Vektör Uzayları

Vektör uzayı, ya da başka adıyla doğrusal uzay, bazı özellikleri sağlaması gereken elemanlardan oluşan bir kümedir. Bu özellikler sayesinde kümenin, vektör adını verdiğimiz elemanları “güzel” davranır.

Vektör Uzayı Örneği

Vektör uzayını tanımlamadan önce, lisede zaten tanıman gereken, ama bunun bir vektör uzayı olduğunu bilmediğin bir örnek gösterelim. Bunlar düzlemdeki klasik vektörler.

Düzlemde vektör dediğimizde, a, b ∈ ℝ olmak üzere (a, b) sıralı ikilisini kastederiz. Bunlar ℝ² uzayındaki her türlü koordinattır (burada kastedilen ℝ × ℝ kartezyen çarpımıdır). Böyle bir vektörü, (0, 0) noktasından (a, b) noktasına çizilen bir okla gösterebiliriz. (2, 3) vektörü şöyle görünürdü:

Bildiğimiz gibi vektörler (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) kuralına göre toplanır. (2, 3) + (4, 1) vektör toplamı (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4) vektörüne eşit olurdu. Bunu grafikte şöyle gösteririz:

Bunun yanında bir vektörün k katını da hesaplayabiliriz; burada k bir gerçek sayı olur. k katını k · (a, b) diye yazarız. Sonuç, k · (a, b) = (k · a, k · b) biçiminde tanımlanan yeni bir vektördür. Grafikte bu, vektörün uzaması, kısalması ya da yön değiştirmesi olarak görünür. u = (2, 3) vektörü verildiğinde 2 · u, $\frac{1}{2}u$ ve −1 · u vektörleri şöyle görünür:

Bu şekilde tanımlanan işlemlerle birlikte tüm ℝ² vektörleri kümesinin bir vektör uzayı oluşturduğunu daha sonra ispatlayacağız. Önce vektör uzayını tanımlayalım, sonra da özellikleri bu ℝ² vektör uzayı üzerinde tek tek gösterelim.

Vektör Uzayının Tanımı

Vektör uzayı (ya da başka adıyla doğrusal uzay), elemanlarına vektör dediğimiz boş olmayan bir V kümesidir. Ayrıca küme üzerinde iki işlem tanımlı olmalıdır: vektörlerin toplanması, yani V × V ⟶ V fonksiyonu, ve bir vektörün gerçek sayıyla çarpılması, yani ℝ × V ⟶ V fonksiyonu. (Daha genel olarak gerçek sayılar kümesi yerine herhangi bir cisim alınabilir, ama bunu sonraki yazılarda göreceğiz.) Vektörlerin toplanmasını + işaretiyle, çarpmayı · ile gösteririz. Bu iki işlem aşağıdaki koşulları sağlamalıdır. Yani her x, y, z ∈ V ve her a, b ∈ ℝ için şunlar geçerli olmalıdır (dikkat et, x, y, z vektörleri kalın, a, b sayıları ise normal yazılmıştır):

1. x + y = y + x: vektörlerin toplanması değişmelidir. ℝ² içindeki vektör örneğine dönersek, vektörleri (2, 3) + (4, 1) biçiminde mi, yoksa tersi sırayla (4, 1) + (2, 3) biçiminde mi topladığımızın önemi yoktur.

