Bağıntılarla İşlemler

Bağıntılar aslında küme olduğundan onlarla olağan küme işlemlerini yapabiliriz.

Küme İşlemleri

Önceki makalede bağıntıyı bir küme olarak tanımlamıştık. Kümelerle birleşim, kesişim ya da fark gibi işlemler yapabiliriz. Bağıntılar söz konusu olduğunda bunun ne anlama geldiğine bakalım.

Önce bir koşul koymamız gerekir, çünkü bu işlemleri keyfi bağıntılar arasında yapamayız. “Küçüktür” ve “çift sayı olmak” bağıntılarımız varsa bu işlemler anlamlı olmaz, çünkü birinci bağıntı ikili, ikincisi ise tekli bir bağıntıdır. Bir küme işlemi uyguladıktan sonra yine bir bağıntı elde edebilmemiz için bütün bağıntıların terim sayısı (aritelik) aynı olmalıdır, yani bir n için hepsi n’li olmalıdır.

Birleşim

“Küçüktür” ve “eşitlik” bağıntılarını alalım. Bu bağıntıları birleştirirsek ne olur? Küçüktür bağıntısında, a < b olan bütün (a, b) çiftleri vardır. Eşitlik bağıntısında, a = b olan bütün (a, b) çiftleri vardır. Bu durumda < ∪ = bağıntısında a < b ya da a = b olan bütün (a, b) çiftleri bulunur. a sayısı ya b sayısından küçüktür ya da ona eşittir. Böyle bir bağıntıyı biliyoruz, ona “küçük eşittir” deriz ve ≤ ile gösteririz.

R₁ ve R₂ bağıntıları verilmişse, birleşimleriyle R = R₁ ∪ R₂ bağıntısı oluşur ve bunun için şu geçerlidir: r elemanı, R₁ bağıntısında ya da R₂ bağıntısında bulunuyorsa R bağıntısındadır. Başka bir deyişle, birleştirilen bağıntılardan en az birinde bulunmuşsa sonuç bağıntısında da bulunur.

Kesişim

Birleşimde elemanları, birleştirilen bağıntılardan en az birinin elemanı olan yeni bir bağıntı elde etmiştik. Kesişimde de durum benzerdir, yalnızca elemanların her iki bağıntının da üyesi olması gerekir.

Yine küçüktür ve eşitlik bağıntılarını (gerçek sayılar üzerinde) alıp kesişimlerini bulursak ne elde ederiz? Hem küçüktür bağıntısında olan hem de birbirine eşit olan elemanlar elde etmemiz gerekir. Ama böyle bir durum olamaz, çünkü a < b ise asla a = b olmaz. Boş bir bağıntı elde ederdik.

Şu iki bağıntıyı ele alalım: “kalansız bölünebilme” ve birinci sayısı a tek, ikinci sayısı b çift olan (a, b) sayı çiftlerini içeren ikili bağıntı. Pozitif tam sayılar üzerinde çalışalım. Birinci bağıntıda (5, 15), (6, 30), (3, 123) gibi sayı çiftleri olur — ikinci sayı her zaman birinci sayıya bölünebilmelidir. İkinci bağıntıda birinci sayının tek, ikincinin çift olduğu sayı çiftleri bulunur: (1, 4), (5, 14), (3, 24) vb. Bu bağıntıların kesişiminden yeni bir R bağıntısı oluşur ve bu bağıntı, b sayısı a sayısına bölünebilen, aynı zamanda a tek ve b çift sayı olan (a, b) çiftlerini içerir. Örneğin: (5, 30) ya da (3, 24).

Fark

İki bağıntı R₁ ve R₂ verilmişse, farklarıyla R₁ − R₂ yeni bir bağıntı oluşur; bu bağıntıya R₁’de bulunan ama R₂’de bulunmayan elemanlar girer. Yine küçük eşittir ve eşitlik bağıntılarına dönebiliriz. R₁ bağıntısı küçük eşittir, R₂ bağıntısı eşitlik olursa, R₁ − R₂ farkıyla küçük eşittir bağıntısında olan ama eşitlik bağıntısında olmayan elemanları elde ederiz. Yani a ≤ b olan ve aynı zamanda a = b olmayan (a, b) çiftlerini elde ederiz. Başka bir deyişle küçüktür bağıntısını elde ederiz: <.

Bağıntının Tümleyeni

Her bağıntının tümleyenini bulabiliriz. R bağıntısının tümleyeninin elemanları, asıl R bağıntısına ait olmayan bütün elemanlardır. Örneğin eşitlik bağıntısının (yani = bağıntısının) tümleyeni eşit değildir bağıntısıdır. İlk bağıntıda birbirine eşit olan bütün eleman çiftleri vardır (örneğin 5 = 5), tümleyen bağıntıda ise birbirine eşit olmayan bütün sayı çiftleri vardır (örneğin 5 ≠ 6).

Bir bağıntının tümleyenini belirlerken dikkat etmen gereken tek şey taban kümedir — bağıntının ait olduğu kümedir. Eşitlik bağıntısını doğal sayılar, tam sayılar, gerçek sayılar üzerinde tanımlayabiliriz, hatta dünyadaki bütün insanların kümesi üzerinde bile.

R ikili bağıntısı M₁ ve M₂ kümelerinden alınmışsa: R ⊂ M₁ × M₂, bu durumda S ile göstereceğimiz tümleyen bağıntı S = (M₁ × M₂) ∖ R olur: bunlar, taban kümelerin kartezyen çarpımında bulunan ama R bağıntısında bulunmayan elemanlardır. Başka terim sayılı bağıntılar için de benzer şekildedir.