✖

Matrisin Determinantı

Doğrusal cebirde determinant, her A kare matrisine |A| ile gösterdiğimiz bir skaler karşılık getiren dönüşümdür. Sayılardan oluşan matrislerde determinant bir gerçek sayıya eşittir.

Sıralı n’lilerin Permütasyonu

Determinantı tanımlayabilmek için bir sıralı n’linin permütasyonunun, daha doğrusu permütasyonun işaretinin nasıl hesaplandığını bilmemiz gerekir. En iyisi bunu bir örnekle anlatmak. (1, 2, 3) sıralı üçlüsü verilsin ve (2, 3, 1) üçlüsüne dönüşsün. Permütasyonlarda bunu genellikle şöyle yazarız:

(123231)

Şimdi birinci kümeden ikinci kümeyi elde etmek için kaç farklı yer değiştirme yapmamız gerektiğini bulmalıyız. Yalnızca yan yana duran sayıların yerini değiştirebiliriz. Elimizde (1, 2, 3) üçlüsü var. Önce bir ile ikinin yerini değiştirelim: (2, 1, 3). Şimdi bir ile üçün yerini değiştirelim: (2, 3, 1); aradığımız permütasyona ulaştık. Görüntüyü elde etmek için iki yer değiştirme gerekti. Permütasyonun işaretini kolayca buluruz: yer değiştirme sayısı çiftse işaret pozitif, tekse işaret negatiftir. Bizim durumumuzda permütasyonun işareti pozitiftir. Şu örnekte de permütasyonun işaretini bulmayı deneyelim:

(42311342)

Şöyle ilerleyeceğiz:

(4,2,3,1)→(4,2,1,3)→(4,1,2,3)→(1,4,2,3)→(1,4,3,2)→(1,3,4,2)

Dönüşüm tamam. Toplam beş yer değiştirme gerekti, yani bu kez işareti negatif olan bir permütasyon elde ettik.

Permütasyonun işaretini Levi-Civita sembolüyle gösteririz:

ϵi1,…,in={+1eğer (i1,i2,…,in), (1,2,3,4,…,n) dizisinin çift permütasyonu ise−1eğer (i1,i2,…,in), (1,2,3,4,…,n) dizisinin tek permütasyonu ise0diğer durumlarda

Determinantın Tanımı

Determinant bir sayıdır; yalnızca kare matrislerde tanımlıdır ve det A ya da |A| biçiminde yazılır. Bu sayı şöyle tanımlanır:

|A|=∑i1,…,innϵi1,…,ina1i1⋅a2i2⋅…⋅anin

2 × 2 tipindeki bir kare matrisin determinantını hesaplamayı deneyelim:

A=(4213)

Tanımda n = 2 koyarsak şu formülü elde ederiz:

|A|=∑i1,i22ϵi1,i2⋅a1i1⋅a2i2

i1 ve i2 yerine sırayla 1 ve 2 değerlerini koyarız. Böylece toplam dört olasılık elde ederiz: a) i1 = 1, i2 = 1, b) i1 = 1, i2 = 2, c) i1 = 2, i2 = 1, d) i1 = 2, i2 = 2.

a) ve d) olasılıklarında sıfır permütasyon elde ederiz, çünkü ϵ1,1 = 0 ve ϵ2,2 = 0. Bu yüzden formüldeki toplamda bu adımda sıfır elde ederiz, çünkü 0 · a1i1 · a2i2 = 0.

b) ve c) olasılıkları kalıyor. b) i1 = 1, i2 = 2 durumunda ϵ1,2 = 1 olur, çünkü (1, 2), (1, 2) dizisinin çift permütasyonudur. İlk toplanan şöyle çıkar:

1⋅a1i1⋅a2i2=1⋅a11⋅a22=4⋅3=12

Kalan durumda i1 = 2, i2 = 1 olur. ϵ2,1 değeri −1 eder. İkinci toplanan şöyle çıkar:

−1⋅a1i1⋅a2i2=−1⋅a12⋅a21=−1⋅2⋅1=−2

Şimdi dört durumun hepsini toplayalım, a) + b) + c) + d):

|A|=0+12−2+0=10.

A matrisinin determinantı 10’a eşittir.

