Bir Küme Üzerinde İkili Bağıntı

Bir küme üzerinde ikili bağıntıdan, birbirinin aynısı olan iki küme arasında tanımlanmış ikili bağıntı anlaşılır.

Örnekler

Bir küme üzerinde ikili bağıntı, iki taban kümenin de aynı olduğu özel bir ikili bağıntı türüdür. Yani bir küme üzerinde ikili bağıntı, R ⊂ M × M olacak biçimde bir R bağıntısıdır.

“Büyüktür” bağıntısı bir küme üzerinde ikili bağıntıdır, çünkü iki tarafta da sayılarla çalışıyoruz. Yani > ⊂ ℝ × ℝ geçerlidir. “Baba — çocuk sayısı” bağıntısı bir küme üzerinde ikili bağıntı değildir, çünkü babayı bütün insanların kümesinden seçeriz, çocuk sayısını ise bir sayı kümesinden.

Özellikler

M kümesi üzerindeki ikili bir R bağıntısı bazı ilginç özelliklere sahip olabilir. R bağıntısı için şunları söyleriz:

• Yansıyandır; her a ∈ M için (a, a) ∈ R ise.
• Simetriktir; her a, b ∈ M için (a, b) ∈ R ise (b, a) ∈ R de oluyorsa.
• Ters simetriktir; her a, b ∈ M için hem (a, b) ∈ R hem de (b, a) ∈ R ise a = b oluyorsa.
• Geçişkendir; her a, b, c ∈ M için (a, b) ∈ R ve aynı zamanda (b, c) ∈ R ise (a, c) çifti de R bağıntısında bulunuyorsa.

Yansıma Örnekleri

Yansıma, bir elemanın kendisiyle bağıntıda olması demektir. Tipik örneği eşitliktir. Doğal sayılar üzerinde eşitliği tanımlarsak herhangi bir a elemanı için elbette a = a geçerlidir. Bir başka örnek bölünebilmedir. Orada da a sayısı kendisine bölünür; yani (a, a) çifti bölünebilme bağıntısındadır (yedi, yediyi böler).

Küçüktür bağıntısı ise artık yansıyan değildir, çünkü a < a geçerli değildir. Bu mümkün değil, yedi yediden küçük olamaz. Aynı şekilde “babası olmak” bağıntısı da — kendi babam olamam. Böyle bağıntılar yansıyan değildir.

Yansımanın bütün elemanlar için geçerli olması gerekir, bazılarını bulmak yetmez. Örneğin “birini sevmek” bağıntısını alalım. Hem birini sevebilirim, örneğin öğretmenimi, hem de kendimi sevebilirim. Kendini seven bir insan elbette bulunur. Ama kendini sevmeyen bir insan da bulunur. Böyle bir bağıntı yansıyan değildir — bütün insanların kendilerini sevmesi gerekirdi.

Simetri Örnekleri

Simetrik bir bağıntıda bir çift bağıntıdaysa ters çifti de bağıntıdadır. Örneğin kardeş olmak bağıntısı. Can, Zeynep’in kardeşiyse Zeynep de Can’ın kardeşidir. Sayısal bağıntılardan “zıt sayı olmak” bağıntısı olabilir. Bununla 2 ve −2 ya da −7 ve 7 çiftlerini kastediyorum. Toplamları sıfır olan iki sayıdır bunlar. Böyle bir bağıntı simetriktir, çünkü sıra hiç önemli değil: (2, −2) ve (−2, 2) yine birbirinin zıt sayılarıdır ve toplamları sıfırdır.

Simetrik olmayan bir bağıntıya örnek, (gerçek sayılar üzerinde) küçüktür bağıntısıdır. Onun tek bir simetrik elemanı bile yok, çünkü aynı anda a < b ve b < a asla geçerli olamaz. 5 < 15 ise 15 < 5 olamaz. Ayrıca “oğlunun babası olmak” bağıntısı da simetrik değildir. Oğlunun babası olabilirsin, ama o zaman oğul artık babasının babası olamaz.

Bu özellik de yine bütün durumlar için geçerli olmalıdır. “Birini sevmek” bağıntısının (bütün insanların kümesi üzerinde) simetrik olması isteniyorsa, ben Ayşe’yi seviyorsam Ayşe de beni sevmek zorunda olurdu. Ayşe beni tanımıyor bile, o yüzden beni sevdiğini söyleyemem; bu çok yazık, bağıntı da simetrik değil. Bu da çok yazık.

Ters Simetri Örnekleri

Ters simetrik bir bağıntının klasik örneği küçük eşittir bağıntısıdır. Ters simetri bize şunu söyler: (a, b) ve (b, a) elemanları bağıntıdaysa bu ancak birbirlerine eşit olduklarında mümkündür: a = b. Küçük eşittir bağıntısı bunu sağlar. a ≤ b ve aynı zamanda b ≤ a ne zaman geçerlidir? Yalnızca a = b olduğunda. Yerine koyarak bakalım: 3 ≤ 5 ve aynı zamanda 5 ≤ 3 geçerli mi? Hayır. Ama 4 ≤ 4 ve aynı zamanda 4 ≤ 4 geçerlidir.

Ters simetrik olmayan bir bağıntıya örnek, uzunlukları aynı olan sözcük çiftleri olabilir; örneğin (pazar, balta). Böyle bir bağıntı ters simetrik değildir, çünkü bağıntıda olan bir sözcük çifti buluruz, ters elemanı da bağıntıdadır ve buna rağmen iki sözcük farklıdır. Yani daha önce andığımız (pazar, balta) elemanı ve onun tersi: (balta, pazar). İkisi de besbelli bağıntımızda, ama pazar ≠ balta, dolayısıyla bağıntı ters simetrik değildir.

Geçişkenlik Örneği

Küçüktür bağıntısı geçişkendir. Geçişkenlik bize şunu söyler: 3 < 4 ve aynı zamanda 4 < 5 ise elbette 3 < 5 de geçerli olmalıdır. Pek çok bağıntı için bu oldukça doğal bir özelliktir. Sözcüklerin uzunluklarının aynı olması örneği için de aynı şey geçerli. (balta, pazar) bağıntıdaysa ve (pazar, kütük) da bağıntıdaysa (balta, kütük) sözcükleri de bağıntıdadır.

“Oğlunun babası olmak” bağıntısı geçişken değildir. Ali, Can’ın babasıysa ve Can, Emre’nin babasıysa Ali, Emre’nin babası değildir, dedesidir. Aynı şekilde “birini sevmek” bağıntısı da geçişken değildir. Ayşe’yi seviyorsam ve Ayşe kendi eşini seviyorsa bu, Ayşe’nin eşini benim de sevdiğim anlamına gelmez.

Geçişkenlik klasik oyun zarlarında da ele alınır. “A zarı, B zarından daha iyidir” bağıntısını düşünelim; A zarında B zarına göre daha sık (daha büyük olasılıkla) yüksek sayı gelirse böyle diyelim. Böyle bir bağıntı geçişken midir? Buna geçişken olmayan zarlar makalesi cevap veriyor.

Denklik ve Sıralama

Bazı özel ikili bağıntı türlerinin kendi adları da vardır:

• Denklik bağıntısı, yansıyan, simetrik ve geçişken olan bağıntıdır.
• Sıralama bağıntısı, yansıyan, ters simetrik ve geçişken olan bağıntıdır.