İkili Bağıntı

İkili bağıntı, terim sayısı iki olan özel bir bağıntı türüdür. Tipik ikili bağıntılar arasında örneğin küçüktür, eşitlik, bölünebilme, büyüktür vb. sayılabilir.

Örnekler

İkili bağıntı, tipik ve sık rastlanan bağıntılardan biridir. Aynı zamanda burada anlatacağımız bazı ilginç özellikleri vardır.

İkili bağıntıya örnek olarak şunlar verilebilir: “baba — oğul” ilişkisi, “taşıt — tekerlek sayısı” çifti ya da daha genel olarak “nesne — nesnenin özelliği”. Nesne bir hayvan, özellik ise bacak sayısı, ortalama yaşam süresi, kafadaki tüy sayısı vb. olabilir.

M₁ ve M₂ kümeleri arasındaki bir R ikili bağıntısını şöyle tanımlayabiliriz: R ⊂ M₁ × M₂. Yani ikili bağıntı, çiftlerden oluşan bir kümedir ve bu küme, aralarında bağıntı tanımladığımız iki kümenin kartezyen çarpımının alt kümesidir. Dolayısıyla “baba — oğul” bağıntısı bütün insanların kümesi, Avrupa’daki bütün insanların kümesi ya da Ankara’daki bütün insanların kümesi üzerinde tanımlanmış bir bağıntı olabilir. Kümeyi başka yönde de sınırlayabiliriz; bağıntıyı genel olarak insanlar arasında değil, bütün erkeklerin kümesi üzerinde tanımladığımızı söyleyebiliriz.

İkili bağıntılar için genellikle özel bir gösterim kullanırız. (a, b) ∈ R yazmak yerine aRb yazabiliriz. Örneğin (3, 1) ∈ > yerine 3 > 1 yazabiliriz. Diğer bağıntılar için de benzer şekilde. Yani aSb yazılışı, (a, b) ∈ S yazılışına denktir.

Ters Bağıntı

Ters bağıntı, eldeki bağıntının tersi olan bağıntıdır. (Dikkat, bağıntının tümleyeniyle karıştırma.) Küçüktür bağıntısının tersi olan bağıntı hangisidir? Büyüktür. Küçüktür bağıntısı (4, 7) elemanını, yani 4 < 7 ifadesini içeriyorsa, ters eleman bunun tersi olacaktır: 7 > 4; ters bağıntıda ters çift (7, 4) olacaktır.

R ⊂ M₁ × M₂ bağıntısı verilmişse, R⁻¹ ters bağıntısını şöyle kurarız: bütün (a, b) ∈ R elemanlarını alırız ve bunların tersini R⁻¹ bağıntısına koyarız. Yani R bağıntısı (a, b) elemanını içeriyorsa, R⁻¹ bağıntısı (b, a) elemanını içermelidir. Bunun tersi de geçerlidir; R⁻¹ bağıntısı (b, a) elemanını içeriyorsa R bağıntısı (a, b) elemanını içermelidir.

Bunu tanım olarak yazarsak, R⁻¹ bağıntısının R bağıntısının tersi olması için gerek ve yeter koşul şudur:

$$\mathrm{\forall }a\in M_1\mathrm{\forall }b\in M_2:(a,b)\in R\iff (b,a)\in R^{-1}$$

Böylece 6 < 8 olması için gerek ve yeter koşul 8 > 6 olmasıdır. Diğer çiftler için de benzer şekilde.

Bağıntıların Bileşkesi

İkili bağıntıların bileşkesini alabiliriz. İki bağıntımız olsun; birincisi R “oğlunun babası olmak”, ikincisi S “kız kardeşinin erkek kardeşi olmak” olsun. R bağıntısı (baba, oğul) çiftlerini, ikinci bağıntı (erkek kardeş, kız kardeş) çiftlerini içerir.

Şimdi bağıntıların bileşkesini almayı deneyelim. Yeni bir bağıntı oluşur, ona R ∘ S diyelim; bu bağıntı (a, c) elemanını ancak ve ancak (a, b) ∈ R ve aynı zamanda (b, c) ∈ S olduğunda içerir. b elemanının her iki çiftte de bulunduğuna dikkat et; bir kez çiftin ikinci, bir kez de birinci yerinde. Bu, bileşkenin bir tür bağlantı elemanıdır.

Örnek: R = {(Mehmet, Can), (Kerem, Efe)} ve S = {(Can, Ayşe), (Can, Elif), (Efe, Zeynep)}. Mehmet, Can’ın babasıdır, Kerem de Efe’nin babasıdır. Can’ın kız kardeşleri Ayşe ve Elif’tir, Efe’nin kız kardeşi de Zeynep’tir.

Şimdi bağıntıların bileşkesini alalım: R ∘ S. R bağıntısında, oğul yerinde S bağıntısında erkek kardeş olarak geçen biri bulunan çifti arıyoruz. Örneğin şu iki çift: (Mehmet, Can) ve (Can, Ayşe). Can bağlantı elemanıdır, ona artık ihtiyacımız yok ve geriye kalan adlardan yeni bir çift oluştururuz: (Mehmet, Ayşe). Böylece R ∘ S bağıntısı (Mehmet, Ayşe) çiftini içerir. Can’ın bir kız kardeşi daha var, Elif; onu da bileşke bağıntıya ekleriz: (Mehmet, Elif). Son olarak oğul Efe kalıyor. Onun kız kardeşi Zeynep. Böylece iki çiftimiz var: (Kerem, Efe) ve (Efe, Zeynep). Bununla bir eleman daha oluştururuz: (Kerem, Zeynep).

Sonuç şu bağıntıdır: R ∘ S = {(Mehmet, Ayşe), (Mehmet, Elif), (Kerem, Zeynep)}. Bu bağıntıya nasıl bir ad verebiliriz? Büyük olasılıkla “kızının babası olmak”.

Bir kez daha tanımın tamamı:

$$(a,c)\in (R\circ S)\iff \mathrm{\exists }b(a,b)\in R\wedge (b,c)\in S$$

Not: bazen ters yazılış kullanılır; yani aynı tanım için R ∘ S yerine S ∘ R kullanılırdı.