Sonunda matrisin determinantını şu fark olarak hesapladığımızı fark edebiliriz:

|A|=a11⋅a22−a12⋅a21

Bu formül 2 × 2 tipindeki her matris için geçerlidir.

Sarrus Kuralı

Sarrus kuralıyla üçüncü mertebeden bir matrisin determinantını hesaplarız. Bu determinant biraz daha karmaşıktır. Haydi şu matrisi hesaplayalım:

A=(53217−80−27)

İkinci mertebeden matriste yaptığımıza benzer ilerleyeceğiz, ama anlaşılır olsun diye bu matrisi iki satır daha ekleyerek genişleteceğiz: matrisin altına ilk iki satırı yazarız:

A′=(53217−80−2753217−8)

Matrisin birinci ve dördüncü satırı aynıdır, ikinci ve beşinci satır da öyle. Şimdi ana köşegenler üzerindeki elemanların çarpımlarını toplayıp, bunlardan yedek köşegenler üzerindeki elemanların çarpımlarının toplamını çıkaracağız. Yerine koyunca şunu elde ederiz:

|A|=[5⋅7⋅7+1⋅(−2)⋅2+0⋅3⋅(−8)]−[2⋅7⋅0+(−8)⋅(−2)⋅5+7⋅3⋅1]=140

Determinantın Özellikleri

  • A matrisinin bir satırını ya da sütununu c ≠ 0 sayısıyla çarparsak A' matrisini elde ederiz ve determinantları için c|A| = |A'| geçerli olur. Yani bir matrisin bir satırını üçle çarpıp determinantı hesaplarsan, asıl matrisin determinantını bulmak için bulduğun sonucu üçe bölersin.

  • i. satırın bir katını j. satıra eklemek matrisin determinantını değiştirmez. Aynısı sütunlar için de geçerlidir.

  • Matrisin en az bir satırı tamamen sıfırlardan oluşuyorsa matrisin determinantı sıfırdır.

  • Tersinir matrisin determinantı her zaman sıfırdan farklıdır, tekil matrisin determinantı ise her zaman sıfıra eşittir.

  • Basamak biçimindeki matrisin determinantı ana köşegendeki elemanların çarpımına eşittir.

  • Matrisin iki satırının yerini değiştirirsek determinantın işareti değişir.

  • |A| = |AT|

  • |A · B| = |A| · |B|

  • |A−1| = 1/|A|

Bu özelliklerden determinantı hesaplamak için oldukça basit bir yöntem çıkar. Matrisi basamak biçimine getirip ana köşegendeki elemanları çarpmak yeter. Başlayalım:

A=(138250−225)

Şimdi olağan matris işlemleriyle matrisi basamak biçimine getirelim:

(138250−225)∼(1380−1−160821)∼(1380−1−1600−107)

Şimdi köşegendeki elemanların çarpımını bulalım: 1 · (−1) · (−107) = 107.

Şu matrisin determinantını hesapla:

A=(3215275664104−311)

Önce birinci ve ikinci satırın yerini değiştirmek iyi olur; böylece en küçük sayı yukarı çıkar. Yalnız işareti değiştirmeyi unutmamalıyız:

|3215275664104−311|=−|2756321564104−311|

Sonra ikinci satırı ikiyle çarpmak oldukça işe yarar, böylece toplamayı rahatça yapabiliriz. Bütün determinantı da ikide bir ile çarpmayı unutmamalıyız:

−|2756321564104−311|=−12|27566421064104−311|

Artık alışılmış biçimde ilerleyebiliriz:

−12|27566421064104−311|=−12|27560−17−13−80−17−14−180−17−9−11|=−12|27560−17−13−800−1−10004−3|=−12|27560−17−13−800−1−10000−43|=−12⋅2⋅(−17)⋅(−1)⋅(−43)=731

Laplace Açılımı

Laplace, matrisin determinantını hesaplamak için bize bir algoritma daha bulan iyi bir beyefendiydi. Bu tarifi anlamak için asıl matrisin özel bir alt matrisini hesaplamayı bilmemiz gerekir. A matrisi verilsin; A matrisinden bir satırı ve bir sütunu silerek bir alt matris oluşturmamız gerekiyor. Bu yeni matrisi SijA ile gösteririz; bu, A matrisinden i. satırı ve j. sütunu sildiğimizi söyler. Örnek:

A=(138250−225)

S12A alt matrisi şu biçimde olur:

S12A=(20−25)

Sonra minör kavramını tanımlarız; bu, tanımladığımız SijA alt matrisinin determinantından başka bir şey değildir. Minörü aynı biçimde, ama M harfiyle gösteririz: MijA=|SijA|. aij elemanının minöründen de söz edebiliriz; o da tam olarak MijA sayısıdır.

