Bağıntı

Bağıntı, günlük hayattaki “ilişki” kavramının matematikteki karşılığıdır. Gündelik hayatta örneğin Ayşe ile Elif arasında bir ilişki vardır: “anne — kız” ilişkisi. Başka bir ilişki “ülke — o ülkenin başkenti” olabilir. Örnek olarak Mısır — Kahire çiftini alabiliriz.

Bağıntılara Başka Örnekler

Biraz daha örnek bakalım. Girişte “kızının annesi olmak” ve “bir ülkenin başkenti olmak” bağıntılarından (ilişkilerinden) söz ettik. Şimdi bir de “çift sayı olmak” bağıntısına bakalım. Bu bağıntıda 2, 4, 8, 18, 58, 66 sayıları ve daha niceleri vardır. 1, 3, −7, 19 sayıları “çift sayı olmak” bağıntısında değildir. Gündelik hayattan bir bağıntı da “erkek olmak” olabilir. Ali, Mehmet, Emre ya da Can “erkek olmak” bağıntısındadır.

Bir başka örnek “küçüktür” bağıntısıdır. Örneğin üç, beşten “küçüktür”. Bunu matematiksel olarak 3<5 diye yazabiliriz. Ya da eşitlik bağıntısı: üç, üçe “eşittir”; matematiksel olarak 3 = 3.

Daha karmaşık örnekler de olabilir: “baba ve anne, çocuğun ebeveynleridir”. Bu bağıntıda üç kişilik bir grup bulunur: baba Mehmet, anne Ayşe ve çocuk Elif. Matematikte üç elemanlı bir bağıntıyı şöyle uydurabiliriz: ilk iki sayının toplamı üçüncü sayıya eşittir. Örneğin şu sayılar bu sırayla bu bağıntıdadır: 3, 4, 7; çünkü 3 + 4 = 7. Şu sayılar bağıntıda değildir: 3, 5, 12; çünkü 3 + 5 ≠ 12.

Bağıntının Terim Sayısı

Aritelik kulağa tuhaf gelen bir terimdir, ama aslında yalnızca bağıntıda kaç eleman olduğunu anlatır. Önceki örneklerde farklı sayıda elemanla çalıştık. “Erkek olmak” bağıntısında tek elemanla yetindik, yani “Ali erkektir” diyebiliriz. Bir isim, bir eleman yeter. Böyle bir bağıntıya tekli bağıntı deriz.

Sonraki örnekte “küçüktür” bağıntısı vardı. O, iki sayıyla, iki elemanla çalışıyordu. Üçün beşten küçük olduğunu söyledik. İki eleman kullandık, dolayısıyla bağıntı ikilidir.

Son örnekte toplam üç eleman kullandık: iki sayının toplamı üçüncüye eşit olmalıydı. Yani a, b, c sayılarımız vardı ve a + b = c olmak zorundaydı. Bu bağıntı üçlü olurdu.

Daha yüksek terim sayıları için n’li bağıntı gösterimini kullanabiliriz. Ama bunu daha düşük terim sayıları için de kullanabiliriz; ikili bağıntıyı 2’li bağıntı olarak yazabiliriz. Bağıntının elemanlarını sıralı n’lilerle gösteririz. İkili bağıntıda bunlar çifttir ve genellikle ya köşeli parantezle ya da açılı parantezle yazılır. Yani üç ile beşin “küçüktür” bağıntısında olduğunu yazmak istiyorsak sayıları bir çift olarak yazmalıyız: (3, 5), ya da [3, 5]. Sıraya dikkat etmeliyiz; ters sırada bu geçerli olmaz: (3, 5) ≠ (5, 3) — beş, üçten küçük değildir.

Aile Örneği

Matematiksel tanımlara girmeden önce aileyle ilgili tipik bir örneğe daha bakalım. Bir ailenin şu üyeleri olsun:

• Mehmet: baba tarafından dede;
• Kerem: baba;
• Ayşe: anne;
• Zeynep: kız;
• Can: oğul.

Önce “erkek olmak” bağıntısına uyan bütün aile üyelerini bulalım. Bu, 1’li, yani tekli bir bağıntıdır. Bağıntıda her zaman yalnızca bir eleman, yani aileden yalnızca bir kişi olur. Şimdi erkek olan bütün aile üyelerini yazmamız gerekir. Şimdilik sıranın önemi yok. Demek ki “erkek olmak” bağıntısı şu elemanları içerir: {[Mehmet], [Kerem], [Can]}. Tekli bir bağıntı olmasına rağmen köşeli parantez kullandığımıza dikkat et. Bunun hiçbir zorunluluğu yok, parantezsiz de yazılış okunaklı olurdu, ama tutarlı olsun diye parantezleri korudum. Bir bağıntının bütün elemanlarının topluluğu sıradan bir kümedir, küme parantezleri de bu yüzden.

