Ters Matris

Ters matris, kare ve tersinir matrisler üzerinde tanımlanan bir matristir. Bir matrisle onun tersinin çarpımı birim matrisi verir.

Tanım

Ters matris yalnızca kare matristen hesaplanabilir; dikdörtgen matris için ters matris tanımlı değildir. A matrisinin tersi (A⁻¹ ile gösteririz) ancak ve ancak matris tersinirse (doğrusal bağımlı satırı yoksa) vardır. Bu durumda ters matris tek türlü belirlidir. Ters matrisin iki temel özelliği şunlardır:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

Ve en önemli özellik (aynı zamanda ters matrisin tanımı):

$$A\cdot A^{-1}=I$$

I burada birim matristir.

Ters Matris Nasıl Hesaplanır

Şimdi ters matrisi hesaplama yöntemine geçelim. En basit algoritma Gauss eliminasyon yöntemidir: A matrisini birim matris biçimine getirirsin, yanına bir birim matris yazarsın ve bu matrise A matrisine yaptığın işlemlerin aynısını uygularsın. Hesabın sonunda solda birim matrise dönüşmüş A matrisi, sağda ise ters matris olur. Basit bir örnekle deneyelim:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Matrisin tersinir olduğunu bir bakışta görebiliriz, yani ters matrisi hesaplamanın anlamı var. Ters matrisi hesaplarken genellikle şöyle yazarız:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Şimdi soldaki matrisi birim matrise dönüştüreceğiz ve aynı işlemleri sağdaki matrise de uygulayacağız. Birinci satırın −3 katını ikinci satıra ekleyelim. Önce sol matris:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Şimdi sağ matriste de birinci satırın −3 katını ikinci satıra ekleyelim:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Şimdi a₁₂ konumunda sıfır elde etmemiz gerekiyor. Birinci satıra ikinci satırı eklemek yeter. Bu kez iki işlemi tek adımda yapıyorum:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Şimdi eksi ikiden kurtulmak için bütün satırı eksi ikiye böleriz:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Sonuçta elde edilen ters matris şudur:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Hesapladığın ters matrisin doğru olup olmadığını kontrol etmek istersen onu asıl matrisle çarp:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Kontrol için WolframAlpha sayfasına da bakabilirsin.

Determinant Yardımıyla Hesaplama

Ters matrisi determinant yardımıyla da hesaplayabiliriz. A tersinir bir matrisse, A⁻¹ ters matrisinin $a_{ij}^{-1}$ elemanları şuna eşittir:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

Sol tarafta i,j var, ama pay kısmında j,i var; buna dikkat et, indislerin böyle yer değiştirmesi bir hata değildir. Pay kısmında A_j,i matrisi bulunur; bu, A matrisinin alt matrisidir ve A matrisinden j. satırı ile i. sütunu silerek elde edilir. Örneğin

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

ise şunlar olur:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

İndislerin ters olması hoşuna gitmiyorsa formülü şöyle de yazabiliriz:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^T=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Yani indisleri yer değiştirmezsen, devrik ters matrisi hesaplamış olursun. Bu devrik matrisin devriğini tekrar alırsan ters matrisi elde edersin.

Bu yöntemle hesaplamak genellikle uzun sürer; çok dolaysız olduğu için daha çok bilgisayarla hesaplamaya uygundur. Örnekte yalnızca iki sayıyı hesaplamayı deneyeceğiz. Şu matrisi alalım:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Önce bu matrisin tamamının determinantını hesaplarız; kesrin paydasında o kullanılır:

$$det(A)=-1$$

Şimdi ters matrisin ilk elemanını hesaplayalım. Bunu $a_{11}^{-1}$ ile gösteririz. Şuna eşit olur:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

A_1,1 alt matrisine ihtiyacımız var. Birinci satırı ve birinci sütunu silince şunu elde ederiz:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Şimdi bu matrisin determinantını hesaplamamız gerekiyor:

$$det(A_{1,1})=8$$

Artık her şeyi formülde yerine koyabiliriz:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

Ters matrisin ilk sonucunu bulduk.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

İkinci sayıyı şöyle buluruz:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Alt matrisin determinantı şuna eşit olur:

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

Yerine koyunca şunu elde ederiz:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Yap-boz için bir parça daha:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Gerisi de böyle sürer gider.