matris yazımından alışılmış yazıma çevirelim:

$\begin{array}{ccccccc} 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & + & 21 x_{3} & = & 141 \\ 21 x_{2} & - & 57 x_{3} & = & - 123 \\ 78 x_{3} & = & 312 \end{array}$

Şimdi son denklemden başlayalım. Bu denklem bize 78x₃ = 312 olduğunu söylüyor. x₃ hangi değeri almalı? Bu basit bir doğrusal denklemdir, dolayısıyla

$\begin{array}{rcl} 78 x_{3} & = & 312 \\ x_{3} & = & \frac{312}{78} \\ x_{3} & = & 4 \end{array}$

İlk değişkenin, yani x₃ değişkeninin değerini bulduk. Bu değeri ikinci denklemde yerine koyalım. Şu denklemi elde ederiz:

$\begin{array}{rcl} 21 x_{2} - 57 x_{3} & = & - 123 \\ 21 x_{2} - 57 \cdot 4 & = & - 123 \\ 21 x_{2} & = & - 123 + 228 \\ 21 x_{2} & = & 105 \\ x_{2} & = & \frac{105}{21} \\ x_{2} & = & 5 \end{array}$

Son olarak hesapladığımız iki değeri de birinci denklemde yerine koyalım:

$\begin{array}{rcl} 6 x_{1} + 9 x_{2} + 21 x_{3} & = & 141 \\ 6 x_{1} + 9 \cdot 5 + 21 \cdot 4 & = & 141 \\ 6 x_{1} + 45 + 84 & = & 141 \\ 6 x_{1} & = & 12 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

x₁ değişkeninin değeri ikiye eşittir. Böylece çözümün tamamına ulaştık. x = (x₁, x₂, x₃) = (2, 5, 4) yazabiliriz. Görüldüğü gibi Gauss eliminasyon yöntemi, doğrusal denklem sistemini çözmek için basit ama etkili bir yöntemdir.

Sonsuz Çözümlü Sistem

rank(A) = rank(A ∣ b) = k ise ve k bilinmeyen sayısından küçükse, yani k < n ise sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Basit bir örnek alalım:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 12 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 15 \end{array}$

İkinci denklemin birinci denklemin üç katı olduğunu görüyoruz. Birinci denklemi eksi üçle çarpıp ikinci satıra eklersek şunu elde ederiz:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & = & 0 \end{array}$

Şu anda değişken sayısı ikidir, n = 2; katsayılar matrisinin rankı birdir, rank(A) = 1; genişletilmiş matrisin rankı da birdir, rank(A ∣ b) = 1. k < n olduğundan sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Bu çözümleri nasıl buluruz?

Denklemlere bakalım. İkinci denklem bütün x₁, x₂ değerleri için sağlanır, dolayısıyla yalnızca birinci denklem bizi ilgilendirir. Aslında birinci denklemi sağlayan bütün x₁, x₂ ikilileri, bu denklem sisteminin bütün çözümlerinin kümesini oluşturur. O hâlde 4x₁ + x₂ = 5 denkleminin çözümünü hesaplayalım. Denklemi x₂ = 5 − 4x₁ biçimine getiririz.

Sonra bir parametreden yararlanalım. t parametresini seçelim. Şimdi x₁, x₂ ikilisini t parametresi cinsinden ifade etmeye çalışacağız; öyle ki örneğin (t, t + 2) biçimindeki bütün ikililerin sistemin çözümü olduğunu yazabilelim. Yani (1, 3) ya da (14, 16) gibi ikililer. Amaç, bir değişkenin değerini başka bir değişken cinsinden ifade etmektir; böylece x₁ şu ya da bu değeri aldığında x₂ değişkeninin değerinin örneğin bunun üç katı olacağını bilebiliriz. Başlangıç noktası olarak x₁ değişkenini seçelim.

t = x₁ eşitliğini yazalım. x₁ değişkeni t değerini alırsa x₂ değişkeni hangi değeri alır? Bunu önceki denklemden görürüz: x₂ = 5 − 4x₁ değerini alır. Yani x₁ = t ise x₂ = 5 − 4t olur. Böylece (t, 5 − 4t) biçimindeki bütün ikililerin denklem sisteminin çözümü olduğunu yazabiliriz.

Kontrol edebiliriz. t yerine bir koyarsak x₁ = 1 ve x₂ = 5 − 4 · 1 = 1 olur. Bu değerleri denklemde yerine koyalım: 4 · 1 + 1 = 5, denklem sağlanıyor.

t yerine beş koyarsak x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15 olur. Denklemde yerine koyunca 4 · 5 − 15 = 5 elde ederiz. Sağlıyor.