Şimdi “baba — oğul” bağıntısının bütün elemanlarını bulalım. Bu, ilk bakışta ikili bir bağıntıdır; sonuçta sıralı eleman çiftleri bulunacak. Ortaya çıkan küme şöyle görünür: {(Kerem, Can), (Mehmet, Kerem)}. Baba Kerem, oğul Can’ın babasıdır; dede Mehmet de baba Kerem’in babasıdır. Sıranın gerçekten önemli olduğuna dikkat et: Kerem orada iki kez geçiyor, ama bir kez birinci sırada baba konumunda, bir kez de ikinci sırada oğul konumunda.

Bir bağıntı daha deneyelim: “ebeveyn — çocuk”. Burada daha çok çift olacak, çünkü birinci yerde ebeveynlerden herhangi biri, hem baba hem anne olabilir; ikinci yerde de çocuklardan herhangi biri, hem oğul hem kız olabilir. Şunu da hesaba katmamız gerekir: dede Mehmet, Kerem’in ebeveynidir ama Ayşe’nin ebeveyni değildir. Kerem ile Ayşe ise Zeynep’in ve Can’ın ikisinin de ebeveynidir. Zeynep ile Can kimsenin ebeveyni değildir, çünkü daha on dokuz ve on üç yaşındalar. Sonuçta sıralı çiftler şöyle olacak: {(Mehmet, Kerem), (Kerem, Zeynep), (Kerem, Can), (Ayşe, Zeynep), (Ayşe, Can)}. Kerem’in de Ayşe’nin de orada iki kez geçtiğine dikkat et — bir kez kız Zeynep’in, bir kez de Can’ın ebeveyni olarak.

İkili bağıntılar için son bir ince nokta: “kardeş — kardeş” bağıntısını ele alalım. Burada bağıntılarda sıranın önemli olduğunu akılda tutmamız gerekir. Bu bağıntının sonucuna yalnızca “Zeynep — Can” yazsaydık yanlış olurdu, çünkü bu, “Can — Zeynep”ten tamamen farklı bir sıralı çifttir. Bu yüzden doğru sonuç şudur: {(Zeynep, Can), (Can, Zeynep)}.

Üçlü bağıntı için de kısacık bir örnek: “dede — baba — çocuk” bağıntısının bütün sıralı üçlülerini yaz. Verilenlerde yalnızca bir dede ve bir baba var, ama iki çocuk var. Yalnızca Zeynep’li ya da yalnızca Can’lı üçlüyü yazmak yetmez, ikisini de yazmamız gerekir. Sonda “çocuk” yerine “oğul” yazsaydı durum başka olurdu. Doğru sonuç şudur: {(Mehmet, Kerem, Zeynep), (Mehmet, Kerem, Can)}.

Tekli Bağıntının Tanımı

En basit bağıntıları, tekli bağıntıları inceleyelim. Tekli bağıntıdan, elemanlardan oluşan herhangi bir küme anlaşılır. {2, 3} kümesi bir bağıntıyı temsil edebilir. Örneğin “beşten küçük asal sayı olmak” bağıntısını ya da “altı sayısının aşikâr olmayan böleni olmak” bağıntısını; bu, yorumumuza bağlıdır.

Daha dikkatli okuyanlar ikinci bağıntının biraz tuhaf tanımlandığını fark etmiştir. Bağıntının altı sayısının aşikâr olmayan bölenlerini içermesi gerektiğini söylüyor, elde ettiğimiz kümede ise 2 ve 3 sayıları var. Bir şeyler eksik değil mi? 1 ve 6 sayıları aşikâr bölenlerdir, onlar ilgimizi çekmiyor. Ama negatif sayılar da orada olmalı, yani −2 ve −3. 6 sayısının bütün aşikâr olmayan bölenlerinin kümesi şöyle görünür: {−3, −2, 2, 3}.

