Matrisin Rankı

Matrisin rankı, matrisin bağımsız satırlarının ya da sütunlarının sayısını gösteren sayıdır.

Tanım

Matrisin rankı, matristeki doğrusal bağımsız satırların/sütunların en büyük sayısıdır. Sıfır matrisin rankı sıfırdır, diğer her matrisin rankı en az birdir. m × n tipindeki bir matrisin rankı en fazla min(m, n) olabilir. Yani matrisin satır sayısı sütun sayısından azsa, rank en çok satır sayısına eşit olur. Sütunlar için de benzer şekilde.

Matrisin rankını genellikle İngilizce “rank” sözcüğüyle gösteririz. Şöyle yazarız: rank(A) = x.

Rank Nasıl Hesaplanır

Şimdi rankın nasıl hesaplandığına bakalım. Oldukça kolaydır. Matrisi, hangi satırların doğrusal bağımsız olduğunun açıkça görüldüğü bir biçime getirmen gerekir. Bu çoğunlukla matrisi basamak biçimine getirerek yapılır (köşegenin altında yalnızca sıfırlar) ve sonra matrisin durumu artık görülür. Hadi hemen bir örneğe geçelim, elimizde şu matris var:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Rankını bulmamız isteniyor. Şimdi küçük bir ayrıntıyı akılda tutmalıyız. Sıfırdan farklı sayılarla dolu iki satırımız varsa, kuramsal olarak doğrusal bağımlı olabilirler. Bunu hesaplamamız gerekirdi. Ama satırlardan birinin bir yerinde sıfır varsa ve diğer satırın aynı yerinde sıfır yoksa, bu satırların bağımlı olmadığını kesin olarak söyleyebiliriz. Çünkü o sıfırı (dolayısıyla bütün satırı) hangi sayıyla çarparsak çarpalım, diğer satırdaki sayıyı elde edemeyiz. Bu yüzden o sıfırları elde etmek için matrisleri hep basamak biçimine getirmeye çalışırız.

Bir önceki paragrafı şöyle de yazabiliriz. α₁, α₂ ≠ 0 ise:

$${\alpha }_1\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+{\alpha }_2\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{ccc}0& a& b\end{array}\right)$$

Bu yüzden bağımlılıkları kolayca görebilmek için matrisi benzer bir biçime getirmeye çalışırız. Şu örneğe bak:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& -5& 1\\ 0& 7& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

Bu matris basamak biçimindedir, hiçbir satır doğrusal bağımlı değildir. İlk iki satırla üçüncü satırı ifade edemezsin, çünkü alfa katsayıları sıfırdan farklıysa ilk yerlerde her zaman sıfırdan farklı bir sayı kalır.

İşlemler genellikle şöyle ilerler: önce birinci sütunda (birinci satır hariç) sıfırlar elde ederiz. Sonra matrisi ikinci sütunda sıfırlar elde edecek biçimde işleriz, sonra üçüncü sütunda ve böyle devam eder, sonunda basamak biçimine ulaşırız. Sıfırdan farklı satırları sayarız ve işte matrisin rankı hazır. Matrisin rankını değiştirmeden şu işlemleri kullanabiliriz:

• İstediğin iki satırın yerini değiştirmek.
• Bir satırı sıfırdan farklı herhangi bir ifadeyle çarpmak.
• Bir satırı başka bir satıra eklemek.
• Yukarıdaki işlemlerin hepsi sütunlara da uygulanabilir.

Örnek

Önceki matrisimizde işlemleri şöyle yapacağız: a₁₁ ile a₂₁ elemanları arasındaki ilişkiye bakalım. İkisinin eşit olduğunu görüyoruz, yani a₂₁ yerinde sıfır elde etmek için birinci satırın −1 katını eklememiz gerekir. Birinci satırın −1 katını ikinci satıra ekleriz (yani ikinci satırdan birinci satırı çıkarırız):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Şimdi istediğimiz yerde sıfır elde ettik. Şimdi de a₃₁ konumunda sıfır elde etmeliyiz. Orada da 1 var, o yüzden birinci satırı çıkarmamız yeter:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

Birinci sütunda sıfırlarımız oldu, şimdi iştahla ikinci sütuna geçelim. a₂₂ ve a₃₂ sayılarının birbirinin zıttı olduğunu görüyoruz, yani satırları toplamamız yeter:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Böylece bir sıfır satırı elde ettik. İşlemler bitti, basamak biçimine ulaştık. Şimdi sıfırdan farklı satırları saymamız yeter, rankı bulduk. Rank, rank(A) = 2 olur. Bu matrisin rankı ikiymiş.