Genel ve Özel Çözüm

Denklem sisteminin parametrelerle yazılmış çözümüne genel çözüm denir. Somut çözüme, yani parametreler yerine somut sayılar koyduğumuzda elde ettiğimiz çözüme özel çözüm denir.

Yani önceki örnekte (x₁, x₂) = (t, 5 − 4t) denklem sisteminin genel çözümüdür, (1, 1) ve (5, −15) ise özel çözümlerdir.

A katsayılar matrisimiz ve (A ∣ b) genişletilmiş matrisimiz varsa ve rankları eşitse, rank(A) = rank(A ∣ b) = k, genel çözümü ifade etmek için n − k parametreye ihtiyacımız vardır. n = k ise sıfır parametreye ihtiyacımız olduğuna dikkat et. Bu, sistemin tam olarak bir çözümü olduğu durumdur — o zaman hiçbir parametre gerekmez.

Örnek

Aşağıdaki doğrusal denklem sistemini çöz:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Önce A ve (A ∣ b) matrislerinin rankını hesaplayalım. Genişletilmiş matrisi basamak biçimine getireceğiz; bundan iki matrisin de rankını anlarız. Başlayalım. (Birinci satırı ikiyle çarparız, sonra birinci ve ikinci satırı toplayıp bu sonucu üçüncü satırdan çıkarırız. Sonra ikinci satırdan birinci satırı çıkarırız ve en sonunda birinci satırı tekrar ikiye böleriz.)

$\begin{array}{rcl} (A ∣ b) = (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Bu son matristen rank(A) = rank(A ∣ b) = k = 2 olduğunu görüyoruz. Bilinmeyen sayısı n = 4 olduğundan n − k = 2 parametreye ihtiyacımız olacak. Son matrise göre denklemleri yazalım:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ - x_{1} & - & 6 x_{3} & = & 0 \end{array}$

İkinci denklemden şunu elde ederiz:

$\begin{array}{rcl} - x_{1} - 6 x_{3} & = & 0 \\ - x_{1} & = & 6 x_{3} \\ x_{1} & = & - 6 x_{3} \end{array}$

Birinci parametreyi seçelim: t = x₃. O zaman x₁ = −6t yazabiliriz. Bunu birinci denklemde yerine koyabiliriz:

$\begin{array}{rcl} 3 (- 6 t) - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 18 t - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 14 t - 2 x_{2} + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 2 x_{2} & = & 1 + 14 t - 5 x_{4} \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} x_{4} \end{array}$

İkinci parametreyi de devreye sokalım: s = x₄. O zaman şunu yazabiliriz:

$x_{2} = - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s$

Böylece sistemin genel çözümünü elde ederiz:

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (- 6 t, - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s, t, s)$

Bazı özel çözümleri deneyebiliriz. Örneğin s = t = 0 olsun. O zaman şunu elde ederiz: $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, - \frac{1}{2}, 0, 0)$ . Asıl denklemlerde yerine koyunca:

şu denklemleri elde ederiz:

$\begin{array}{ccccccccc} 0 & - & 2 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 1 \\ 0 & - & 4 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 2 \\ 0 & - & 8 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 4 \end{array}$

Sıfır terimleri atıp kesirleri çarpınca şunu elde ederiz:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Bir özel çözüm daha deneyelim: s = 2, t = 1. O zaman şunu elde ederiz:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 6 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 + 5 = - \frac{5}{2} \\ x_{3} & = & 1 \\ x_{4} & = & 2 \end{array}$

Denklemlerde yerine koyalım:

$\begin{array}{ccccccccc} - 18 & - & 2 (- \frac{5}{2}) & + & 4 & + & 10 & = & 1 \\ - 30 & - & 4 (- \frac{5}{2}) & + & 2 & + & 20 & = & 2 \\ - 66 & - & 8 (- \frac{5}{2}) & + & 10 & + & 40 & = & 4 \end{array}$

Sadeleştirelim:

$\begin{array}{ccccccccc} - 4 & + & 5 & = & 1 \\ - 8 & + & 10 & = & 2 \\ - 16 & + & 20 & = & 4 \end{array}$

Ve sonunda şunu elde ederiz:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Bulduğumuz genel çözüm doğru görünüyor.

Bölümler: Doğrusal Denklem Sistemleri, Cramer Kuralı, Homojen Denklem Sistemleri

« Önceki: Matrisin Determinantı

Sonraki: Cramer Kuralı »