• (x + y) + z = x + (y + z): vektörlerin toplanması birleşme özelliğine sahiptir. Yine ℝ² içinden bazı vektörler yerine koyabilir ve sonucun tuttuğunu görebilirsin.
• a · (b · x) = (a · b) · x: çarpmanın birleşme özelliği. Bizim vektörlerimiz için 4 · (5 · (6, 7)) ile (4 · 5) · (6, 7) aynı şeydir. İki örnek de (20 · 6, 20 · 7) vektörüne çıkar.
• a · (x + y) = a · x + a · y: V içindeki vektörler için dağılma özelliği. Yine 2 · ((2, 3) + (4, 5)) ile 2 · (2, 3) + 2 · (4, 5) aynı şeydir. İki ifade de (2 · 6, 2 · 8) vektörüne çıkar.
• (a + b) · x = a · x + b · x: sayıların toplanması üzerine dağılma özelliği.
• 1 · x = x: herhangi bir vektörü 1 gerçek sayısıyla çarparsak vektörün değeri değişmez. Bizim örneğimizde 1 · (5, 8) = (5, 8) olur.
• 0 · x = 0 olacak şekilde bir 0 ∈ V elemanı vardır. Kalın yazılmış sıfır, yani 0, sıfır vektör denen şeydir; kalın olmayan 0 ise düpedüz sıfır sayısıdır. Bu madde, V içinde bir vektör bulunması gerektiğini söyler: bu vektörü, herhangi bir x ∈ V vektörünü sıfır sayısıyla çarparak elde ederiz. Bizim ℝ² uzayımızda bu (0, 0) vektörüdür, çünkü her (a, b) ∈ ℝ² vektörü için 0 · (a,b) = (0, 0) olur.

Bir vektör (doğrusal) uzayı V için sağlanması gereken tüm özellikler bunlardır. Bir vektörü a gibi bir gerçek sayıyla çarparsak bu a sayısına skaler denir. Bu yüzden sık sık skalerle çarpmadan söz ederiz ve bununla, a bir gerçek sayı, x bir vektör olmak üzere a · x biçimindeki ifadeyi kastederiz.

Artı İşaretinin Çifte Anlamı

Bazı ifadelerde artı işaretinin + iki ayrı anlama gelebileceğine dikkat et. Örneğin sayıların toplanması üzerine dağılma özelliği maddesinde (a + b) · x = a · x + b · x eşitliği vardır. Burada eşitliğin sol tarafındaki + işareti gerçek sayıları toplar, çünkü a da b de gerçek sayıdır; sağ tarafındaki ise vektörleri toplar, çünkü a · x çarpımının sonucu bir vektördür.

Bu otomatik ayırt etme matematikte sıkça kullanılır; hangi toplamın kastedildiği bağlamdan her zaman anlaşılır. x + y ifadesinde x, y vektörlerse vektör toplamını kullanırız. x, y sayı olsaydı olağan toplamı kullanırdık. Bunlar matris olsaydı matris toplamını kullanırdık, ve böyle devam eder.

Vektörlerin toplanması için başka bir işaret de kullanabilirdik, örneğin ⊕. O zaman sayıların toplanması üzerine dağılma özelliğini şöyle yazabilirdik: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. Buradaki sıradan + gerçek sayıların, yani a, b sayılarının toplamını, ⊕ işareti ise vektörlerin toplamını gösterir. Yine de çoğunlukla toplamanın iki türü için de tek bir + işareti kullanılır ve anlamı bağlamdan çıkarılır. Aynısı · işareti için de geçerlidir.

R² Vektör Uzayı

İlk bölümde V = ℝ² vektör uzayını tanımladık; şimdi bunun gerçekten bir vektör uzayı olduğunu ispatlayalım. Önce toplama ve çarpma işlemlerinin doğru tanımlanıp tanımlanmadığını kontrol etmeliyiz. Toplama iki vektörü toplamalı ve sonuç yeni bir vektör olmalıdır. Bu sağlanıyor, çünkü (a, b) + (c, d) = (a + c,b + d). ℝ² içindeki iki vektörü toplayınca yine ℝ² içinde yeni bir vektör çıkar.

Örneğin vektörlerin toplamını, uzunluklarının toplamı olarak tanımlasaydık, bu bir vektör uzayında geçerli bir toplama işlemi olmazdı. (a, b) vektörünün uzunluğunu $\sqrt{a^2+b^2}$ olarak hesaplardık. (3, 4) + (5, 12) toplamının sonucu bu durumda $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$ sayısı olurdu; bu ise ℝ² uzayının bir vektörü değildir.