İkinci Örnek

Şimdi biraz daha büyük bir matrisin rankını hesaplamayı deneyelim:

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 5& 1\\ 1& 3& 5& -7\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Matrisin rankı doğrusal bağımsız satırların en büyük sayısıdır, bu yüzden matrisin satırlarının yerini istediğimiz gibi değiştirebiliriz. Burada, hesaplamamız kolay olsun diye başında bir olan satırın en üste gelmesi iyi olurdu. Bu yüzden birinci ve ikinci satırı endişe etmeden yer değiştirebiliriz:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 7& 2& 5& 1\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Şimdi önceki örnekteki gibi ilerleyeceğiz. Birinci sütunda yalnızca sıfırlar olmalı (elbette birinci satır hariç), bu yüzden ikinci satıra birinci satırın −7 katını, üçüncü satıra −4 katını ve sonuncu satıra −2 katını ekleriz. Birinci satır değişmeden kalır:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& -19& -30& 50\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& 2& 0& 5\end{array}\right)$$

Yine satırların yerini değiştirelim; bu kez ikinci konumdaki ikiden dolayı ikinci satırın yerine sonuncu satırı getirmeliyiz. İkinci ve dördüncü satırı yer değiştirelim:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& -19& -30& 50\end{array}\right)$$

Ama ikinin altında −17 ve −19 sayıları olduğunu görüyoruz. Bu sayılardan hiçbiri ikiye bölünmez, bu da hoş değil, hatta biraz can sıkıcı. Bu yüzden şimdi üçüncü ve dördüncü satırı ikiyle çarpalım:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -34& -38& 56\\ 0& -38& -60& 100\end{array}\right)$$

Şimdi işlemlere devam edip ikinci sütunu sıfırlamaya çalışabiliriz. Üçüncü satıra ikinci satırın 17 katını, dördüncü satıra 19 katını ekleriz:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& -38& 141\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

İşte, bir sonraki işlem için epey elverişsiz sayılar elde ettik, ama bir şekilde idare ederiz. Üçüncü satırı −38’e bölelim:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Şimdi üçüncü satırı 60 ile çarpıp dördüncü satıra ekleyelim:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& 195-\frac{60\cdot 141}{38}\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& -\frac{525}{19}\end{array}\right)$$

Çıkan sayı güzel olmasa da sıfırdan farklı. Böylece matrisin rankı dörttür; matris hiçbir doğrusal bağımlı satır içermez.

Parametreli Örnek

A matrisinin rankı q parametresine bağlı olarak nedir?

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$$

Bu biraz daha karmaşık bir soru, çünkü bir q parametremiz var. q’nun hangi değerlerinde matrisin rankının en büyük olduğunu (varsa) ve hangi değerlerinde daha düşük olduğunu bulmamız gerekir. Klasik biçimde ilerleyeceğiz, yalnızca ara sıra somut değerler yerine soyut q ile hesap yapacağız. İlk adımda q parametresini daha uygun bir yere, yani sağ alt köşeye taşıyalım. Bunun için ikinci satırı üçüncüyle, ardından birinci sütunu sonuncuyla yer değiştirelim:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ 4& 1& 3\\ q& 5& 8\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)$$

Parametreyi pek sorun çıkarmayacağı uygun bir yere getirdik. Ama birinci sütunda epey elverişsiz sayılarımız var, yine de tam ortada 1 var: onu sol üste taşıyalım, yani birinci ve ikinci satırı, birinci ve ikinci sütunu yer değiştirelim:

$$\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 17& 8& 1\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Şimdi matris güzel göründü. Birinci satırı −8 ile çarpıp ikinci satıra ekleyelim:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Birinci satırı −5 ile çarpıp üçüncü satıra ekleyelim:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)$$

Güzel, birinci sütun ihtiyacımıza göre oldu. Şimdi ikinci satırın −1 katını üçüncü satıra ekleyelim:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& 0& q+11\end{array}\right)$$

Matris üzerindeki işlemler bitti. Birinci ve ikinci satırın kesinlikle doğrusal bağımsız olduğunu görüyoruz. Ama üçüncü satır doğrusal bağımlı olabilir. Satır, tamamen sıfır olursa, yani q parametresini q + 11 ifadesi sıfıra eşit olacak biçimde seçersek doğrusal bağımlı olur. Açıkça, q = −11 ise satır sıfırdır ve dolayısıyla doğrusal bağımlıdır.

Sonuç olarak: q = −11 için matrisin rankı ikidir, diğer durumlarda rankı üçtür.