Fonksiyonlarda tanım kümesini belirttiğimiz gibi, bağıntıda da taban kümeyi belirtiriz — bağıntının elemanlarını seçtiğimiz kümeyi. Önceki örneklerde mesela dede Mehmet’in vb. bulunduğu aileyi belirtmiştik. Babaları ve çocukları dünyadaki bütün ailelerden seçmedik. Taban küme olarak pozitif tam sayılar kümesini belirtirsek bağıntımız sorunsuz olur.

Artık bağıntının tanımına geçebiliriz. Taban kümemiz pozitif tam sayılarsa tekli bağıntımız hangi elemanları içerebilir? Yine yalnızca pozitif tam sayıları. Ya hepsini ya da yalnızca bir kısmını. Yani bu bağıntının, pozitif tam sayılar kümesinin bir alt kümesi olacağını söyleyebiliriz. Daha genel olarak, bir R tekli bağıntımız ve bir M taban kümemiz varsa R ⊂ M olur, yani R bağıntısı, M kümesinin alt kümesidir.

İkili Bağıntının Tanımı

İkili bağıntıda durum nasıl olacak? İkili bağıntıda R bağıntısının elemanları sıralı çiftlerdir. Çiftin her elemanı farklı bir kümeden olabilir. “Ebeveyn — çocuk sayısı” bağıntımız olabilir. Ebeveyn, örneğin Avrupa’daki insanlar kümesinden seçilir, çocuk sayısı ise doğal sayılar kümesinden seçilir.

İki kümeden bütün olası çiftlerin kümesini nasıl elde ederiz? Kartezyen çarpımla. A = {a, b, c}, B = {1, 2} kümelerimiz varsa kartezyen çarpımla şunu elde ederiz:

$$A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}$$

Bu, birinci yerde A kümesinden bir eleman, ikinci yerde B kümesinden bir eleman olacak biçimde elde edebileceğimiz bütün olası çiftlerin kümesidir. Yani A ve B kümeleri arasında bir R ikili bağıntımız varsa bu bağıntıyı R ⊂ A × B olarak tanımlayabiliriz.

Önceki A ve B kümelerini koruyup bu kümeler arasında R bağıntısını şöyle tanımlarsak: “harf — harfin alfabedeki sırası”, bu bağıntı şöyle görünür: R = {(a, 1), (b, 2)}. c harfi artık orada olmayacak, çünkü A × B kartezyen çarpımında (c, 3) çifti bulunmuyor.

n’li Bağıntının Tanımı

Son olarak M₁, M₂, …, M_n kümeleri arasında genel bir n’li R bağıntısı tanımlayalım:

$$R\subset M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

Yani bağıntı, sıralı n’lilerin bir alt kümesidir. İkili bağıntıya örnek olarak “küçüktür” bağıntısı, yani < verilebilir. Bunu bazı sayı kümeleri arasında, örneğin pozitif tam sayılar arasında tanımlayabiliriz. O zaman bağıntı şöyle görünür:

$$<\subset {\mathbb{Z}}^{+}\times {\mathbb{Z}}^{+}$$

(< işaretinin sol tarafta böyle tuhaf durmasından rahatsız olma. Bu yalnızca bağıntının adıdır. Orada yine R olabilirdi, R da küçüktür bağıntısını temsil ederdi.)

Somut olarak bu bağıntı şöyle görünürdü:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\dots \\ & & (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\dots \\ & & (3,4),(3,5),(3,6),(3,7),\dots \\ & & (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

Bu, birinci yerdeki pozitif tam sayının ikinci yerdeki pozitif tam sayıdan küçük olduğu sıralı çiftlerin kümesidir.

Bağıntıların Gösterimi

Bağıntılara genellikle R, S gibi büyük harflerle ya da yerleşik simgelerle ad veririz: <, ⊂, = vb. Önceki tanımlardan görüldüğü gibi bağıntı aslında bir kümedir. Zaten matematikte hemen her şey aslında bir kümedir :-). Bu yüzden r elemanının R bağıntısına ait olduğunu söylemek istersek bunu r ∈ R diye yazabiliriz.

Örneğin (1, 3) ∈ < yazabiliriz ve bu, bir ile üç sayı çiftinin küçüktür bağıntısına ait olduğu anlamına gelir. İkili bağıntılarda ilkokuldan bildiğin daha rahat bir gösterimle sık karşılaşırız. “Elemanıdır” anlamındaki ∈ işaretini kullanmak yerine basitçe 1 < 3 yazarız. Aynı şekilde genellikle (5, 5) ∈ = yazmayız, 5 = 5 yazarız.