Sonra çarpmanın doğru tanımlanıp tanımlanmadığını kontrol etmeliyiz. Çarpma bir gerçek sayıyı ℝ² içindeki bir vektörle çarpar ve sonuç yine ℝ² içinde yeni bir vektör olmalıdır. Bu da sağlanıyor, çünkü skalerle çarpmayı k · (a,b) = (k · a, k · b) olarak tanımladık.

Vektör uzayının sağlaması gereken 7 özelliğin hepsini sırayla doğrulayacağız. x, y vektörleri yerine, işimize geldiği gibi (a, b), (c, d), … vektörlerini yazacağız; buna şaşırma.

1. x + y = y + x, vektör toplamının değişme özelliği. Bizim tanımladığımız vektör toplamı değişmeli mi? Evet, çünkü (a, b) + (c, d) = (a + c,b + d) diye tanımlandı. Sol tarafta vektörlerin yerini değiştirirsek şunu elde ederiz: (c, d) + (a, b) = (c + a,d + b). c + a iki gerçek sayının toplamı olduğundan ve gerçek sayıların toplamı değişmeli bir işlem olduğundan c + a = a + c olur; ikinci çift için de aynısı geçerlidir: d + b = b + d. Böylece (a + c,b + d) = (c + a,d + b) olur.

• (x + y) + z = x + (y + z). Bu biraz parantezlerle oynamaya benzeyecek. Aslında basit düzenlemeler, ama çok fazla parantez olduğu için karışık görünecek. Şu vektör toplamını hesaplamayı deneyelim:

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)$$

a, c, e gerçek sayı olduğundan ve toplama gerçek sayılarda birleşme özelliğine sahip olduğundan (a + c) + e = a + c + e olur. İkinci koordinat için de aynısı geçerlidir. Böylece şunu yazabiliriz:

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)$$

Şimdi aynı vektörleri parantezleri başka türlü yerleştirerek toplayalım:

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a+(c+e),b+(d+f))$$

Yine a + (c + e) = a + c + e olduğundan şunu yazabiliriz:

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a+c+e,b+d+f)$$

Demek ki üç vektörün toplamına parantezleri nasıl koyarsak koyalım, hep aynı (a + c + e, b + d + f) vektörüne ulaşıyoruz. Yani ℝ² içindeki toplama birleşme özelliğine sahiptir ve vektör uzaylarının ikinci özelliğini de sağlar.

a, …, f değişkenleri yerine somut sayılar koyabilirsin; sonucun tuttuğunu göreceksin.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Yine önce eşitliğin sol tarafını yazalım; x yerine (c, d) vektörünü koyuyoruz:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=a\cdot (b\cdot c,b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c),a\cdot (b\cdot d))$$

Gerçek sayılarda çarpma birleşme özelliğine sahip olduğundan a · (b · c) = a · b · c eşitliğini elde ederiz. Böylece şunu yazabiliriz:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Şimdi eşitliğin sağ tarafını, yani (a · b) · x ifadesini yazalım:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=((a\cdot b)\cdot c,(a\cdot b)\cdot d)$$

Yine (a · b) · c = a · b · c olduğundan:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Eşitliğin iki tarafı da (a · b · c,a · b · d) vektörüne çıkıyor, yani eşitlik doğrudur.

• a · (x + y) = a · x + a · y. İzlenecek yol aynı; eşitliğin sol tarafını yazalım:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=a\cdot \left((c+e,d+f)\right)=(a\cdot (c+e),a\cdot (d+f))$$

a, c, e dağılma özelliğinin geçerli olduğu gerçek sayılar olduğundan a · (c + e) = ac + ae eşitliğini elde ederiz. Böylece şunu yazabiliriz:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=(ac+ae,ad+af)$$

Eşitliğin sağ tarafı:

$$a\cdot (c,d)+a\cdot (e,f)=(ac,ad)+(ae,af)=(ac+ae,ad+af)$$

Düzenlemelerden sonra eşitliğin sol ve sağ tarafının birbirine eşit olduğunu görüyoruz.

