Matris

P cismi üzerinde matris, {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P fonksiyonudur. Matris genellikle büyük harflerle gösterilir: A = (…). Şimdi bunu sade bir dille anlatalım.

Temel Kavramlar

Matris, kısaca, n sütunlu ve m satırlı bir tablodur; satır ve sütun sayısının hangisinin n, hangisinin m ile gösterileceği her yerde aynı olmayabilir, buna dikkat et. Tablonun her hücresinde bir sayı ya da başka bir ifade bulunur. Matris yalnızca sayılardan oluşmak zorunda değildir, ama başlangıçta büyük ihtimalle başka türlü matrislerle karşılaşmazsın. Peki bir matris nasıl görünebilir?

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 51 \end{array})$

Bu matrisin iki satırı ve üç sütunu vardır. Matrisin elemanları indislerle gösterilir ve büyük harf yerine küçük harf kullanılır: a₁₁ = 0 ya da a₂₃ = 51. İlk indis satırı, ikinci indis sütunu belirtir.

Özel Matris Türleri

Matrislerin farklı özellikleri olabilir ve bazı özel matrislerin kendi adları bile vardır.

Kare matris, satır sayısı sütun sayısına eşit olan matristir. Matris kare değilse dikdörtgen matristir. Kare matris örneği:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})$

Sıfır matris, bütün konumlarında sıfır bulunan matristir: a_ij = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Birim matris, ana köşegeninde birler, diğer yerlerinde sıfırlar bulunan kare matristir. Ana köşegen, soldan sağa giden bir tür “çapraz çizgi”dir. Kısacası i = j olan konumlardaki sayılardır.

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

Basamak matris, sıfır satırları en altta olan (ya da hiç sıfır satırı bulunmayan) ve her sıfırdan farklı satırı bir önceki satırdan daha fazla sıfırla başlayan matristir. Aşağıdakilerin hepsi basamak matristir:

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & π \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array})$

A matrisinin devrik matrisi, $a_{i j} = a_{j i}^{T}$ eşitliğini sağlayan A^T matrisidir. Yani i. satırda ve j. sütunda bulunan eleman, devrik matriste j. satıra ve i. sütuna gelir. Kısacası matrisin satırlarıyla sütunlarını yer değiştirirsin.

$\begin{array}{rcl} {(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{ccc} 0 & 8 & 47 \\ 1 & 5 & 154 \\ 5 & 23 & 2 \end{array}) \\ {(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{array}) \end{array}$

Simetrik matris, A = A^T eşitliğini sağlayan A kare matrisidir. Köşegene göre simetrik olan elemanlar birbirine eşittir. Yani a_ij = a_ji yazabiliriz.

$A = (\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array})$

Ters simetrik matris, simetrik matrise çok benzer, yalnız köşegenin öbür tarafındaki elemanların işareti ters olur: A = −A^T. Bu yüzden ana köşegendeki elemanlar sıfır olmak zorundadır, çünkü a = −a = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 3 & - 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & - 5 & 0 \end{array})$

Köşegen matris, ana köşegen dışındaki her yerinde sıfır bulunan matristir. Daha doğrusu, diğer bütün yerler sıfır olmalıdır; ana köşegendeki elemanlar için bir koşul yoktur.

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Matrislerle Temel İşlemler

Matrisleri toplayabiliriz, bir sayıyla çarpabiliriz ve matrisleri birbiriyle de çarpabiliriz.

Matrislerin toplanması oldukça sezgiseldir. Matrisler aynı tipteyse (= sütun ve satır sayıları aynıysa), sonuç matrisinin aynı konumlarında, önceki matrislerde karşılıklı konumlarda bulunan sayıların toplamı yer alır. Yani A + B = C matrislerini topluyorsak a_ij + b_ij = c_ij olur.

$(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \\ 7 & - 54 & - 12 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 8 \\ 18 & 25 & 53 \\ 54 & 100 & - 10 \end{array})$

Matrislerin toplanması açıkça değişmelidir ve birleşmelidir: A + B = B + A ve A + (B + C) = (A + B) + C.

Bir matrisin sayıyla çarpılması da sezgiseldir. Sayıyı alır ve matrisin her elemanını onunla çarparsın, hepsi bu: k · A = k · a_ij.