Bu minörlerle asıl matrisin determinantını hesaplayabiliriz. İlk adımda matrisin bir satırını (ya da sütununu) seçeriz. Sonra bu satırın her elemanı için minörünü hesaplarız. Böylece satırda kaç eleman varsa o kadar minör elde ederiz. Şimdi n × n tipindeki asıl A matrisinin determinantını bu minörlerin ağırlıklı toplamı olarak yazabiliriz:

|A|=∑j=1n(−1)i+j⋅aij⋅MijA

Burada i, seçtiğimiz satırdır. Toplamı i değişkeni üzerinden alırsak j değişkenini, yani sütun indisini sabit seçeriz.

Uygulamada durum şöyledir: elinde bir matris var ve determinantını bilmek istiyorsun. Matrisin bir sütununu (ya da satırını) alırsın, bu sütundaki her eleman için minörü belirlersin, (−1)i + j işaretini atarsın ve hepsini toplarsın; her determinantı, minörünün ait olduğu elemanla çarparsın. Minör MijA ayrıca aij elemanıyla çarpıldığı için, bu elemanın sıfır olması işimize gelir. O zaman ek hesap ortadan kalkar ve emekten tasarruf edersin. Şu matrisin determinantını hesaplamayı deneyelim:

A=(548610239)

Matriste tek bir sıfır var, o yüzden açılımı ya ikinci satırdan ya da üçüncü sütundan yapmak en iyisi. Örneğin satırı seçelim. İlk adımda alt matrisleri çıkarırız:

S21A=(4839)S22A=(5829)S23A=(5423)

Şimdi determinantları hesaplayarak minörleri buluruz. İkinci mertebeden matris için bu çok kolaydır.

M21A=|4839|=12M22A=|5829|=29M23A=|5423|=7

Şimdi bunu formülde yerine koyabiliriz, i = 2:

|A|=(−1)2+1⋅6⋅|4839|+(−1)2+2⋅1⋅|5829|+(−1)2+3⋅|5423|⋅0=(−1)2+1⋅6⋅12+(−1)2+2⋅1⋅29+(−1)2+3⋅7⋅0=−43

İkinci satırın sonundaki eleman sıfır olduğu için üçüncü toplananın da sıfıra eşit olduğuna dikkat et. Bir örnek daha:

Şu matrisin determinantını Laplace yöntemiyle hesapla:

A=(723266678109105733)

Üçüncü sütunda hep üçün katları var, bunu kullanıp bu sütunu sıfırlayarak Laplace yöntemini sonra uygulamak için zemin hazırlayabiliriz. İkinci satıra birinci satırın −2 katını, üçüncü satıra birinci satırın −3 katını, dördüncü satıra ise −1 katını ekleyelim.

(723266678109105733)∼(7232−8203−13404−2501)

Böylece determinantın değerini değiştirmedik, ama hesaplamak daha kolay olacak. Açılımı yalnızca bir sıfırdan farklı elemanın bulunduğu üçüncü sütuna göre yaparız; açılımda yalnızca birinci satırın üçüncü elemanının minörü kalır:

|723266678109105733|=(−1)1+3⋅3|−823−1344−251|=3|−823−1344−251|

Yeni matrisin üçüncü sütununun en sonunda 1 sayısını görüyoruz; bunu kolayca kullanıp bu sütunu sıfırlarız:

(−823−1344−251)∼(−2−130−5−160−251)

Şimdi açılımı üçüncü sütuna göre yapalım. Yine yalnızca bir sıfırdan farklı eleman var:

3|−2−130−5−160−251|=3⋅((−1)3+3⋅1⋅|−2−13−5−16|)=3⋅|−2−13−5−16|

Bunu da olağan biçimde hesaplayabiliriz: 3 · (32 − 65) = −99.