• (a + b) · x = a · x + b · x: Bir önceki adıma çok benzer ilerleyeceğiz. Eşitliğin sol tarafını düzenleyelim:

$$(a+b)\cdot (c,d)=((a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d)=(ac+bc,ad+bd)$$

Sağ taraf:

$$a\cdot (c,d)+b\cdot (c,d)=(ac,ad)+(bc,bd)=(ac+bc,ad+bd)$$

• 1 · x = x: Ben açıkçası buraya kadar okuyan olduğuna inanmıyorum, ama neyse, devam ediyoruz :-). Bu madde hiç değilse kolay. 1 · (a, b) = (a,b) olduğunu doğrulamamız gerekiyor. Bu elbette doğru, çünkü

$$1\cdot (a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b)$$

• 0 · x = 0 olacak şekilde bir 0 ∈ ℝ² elemanı vardır: bu (0, 0) vektörüdür. Onun için 0 · (a,b) = (0, 0) olur, çünkü

$$0\cdot (a,b)=(0\cdot a,0\cdot b)=(0,0)$$

Vektör Uzaylarının Büyüklüğü

En küçük vektör uzayı hangisidir? Tanımdan biliyoruz ki vektör uzayı boş olmayan bir V kümesidir; dolayısıyla düşünebileceğimiz en küçük büyüklük tek vektörlü bir kümedir. Tanımın yedinci maddesinden uzayın sıfır vektörünü içermesi gerektiğini biliyoruz. Bu yüzden V = {0} kümesi en küçük vektör uzayı adayıdır.

Toplamayı 0 + 0 = 0, çarpmayı a · 0 = 0 olarak tanımlayabiliriz. Ne yaparsak yapalım hep sıfır vektörünü elde ederiz. Bu tek elemanlı kümenin istenen yedi özelliğin hepsini sağladığı açıktır.

Tek elemanlı bir vektör uzayının var olduğunu artık biliyoruz. Peki iki elemanlı bir vektör uzayı var mıdır? V = {x, 0} kümesi üzerinde toplama ve çarpma işlemlerini, ortaya bir vektör uzayı çıkacak biçimde tanımlayabilir miyiz?

Cevap hayır: iki elemanlı bir vektör uzayı yoktur. Sözünü ettiğimiz tek elemanlı uzay dışında başka hiçbir sonlu vektör uzayı da yoktur. Diğer tüm vektör uzayları sonsuzdur. Ancak ima ettiğimiz gibi gerçek sayılar kümesi yerine başka, sonlu bir cisim kullansaydık, başka bir sonlu vektör uzayı da elde edebilirdik.

Özet

Vektör uzaylarının tanımı pek de basit değildir; vektörler ve işlemler toplam 7 koşulu sağlamalıdır, bu da az değil. Öte yandan bu koşullar oldukça basit ve anlaşılırdır; amaçları vektörlerle rahat çalışılmasını sağlamaktır. Bu koşullar sayesinde bir vektör uzayındaki vektörleri toplarken sonucun başka bir vektör uzayından bir vektör çıkıp çıkmayacağını kontrol etmek zorunda kalmayız. Aynı şekilde bir vektörü gerçek sayıyla çarpabiliriz ve hep aynı uzaydan bir vektör elde ederiz. Vektörlerin ve işlemlerinin değişme, birleşme ve dağılma özelliklerine uyması da oldukça doğaldır.

Vektör uzayını daha genel de tanımlayabilirdik. Gerçek sayılar kümesi yerine herhangi bir cisim alabiliriz. Ama bunu sonraki yazılarda göreceğiz.