$5 \cdot (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 25 \\ 40 & 25 & 115 \\ 235 & 770 & 10 \end{array})$

Matrislerin Çarpımı

Matris çarpımı biraz daha zordur, çünkü beklediğin kadar sezgisel değildir. Karşılıklı elemanları çarpmak yetmez. Önce matrislerin şu koşulu sağlaması gerekir: birinci matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. Geri kalan her şey keyfî olabilir. Şimdi çarpımı tanımlayabiliriz (n, birinci matrisin sütun sayısıdır):

$(A \cdot B)_{i j} = \sum_{p = 1}^{n} a_{i p} \cdot b_{p j}$

Artık her şey apaçık, değil mi? Şimdi daha az keskin zekâlı arkadaşlar için de açıklamaya çalışayım :-). Birinci matrisin birinci satırını ve ikinci matrisin birinci sütununu al. Birinci elemanı birinci elemanla çarp, ikinci elemanın ikinci elemanla çarpımını ekle ve böyle devam et. Böylece yeni C matrisinde c₁₁ elemanını elde edersin. En iyisi bir örnek: şu iki matrisi çarpalım:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Şimdi birinci matrisin birinci satırını ve ikinci matrisin birinci sütununu seçelim:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Yazımın düzenli olması için yeni oluşan matrisi C ile gösterelim. Bu matrisin ilk elemanını bulmak için şunu hesaplamamız gerekir: c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. İndisin ilk yerinde satırın, sonra sütunun bulunduğuna dikkat et. Yerine koyunca 1 · 5 + 2 · 7 = 19 elde ederiz. İlk elemanın değeri 19’dur:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & ? \\ ? & ? \end{array})$

Sıradaki eleman c₁₂’yi aynı yolla buluruz, yalnız birinci satırı ve ikinci sütunu alırız. Bu uzun hesapla her seferinde, o satırla sütunun ortak olarak paylaştığı elemanı buluruz. Birinci satır ile birinci sütunun ortak elemanı c₁₁ konumundadır, birinci satır ile ikinci sütunun ortak elemanı ise c₁₂ konumundadır. Aşağıdaki şekil bunu güzelce gösteriyor:

Matrislerin çarpımı

Şimdi matrisin geri kalanını hızlıca hesaplayalım:

$\begin{array}{rcl} c_{12} & = & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22. \\ c_{21} & = & a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43. \\ c_{22} & = & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{array}$

Bu sayıları matrise yazmamız yeter:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array})$

Sonucun doğruluğunu örneğin Excel’de ya da LibreOffice Calc’ta kontrol edebilirsin; ikisinde de matrislerle çalışmak için işlevler vardır.

Şimdi matris çarpımı hakkında birkaç genel bilgi. Önce, matris çarpımı değişmeli değildir. Genel olarak A · B = B · A eşitliği geçerli değildir, ama elbette bu eşitliğin sağlandığı durumlar da olabilir. Ama matris çarpımı birleşmelidir. Toplamaya göre ise dağılmalıdır: A (B + C) = AB + AC. İki matrisi a_ix · b_xn biçiminde çarparsak sonuç matrisi i × n tipinde olur (birinci matris kadar satırı, ikinci matris kadar sütunu olur).

Örnekler

Şu üç matris verilmiş olsun:

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) .$

A · B matris çarpımını hesapla.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 36 & 41 & 43 \\ 90 & 98 & 106 \\ 144 & 155 & 169 \end{array})$

B · A matris çarpımını hesapla.

Dikkat et: matris çarpımı değişmeli olmadığı için sonucun bir önceki durumdakiyle aynı olacağını kesin olarak söyleyemeyiz. Bütün hesabı baştan yapmamız gerekir:

$(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 68 & 82 & 96 \\ 86 & 112 & 138 \\ 87 & 105 & 123 \end{array})$

A · C ve C · B matris çarpımlarını hesapla.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 28 & 14 \\ 67 & 50 \\ 106 & 86 \end{array})$

İkinci çarpımı hesaplayamayız, çünkü birinci matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısından farklıdır.

Temel Matris İşlemleri

Matrislerle verimli çalışabilmemiz için bazı elemanter işlemleri tanımlamamız gerekir. Önce, matrisin bir satırını/sütununu sıfırdan farklı bir sayıyla çarpabiliriz. Bu işlem, matrisin k katını almaya benzer, ama yalnızca o satırda/sütunda uygulanır.

İkinci işlem, j. satırın k katını i. satıra eklemektir. Sütunlar için de aynısı geçerlidir. Biraz korkutucu geliyor, ama aslında basit. k = 1 için gösterelim. Elimizde şu matris olsun:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Şimdi birinci satıra ikinci satırı ekleyelim. İkinci satırı alırız ve karşılıklı konumlardaki sayıları birinci satırdaki sayılara ekleriz. İkinci satırdaki sayılara hiçbir şey olmaz, yalnızca birinci satır değişir:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Şimdi işlemlere devam edebiliriz. Bu kez birinci satırın iki katını üçüncü satıra ekleyelim. Yeni oluşan matristen birinci satırı alıp ikiyle çarparız, böylece (10, 14, 18) satırını elde ederiz ve bu sayıları üçüncü satıra ekleriz. Yine birinci satır değişmez, yalnızca üçüncü satır değişir:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 17 & 22 & 27 \end{array})$

Şimdi üçüncü satıra bir de birinci ve ikinci satırların toplamını ekleyelim. Aslında bunda yeni bir şey yok, çünkü üçüncü satıra önce ikinci satırı, sonra birinci satırı eklersek aynı sonuca varmak zorundayız. Birinci ve ikinci satırın toplamı şuna eşittir: (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15). Bu satırın üçüncü satırla toplamı ise şuna eşit olur: (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 26 & 34 & 42 \end{array})$

Bir de sütunlarla yapılan bir işlem gösterelim (bunlar o kadar açık olmadıkları için genellikle sık kullanılmaz). Birinci sütunu ikinci sütuna ekleyelim:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 4 & 9 & 6 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Son olarak ikinci satırı ikiyle çarpalım:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 8 & 18 & 12 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Doğrusal Bağımlılık

Şimdi bağımlı satırların/sütunların ne olduğunu açıklayalım. Bir satır, matrisin diğer satırlarının doğrusal birleşimi olarak yazılabiliyorsa o satır doğrusal bağımlıdır. Kısacası satırları çeşitli biçimlerde toplayarak sonunda aradığın satırı elde edebiliyorsan, bu satır doğrusal bağımlıdır. Örnek:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array})$

Birinci satırın iki katını ve ikinci satırı toplarsan üçüncü satırı elde edersin. Üçüncü satırdan bu birleşimi çıkarırsan sıfır satırı (yalnızca sıfırlardan oluşan satır) elde edersin. Bu satır bağımlıdır. İşlemleri şöyle yaparız (birinci satırı ikiyle çarpar, ikinci satıra ekler, üçüncü satırdan çıkarırız):

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

n satırlı bir A matrisimiz olsun ve A_i, i. satırı göstersin. Matrisin doğrusal bağımlı satırı yoktur deriz, eğer:

$α_{1} A_{1} + α_{2} A_{2} + \dots + α_{n} A_{n} = 0$

eşitliği ancak ve ancak α₁, α₂, …, α_n = 0 iken sağlanıyorsa. Eşitliğin sağ tarafındaki sıfır, sıfır satırını gösterir. Yani bu denklemin tek çözümü sıfır çözümüyse. Başka bir çözüm bulursak matrisin doğrusal bağımlı bir satırı vardır. Sütunlar için de benzer şekilde. Bir önceki matris için şu geçerli olurdu:

$\begin{array}{rcl} 2 (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}) + 1 (\begin{array}{c} 4 & 5 & 6 \end{array}) - 1 (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = \\ = (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Yani alfa değerleri α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1 olur.

Bağımsız satırların ya da sütunların sayısı matrisin rankını verir.

Tersinir ve Tekil Matrisler

Bir matrise, maksimum rankı varsa (yani içinde doğrusal bağımlı satır yoksa) ve kare matrisse tersinir denir. Kare matris tersinir değilse tekil denir (yani matris en az bir doğrusal bağımlı satır içeriyorsa). Bu iki kavram oldukça önemlidir, çünkü birçok tanım onlara dayanır. Pek çok şey ancak matris tersinirse tanımlıdır.

İlgili Yazılar

« Önceki: Kafesler

Sonraki: Matrisin Rankı »